高考数学理科一轮复习函数的图象学案附答案.docx
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高考数学理科一轮复习函数的图象学案附答案
高考数学(理科)一轮复习函数的图象学案附答案
学案10 函数的图象
导学目标:
1掌握作函数图象的两种基本方法:
描点法,图象变换法2掌握图象变换的规律,能利用图象研究函数的性质.自主梳理
1.应掌握的基本函数的图象有:
一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等.
2.利用描点法作图:
①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质(__________、__________、__________);④画出函数的图象.
3.利用基本函数图象的变换作图:
(1)平移变换:
函数=f(x+a)的图象可由=f(x)的图象向____(a>0)或向____(a<0)平移____个单位得到;函数=f(x)+a的图象可由函数=f(x)的图象向____(a>0)或向____(a<0)平移____个单位得到.
(2)伸缩变换:
函数=f(ax)(a>0)的图象可由=f(x)的图象沿x轴伸长(0<a<1)或缩短(____)到原的1a倍得到;函数=af(x)(a>0)的图象可由函数=f(x)的图象沿轴伸长(____)或缩短(________)为原的____倍得到.(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)
(3)对称变换:
①奇函数的图象关于________对称;偶函数的图象关于____轴对称;
②f(x)与f(-x)的图象关于____轴对称;
③f(x)与-f(x)的图象关于____轴对称;
④f(x)与-f(-x)的图象关于________对称;
⑤f(x)与f(2a-x)的图象关于直线________对称;
⑥曲线f(x,)=0与曲线f(2a-x,2b-)=0关于点________对称;
⑦|f(x)|的图象先保留f(x)原在x轴________的图象,作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形,然后擦去x轴下方的图象得到;
⑧f(|x|)的图象先保留f(x)在轴________的图象,擦去轴左方的图象,然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到.
自我检测
1.(2009•北京)为了得到函数=lgx+310的图象,只需把函数=lgx的图象上所有的点( )
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
2.(2011•烟台模拟)已知图1是函数=f(x)的图象,则图2中的图象对应的函数可能是
( )
A.=f(|x|)B.=|f(x)|
.=f(-|x|)D.=-f(-|x|)
3.函数f(x)=1x-x的图象关于( )
A.轴对称B.直线=-x对称
.坐标原点对称D.直线=x对称
4.使lg2(-x)<x+1成立的x的取值范围是( )
A.(-1,0)B.[-1,0)
.(-2,0)D.[-2,0)
.(2011•潍坊模拟)已知f(x)=ax-2,g(x)=lga|x|(a>0且a≠1),若f(4)•g(-4)<0,则=f(x),=g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )
探究点一 作图
例1
(1)作函数=|x-x2|的图象;
(2)作函数=x2-|x|的图象;
(3)作函数的图象.
变式迁移1 作函数=1|x|-1的图象.
探究点二 识图
例2
(1)函数=f(x)与函数=g(x)的图象如图,则函数=f(x)•g(x)的图象可能是( )
(2)已知=f(x)的图象如图所示,则=f(1-x)的图象为( )
变式迁移2
(1)(2010•东)函数=2x-x2的图象大致是( )
(2)函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是( )A.f(x)=x+sinx
B.f(x)=sxx
.f(x)=xsx
D.f(x)=x•(x-π2)•(x-3π2)
探究点三 图象的应用
例3 若关于x的方程|x2-4x+3|-a=x至少有三个不相等的实数根,试求实数a的取值范围.
变式迁移3 (2010•全国Ⅰ)直线=1与曲线=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是________.数形结合思想的应用
例 (分)(2010•北京东城区一模)定义在R上的函数=f(x)是减函数,且函数=f(x-1)的图象关于(1,0)成中心对称,若s,t满足不等式f(s2-2s)≤-f(2t-t2).则当1≤s≤4时,ts的取值范围是( )
A-14,1B-14,1
-12,1D-12,1
【答题模板】
答案 D
解析 因函数=f(x-1)的图象关于(1,0)成中心对称,所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为=f(x),即=f(x)的图象关于(0,0)对称,所以=f(x)是奇函数.又=f(x)是R上的减函数,所以s2-2s≥t2-2t,令=x2-2x=(x-1)2-1,
图象的对称轴为x=1,
当1≤s≤4时,要使s2-2s≥t2-2t,即s-1≥|t-1|,
当t≥1时,有s≥t≥1,所以14≤ts≤1;
当t<1时,即s-1≥1-t,即s+t≥2,
问题转化成了线性规划问题,画出由1≤s≤4,t<1,s+t≥2组成的不等式组的可行域ts为可行域内的点到原点连线的斜率,易知-12≤ts<1综上可知选D
【突破思维障碍】
当s,t位于对称轴x=1的两边时,如何由s2-2s≥t2-2t判断s,t之间的关系式,这时s,t与对称轴x=1的距离的远近决定着不等式s2-2s≥t2-2t成立与否,通过数形结合判断出关系式s-1≥1-t,从而得出s+t≥2,此时有一个隐含条为t<1,再结合1≤s≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划,从而突破了难点.要画出s,t所在区域时,要结合ts的几何意义为点(s,t)和原点连线的斜率,确定s为横轴,t为纵轴.
【易错点剖析】
当得到不等式s2-2s≥t2-2t后,如果没有函数的思想将无法继续求解,得到二次函数后也容易只考虑s,t都在二次函数=x2-2x的增区间[1,+∞)内,忽略考虑s,t在二次函数对称轴两边的情况,考虑了s,t在对称轴的两边,也容易漏掉隐含条t<1及联想不起线性规划.1.掌握作函数图象的两种基本方法(描点法,图象变换法),在画函数图象时,要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题.
2.合理处理识图题与用图题
(1)识图.对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性.
(2)用图.函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具,要重视数形结合解题的思想方法,常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况.(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.(2010•重庆)函数f(x)=4x+12x的图象( )
A.关于原点对称B.关于直线=x对称
.关于x轴对称D.关于轴对称
2.(2010•湖南)用in{a,b}表示a,b两数中的最小值.若函数f(x)=in{|x|,|x+t|}的图象关于直线x=-12对称,则t的值为( )
A.-2B.2
.-1D.1
3.(2011•北京海淀区模拟)在同一坐标系中画出函数=lgax,=ax,=x+a的图象,可能正确的是( )4.(2011•深圳模拟)若函数=f(x)的图象如图所示,则函数=-f(x+1)的图象大致为
( )
.设b>0,二次函数=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一,则a的值为( )A.1B.-1-1-2D-1+2
题号1234
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.为了得到函数=3×(13)x的图象,可以把函数=(13)x的图象向________平移________个单位长度.
7.(2011•黄月考)函数f(x)=2x-1x+1的图象对称中心是________.
8.(2011•沈阳调研)如下图所示,向高为H的水瓶A、B、、D同时以等速注水,注满为止.
(1)若水量V与水深h函数图象是下图的(a),则水瓶的形状是________;
(2)若水深h与注水时间t的函数图象是下图的(b),则水瓶的形状是________.
(3)若注水时间t与水深h的函数图象是下图的(),则水瓶的形状是________;
(4)若水深h与注水时间t的函数的图象是图中的(d),则水瓶的形状是________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知函数f(x)=x|-x|(x∈R),且f(4)=0
(1)求实数的值;
(2)作出函数f(x)的图象;
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间;
(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集;
()求当x∈[1,)时函数的值域.
10.(12分)(2011•三明模拟)当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<lgax恒成立,求a的取值范围.
11.(14分)已知函数f(x)=-x2+2ex+-1,g(x)=x+e2x(x>0).
(1)若g(x)=有根,求的取值范围;
(2)确定的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
答案自主梳理
2.③奇偶性 单调性 周期性 3
(1)左 右 |a| 上 下 |a|
(2)a>1 a>1 0<a<1 a (3)①原点 ② ③x ④原点 ⑤x=a ⑥(a,b) ⑦上方 ⑧右方
自我检测
1. [A项=lg(x+3)+1=lg[10(x+3)],
B项=lg(x-3)+1=lg[10(x-3)],
项=lg(x+3)-1=lgx+310,
D项=lg(x-3)-1=lgx-310]
2.
3. [∵f(-x)=-1x+x=-1x-x=-f(x),
∴f(x)是奇函数,即f(x)的图象关于原点对称.]
4.A [作出=lg2(-x),=x+1的图象知满足条的x∈(-1,0).].B [由f(4)•g(-4)<0得a2•lga4<0,∴0<a<1]
堂活动区
例1 解
(1)=x-x2,0≤x≤1,-x-x2,x>1或x<0,
即=-x-122+14,0≤x≤1,x-122-14,x>1或x<0,
其图象如图所示.
(2)=x-122-14,x≥0,x+122-14,x<0,其图象如图所示.(3)作出=12x的图象,保留=12x图象中x≥0的部分,加上=12x的图象中x>0的部分关于轴的对称部分,
即得=12|x|的图象.
变式迁移1 解 定义域是{x|x∈R且x≠±1},且函数是偶函数.
又当x≥0且x≠1时,=1x-1
先作函数=1x的图象,并将图象向右平移1个单位,得到函数=1x-1(x≥0且x≠1)的图象(如图(a)所示).又函数是偶函数,作关于轴对称图象,
得=1|x|-1的图象(如图(b)所示).
例2 解题导引 对于给定的函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.
(1)A[从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数,故f(x)•g(x)是奇函数,排除B又x<0时,g(x)为增函数且为正值,f(x)也是增函数,故f(x)•g(x)为增函数,且正负取决于f(x)的正负,注意到x→(从小于0趋向于0),f(x)•g(x)→+∞,可排除、D]
(2)A[因为f(1-x)=f(-(x-1)),故=f(1-x)的图象可以由=f(x)的图象按照如下变换得到:
先将=f(x)的图象关于轴翻折,得=f(-x)的图象,然后将=f(-x)的图象向右平移一个单位,即得=f(-x+1)的图象]
变式迁移2
(1)A [考查函数=2x与=x2的图象可知:
当x<0时,方程2x-x2=0仅有一个零点,
且→-∞;
当x>0时,方程2x-x2=0有两个零点2和4,
且→+∞]
(2) [由图象知f(x)为奇函数,排除D;
又0,±π2,±32π为方程f(x)=0的根,故选]
例3 解题导引 原方程重新整理为|x2-4x+3|=x+a,将两边分别设成一个函数并作出它们的图象,即求两图象至少有三个交点时a的取值范围.
方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题,体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法.
解 原方程变形为|x2-4x+3|=x+a,于是,设=|x2-4x+3|,=x+a,在同一坐标系下分别作出它们的图象.如图.则当直线=x+a过点(1,0)时a=-1;当直线=x+a与抛物线=-x2+4x-3相切时,由=x+a=-x2+4x-3,得,x2-3x+a+3=0,
由Δ=9-4(3+a)=0,得a=-34
由图象知当a∈[-1,-34]时方程至少有三个根.
变式迁移3 (1,4)
解析 =x2-|x|+a=x-122+a-14, x≥0,x+122+a-14,x<0
当其图象如图所示时满足题意.
由图知a>1,a-14<1,解得1<a<4
后练习区
1.D [f(x)=2x+2-x,因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.所以f(x)图象关于轴对称.]
2D [令=|x|,=|x+t|,在同一坐标系中作出其图象,
如图,所以t=1]3.D [选项A、B、中直线方程中的a的范围与对数函数中的a的范围矛盾.]
4. [函数=f(x)的图象与函数=-f(x)关于x轴对称,函数=-f(x)的图象向左平移1个单位即得到函数=-f(x+1)的图象.]
.B [∵b>0,∴前两个图象不是给出的二次函数图象,又后两个图象的对称轴都在轴右边,∴-b2a>0,∴a<0,又∵图象过原点,∴a2-1=0,∴a=-1]
6.右 1
解析 ∵=3×(13)x=(13)x-1,
∴=(13)x向右平移1个单位便得到=(13)x-1
7.(-1,2)
解析 ∵f(x)=2x-1x+1=2x+1-3x+1=2-3x+1,
∴函数f(x)图象的对称中心为(-1,2).
8.
(1)A
(2)D (3)B (4)
9.解
(1)∵f(4)=0,∴4|-4|=0,即=4…………………………………………(2分)
(2)f(x)=x|x-4|
=xx-4=x-22-4, x≥4,-xx-4=-x-22+4,x<4………………………………………………(4分)
f(x)的图象如右图所示.
(3)由图可知,f(x)的减区间是[2,4].……………………………………………………(8分)
(4)由图象可知f(x)>0的解集为
{x|0<x<4或x>4}.………………………………………………………………………(10分)
()∵f()=>4,
由图象知,函数在[1,)上的值域为[0,).……………………………………………(12分)
10解 设f1(x)=(x-1)2,
f2(x)=lgax,
要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<lgax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f2(x)=lgax的下方即可.
当0<a<1时,由图象知显然不成立.……………………………………………………(4分)
当a>1时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的图象在f2(x)=lgax的下方,只需f1
(2)≤f2
(2),
即(2-1)2≤lga2,lga2≥1,……………………………………………………………(10分)
∴1<a≤2………………………………………………………………………………(12分)
11.解
(1)方法一 ∵x>0,∴g(x)=x+e2x≥2e2=2e,
等号成立的条是x=e
故g(x)的值域是[2e,+∞),……………………………………………………………(4分)
因而只需≥2e,则g(x)=就有根.…………………………………………………(6分)
方法二 作出g(x)=x+e2x的图象如图:
……………………………………………………………………………………………(4分)
可知若使g(x)=有根,则只需≥2e………………………………………………(6分)
方法三 解方程由g(x)=,得x2-x+e2=0
此方程有大于零的根,故2>0Δ=2-4e2≥0……………………………………………(4分)
等价于>0≥2e或≤-2e,故≥2e…………………………………………………(6分)
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,
作出g(x)=x+e2x(x>0)的图象.
∵f(x)=-x2+2ex+-1=-(x-e)2+-1+e2
其对称轴为x=e,开口向下,
最大值为-1+e2……………………………………………………………………(10分)
故当-1+e2>2e,即>-e2+2e+1时,
g(x)与f(x)有两个交点,
即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).……………………………………………(14分)
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