17年江苏省高数复习资料第七单元 向量代数 空间解析几何.docx
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17年江苏省高数复习资料第七单元向量代数空间解析几何
2017年江苏省高数复习资料第七单元向量代数空间解析几何
第七单元 向量代数空间解析几何 一、向量概念及其加、减法和数乘运算1、两点A,B之间的距离d?
(x2?
x1)2?
(y2?
y1)2 AB2、向量的定义:
既有大小,又有方向的量。
记作:
或a (x2?
x1)?
(y2?
y1) 向量的模:
︱ ︱?
ABAB 0向量:
模为0的向量。
记作:
0 单位向量:
模为1的向量。
记作:
a,a?
0 220aa 03、两向量相等:
方向相同,模相等。
记作:
a=b 4、加法运算:
a+b=b+a (交换律) (a+b)+c=a+(b+c) 5、数与向量的积:
记作λa λa的模:
︱λa︱=︱λ︱︱a︱ λa的方向:
当λ>0时,与a同向,当λ 设向量的起点为M1,终点为M2,则 =(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k M1M2 222︱ ︱M1M2=(x2?
x1)?
(y2?
y1)?
(z2?
z1) 7、基本单位向量:
三个坐标轴上正方向上的单位向量i,j,k8、向量的加、减法与数乘运算 a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk a±b=i+j+k λa=(λax)i+(λay)j+(λaz)k 例1设向量a=8i+9j-12k,其始点坐标为A 求其终点B的坐标 如取向量a方向且模为34的向量,求该向量的终点坐标 解:
设终点坐标为B,则有 =(x-2)i+(y+1)j+(z-7)k,令 =a,即 ABAB 8i+9j-12k=(x-2)i+(y+1)j+(z-7)k,所以有:
x-2=8,y+1=9,z-7=-12,解得x=10,y=8,z=-5 故终点坐标为B 与a同向的单位向量为:
a=a∕∣a∣= 0 8i?
9j?
12k82?
92?
(?
12)2?
1(8i?
9j?
12k)17与a同向的模为34的向量为:
0 b=34a=16i+18j-24k 设其终点坐标为B,仿得x-2=16,y+1=18,z-7=-24,解得x=18,y=17,z=-17 故终点坐标为B9、方向角与方向余弦 向量a分别与x、y、z三个坐标轴的正向不超过?
的夹角,用α、β、γ表示,则 22 称他们为向量a的方向角,cosα、cosβ、cosγ称为方向余弦,且cosα+cos 2 β+cosγ=1 10、单位向量的三角表示法 0 a=icosα+jcosβ+kcosγ11、方向余弦的计算 设向量a的坐标表示为:
a=xi+yj+zk,则 cos?
?
aazx?
xx?
y?
zzx?
y?
z222222,cos?
?
ay?
yx?
y?
z222 cos?
?
?
0 0 例2设向量a={x,y,z}的方向角α=60,β=60且∣a∣=3,问这种向量有几个,求之。
222 解:
设第三个方向角为γ,则cosα+cosβ+cosγ=1得 cosγ=1-cos60-cos60= 的向量也有两个:
a=∣a∣a=3= 0 2 2 0 2 0 1?
3?
2,cosγ=?
这样的γ有两个子与,所以这样 44223332i+j+k222或a= 3332i+j-k (单位向量的三角表示式) 222例3设一向量与x轴及y轴的夹角相等,而与z轴的夹角是前者的2倍,求这个向量的方向 余弦. 解:
设该向量与x、y轴的夹角为α,则与z轴的夹角为2α, 222222 所以cosα+cosα+cos2α=1,2cosα+(2cosα-1)=1 即4cosα-2cosα=0,解得cosα=0或cos?
?
?
4 2 2?
?
?
2,?
?
?
4 所以方向余弦为0,0,-1或 22,,022二、数量积和向量积的计算及应用 1、数量积:
a·b=∣a∣∣b∣cosθ,为一数量 θ为a与b的夹角,?
?
?
运算性质:
a·b=b·a (交换律) a·=a·b+a·c(分配律) 2 λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb)(结合律)2、两向量间的位置关系 向量a在向量b上的投影:
ab=∣a∣cos(a,b)或记作Prjba 平行:
a∥b?
a=λb或b=λa或λa+μb=0 垂直:
a⊥b?
a·b=0 运算性质:
a×b=-b×a a×=a×b+a×c (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb) 计算方法:
a={x1,y1,z1},b={x2,y2,z2},则 ijk a×b=x1y1 z1 (为一向量) x2y2 z24、两向量平行的充分必要条件 a×b=0即 axayazx1y1z1?
?
或?
?
x2y2z2bxbybz5、基本单位向量的点、叉积关系 i·i=j·j=k·k=1, i·j=j·k=k·I=0, 23 a1b1c1 a1b1 a2b2c2 a2b2=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3-c1b2a3-a1c2b3-b1a2c3 a3b3c3 a3b3三条实斜线为主对角线,三条虚斜线为次对角线。
计算方法:
主对角线上三个元素之积的和减去次对角线上三个元素之积的和 a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3 例4设a={-1,2,-2},b={1,-3,4},试计算a·b,a×b, (a+b)×(a-b),cos(a,b) 解:
a·b=x1x2+y1y2+z1z2=(-1)×1+2×(-3)+(-2)×4=-15 ijkijk a×b=x1y1z1?
?
12?
2?
2i?
2j?
k x2y2z2ijk2?
{?
4,?
4,?
2} 1?
34 (a+b)×(a-b)={0,-1,2}×{-2,5,-6} ?
?
0?
1?
25?
6 cos(a,b)=a?
bab?
?
15(?
1)2?
22?
(?
2)212?
(?
3)2?
42?
?
52626例5已知四个点A(0,0,0),B(3,4,-1),C(2,3,5),D(6,0,-3),求 △ABC的面积. 解:
△ABC面积应为以 为邻边的平行四边形面积的一半. ABAC ={3,4,-1}, ={2,3,5}ACAB ijkAC34 × ?
AB?
1?
{23,?
17,1}523 △ABC面积= 11391︱ × ︱=AC232?
(?
17)2?
12?
AB222例6求与向量a={2,-1,2}平行且满足a·b=-18的向量b 2222 解:
设b=λa,则a·b=λ︱a︱=λ(2+(-1)+2)=-18 解得λ=-2,即设b={-4,2,-4} 例7在xoy平面上求一个垂直于向量a={5,-3,4}且与a等长的向量b解:
因b在xoy平面,可设b={x,y,0},则 222222 a·b=5x-3y=0,︱b︱=x+y=5+(-3)+4=50(︱a︱=︱b︱) 上两方程联立解得x?
?
1517,y?
?
2517 4 b={?
1517,?
2517,0} 例8已知a={m,5,-1},b={3,1,n}互相平行,求m,n解:
因a∥b,所以有 m5?
11?
?
解得m=15,n?
?
31n5 例9设向量a={3,4,-2},b={2,1,k},若a与b垂直,则k=(5) (05、10) 解:
因a与b垂直,所以a·b=0,即{3,4,-2}·{2,1,k}=0 6+4-2k=0,解得k=5 例10设向量︱a︱=1,︱b︱=2,︱a+b︱=3,则a·b= 解:
设a={x1,y1,z1},b={x2,y2,z2}, 222则x1?
y1?
z1?
1,222x2?
y2?
z2?
2 222︱a+b︱=(x1?
x2)?
(y1?
y2)?
(z1?
z2) 222222 =(x1?
y1?
z1)?
(x2?
y2?
z2)?
2(x1x2?
y1y2?
z1z2) =5?
2(x1x2?
y1y2?
z1z2)?
3解得x1x2?
y1y2?
z1z2?
?
1a·b=x1x2?
y1y2?
z1z2?
?
1 例11设︱a︱=1,a⊥b,则a·= 2 解:
因a⊥b,所以a·b=0,a·=a·a+a·b=︱a︱=1例12已知a,b均为单位向量,且a·b= 1,则以向量a,b为邻边的平行四边形的面积为2 211?
,cos(a,b)=,a,b=223解:
因a,b均为单位向量,所以︱a︱=︱b︱=1 a·b=︱a︱︱b︱cos(a,b)= 平行四边形的面积=︱a×b︱=︱a︱︱b︱sin(a,b) =sin?
3?
32例13设a={1,2,3},b={3,2,4},则a×b= A、{2,5,4}B、{2,-5,-4}A、{2,5,-4}A、{-2,-5,4} 5
i解:
a×b?
jk223?
{2,5,?
4}413三、平面与直线平面1、平面方程 平面的点法式方程:
平面过点M0,以n={A,B,C}为法向量,方 程为:
A+B+C=0平面的一般方程:
Ax+By+Cz+D=0,其法向量为n={A,B,C} 平面的截距式方程:
xyz?
?
?
1特殊的平面方程:
过原点的平面方程:
Ax+By+Cz=0 平行于oz轴的平面方程:
Ax+By+D=0过oz轴的平面方程:
Ax+By=0 平行于坐标平面xoy的平面方程:
Cz+D=0 说明:
过其他轴及平面的方程,可仿照上述方程写出。
两平面的位置关系:
设两个平面的方程分别为?
1:
A1x+B1y+C1z+D1=0 ?
2:
A2x+B2y+C2z+D2=0:
A1A2+B1B2+C1C2=0?
1⊥?
2:
?
1∥?
2 A1B1C1?
?
A2B2C2A1B1C1D1?
?
?
A2B2C2D2:
?
1与?
2重合 4、建立平面方程 已知平面上的一点M0,以及法向量n={A,B,C},可直接写出点法 式方程。
过点M及M0,即可写出点法式方程。
过点M0作垂直于向量{A,B,C}的平面方程,取n={A,B,C}及M0 ,即可写出点法式方程。
过点M1M2M0的平面方程,设所求平面方程 为Ax+By+Cz+D=0,将已给三点的坐标代入,得到一个以A,B,C,D为未知量的方程组,求出A,B,C,D即得所求平面方程。
例1平面过点P且平行平面x-2y-3z+1=0,求此平面的方程。
解:
已知平面的法向量为:
n={1,-2,-3},即为所求平面的法向量 所以,1-2(y-1)-3(z-5)=0 即所求平面的方程为:
x-2y-3z+20=0 例2求通过不在一条直线上的三点P1,P2,和P3的 平面方程。
解:
法一:
所求平面的法向量应垂直P1P2,P1P3 P1P2={-2,-2,-3},P1P3={2,-2,-2} ijk n?
?
2?
2?
3?
{?
2,?
10,8} 2?
2?
2 所以平面方程为:
-2(x-1)-10(y-2)+8(z-3)=0(点法式) 即x+5y-4z+1=0 法二:
设所求平面方程为:
A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0 因平面过P2,P3点,代入方程得:
2A+2B+3C=0①A-B-C=0②①,②联立解得A?
?
B?
?
1C45C,代入所设方程,消去C得所求平面方程为:
x+5y-4z+1=04 法三:
设所求平面方程为:
Ax+By+Cz+D=0(一般式) 用P1,P2,P3的坐标代入得A+2B+3C+D=0,-A+D=0,3A+C+D=0,联立解得A=D,B=5D, C=-4D,代入所设方程得:
Dx+5Dy-4Dz+D=0,即x+5y-4z+1=0 例3平面过原点,且垂直于平面x+2y+3z-2=0,也垂直于平面6x-y+5z+23=0,求此平面 方程。
i解:
所求平面的法向量n=n1×n2=1j2k3?
13{1,1,?
1} 6?
15 所求平面方程为:
x+y-z=0例4设平面过点,且在三个坐标轴上的截距相等,求这个平面方程。
解:
设这个平面方程为:
程为:
x+y+z-2=0 直线 1、直线方程 标准方程:
过点M 的直线方程:
xyz?
?
?
1,用代入得a=2,故所求平面方aaax?
x0y?
y0z?
z0?
?
mnpA1x+B1y+C1z+D1=0(其中A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例)A2x+B2y+C2z+D2=0一般方程:
7 参数式方程:
(t为参数)x=x0+mt y=y0+nt 说明:
直线过M0点,方向向量为s={m,n,p} z=z0+pt2、两直线间的位置关系:
设两直线的方程分别为:
l1:
x?
x1y?
y1z?
z1?
?
m1n1p1x?
x2y?
y2z?
z2?
?
m2n2p2 l2:
:
m1m2?
n1n2?
p1p?
02l1?
l2:
l1∥l2 m1n1p?
?
1m2n2p2例5求过两点A,B的直线方程。
解:
取s=AB={-1,5,2} 所求直线方程为:
xy?
3z?
2?
?
?
152 例6将直线L的一般方程 x+2y-3z-5=0化为标准方程。
解:
直线的方向向量垂直于两平面的法向,取n1={1,2,-3} x-2y-z+7=0ijk n2={1,-2,-1},s=12?
3?
?
2{4,1,2}①求出方向向量 1?
2?
1 令z=0,解得x=-1,y=3②求出一点的坐标 所求直线方程为:
x-y+z+5=0例7过点且平行于直线 的直线方程。
x?
1y?
3z?
?
412ijk3x-8y+4z+36=0解:
已知直线的方向向量为:
s=1?
11?
{4,?
1,?
5}(方向向量垂直于两平面的法向3?
84量) 所求直线与s平行,且过点,故其方程为:
xy?
3z?
2?
?
4?
1?
53、直线l1与平面?
间的位置关系:
设直线与平面的方程分别为:
l:
x?
x0y?
y0z?
z0?
?
mnp8 ?
:
Ax?
By?
Cz?
D?
0:
l1?
?
ABC?
?
mnp:
Am?
Bn?
Cp?
0l1∥?
Am+Bn+Cp=0Ax0+By0+Cz0+D=0(x0,y0,z0,为直线上的点) l1落在?
上:
4、直线方程与平面方程的区别:
直线方程用连等式或方程组表示;平面方程为一个三元一次方程。
例8求过两点P1和P2且与直线平面方程。
解:
已知直线的方向向量s={2,-1,1},P2P1={3,-1,-4} x?
3y?
5z?
4?
?
平行的2?
11i 所求平面的法向量n=2jk?
11?
{5,11,1} 3?
1?
4 所求平面方程为:
5(x-1)+11y+1(z+1)=0 即5x+11y+z-4=0 例9求过点P且垂直于平面2x-y+3z+1=0的直线方程。
解:
方向向量s平行于n,取s=n={2,-1,3} 所求直线方程为:
x?
1y?
2z?
1?
?
2?
13例10直线L通过一个定点P且同时与平面x-2y+5z-1=0及3z-y-x=0平行, 求L的方程。
解:
已知条件知,L的方向向量同时垂直于两平面的法向量,故有:
is=1jk?
25?
{?
1,?
8,?
3} xy?
1z?
2?
?
183?
1?
13 所求直线方程为:
例11判定平面x-y+2z=1及-3x+3y-6z=2的位置关系。
解:
已知条件知:
A1=1,B1=-1,C1=2;A2=-3,B1=3,C1=-6 所以, A1B1C11?
?
?
?
A2B2C23x?
1y?
1z?
2x?
1yz?
2?
?
l2:
?
?
的位置关系。
1?
12?
1119 故知两平面平行。
例12判定两直线l1:
解:
已知条件知:
m1=1,n1=-1p1=2;m2=-1,n2=1p2=1; m1m2+n1n2+p1p2=-1-1+2=0 所以l1?
l2例13判定直线L:
x?
2y?
2z?
3?
?
及π:
4x-2y-2z=3的位置关系。
?
2?
73解:
已知条件知:
s={-2,-7,3},n={4,-2,-2} 则s·n=(-2)4+(-1)(-2)+3(-2)=0(方向向量与法向量垂直) 所以,L∥π,于M0=(2,-2,3)在直线L上,代入π的方程可得4×2-2×(-2)-2× 3=6≠3,即M0不在平面上,故知直线L平行于平面π但不在平面π上。
例14求平面2x-3y-z+12=0在三个坐标轴上的截距。
解:
平面2x-3y-z+12=0可得:
xyz?
?
?
1?
6412 故在x,y,z三个坐标轴上的截距分别为:
-6,4,12 例15过点且与平面x+2z=1及平面y-3z=2都平行的直线方程。
解:
所求直线的方向向量与平面x+2z=1及平面y-3z=2法向量都垂直,故 is=1j0k2?
{?
2,3,1},且过点,故其方程为:
01?
3 xy?
2z?
4?
?
?
231例16求直线解:
设 x?
3y?
2z?
?
与平面x+2y+2z+6=0的交点。
3?
21x?
3y?
2z?
?
?
t,则x=3t-3,y=-2t-2,z=t代入平面方程得:
3?
21+2+2t+6=0,解得t=1,故直线与与平面的交点坐标为:
x=0,y=-4,z=1,即 例17求过点A,且通过直线 x?
4y?
3z?
?
的平面方程。
521解:
直线上的点为在平面上,AB={1,-4,2},设所求平面的法向量为n,则n ⊥AB,n⊥s,故有 i5j2k2?
{?
8,9,22} 1 n=1?
4 所求平面方程为:
-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即8x-9y-22z-59=0 例18求过点A且垂直于直线L:
xyz?
?
,又与平面π:
7x+8y+9z+10=0456平行的直线方程。
解:
设所求直线的方向向量为s,已知直线的方向向量s1={4,5,6},已知平面的法向量为 10
n={7,8,9},故有 i s=n×s1=4j58k6?
?
3{1,?
2,1},所以,所求直线方程为:
97 x?
1y?
2z?
3?
?
1?
21例19求过点M且与两平面x-y+z-7=0,4x-3y+z-6=0都平行的直线方程。
解:
设所求直线的方向向量为s,则s垂直两平面的法向量,故有 ijk s=1?
11?
{1,3,1},所以,所求直线方程为:
4?
31x?
3y?
1z?
2?
?
231x+y+z+2=0例20求过点且垂直于直线 的平面方程。
解:
设所求平面的法向量为n,则n垂直于两平面的法向量,故有2x-y+z+1=0 i n=1j1k1?
{2,1,?
3},所以,所求平面方程为:
2?
112(x-1)+(y-2)-3(z-3)=0,即2x+y-3z+5=0例21已知平面π过三点A,B,C,求过点且垂直于平面π的直线方程。
解:
法一:
设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,代入A,B,C点的坐标得:
DDD,B?
?
C?
?
,所以平面方程为:
15x+10y+6z-30=0,则235x?
1y?
2z?
1?
?
s=n={15,10,6},所以,所求直线方程为:
15106A?
?
法二:
因AB={-2,3,0},BC={0,-3,5}, ijk0?
{15,10,6},所以,所求直线方程为:
则s=AB×BC?
?
230?
35 x?
1y?
2z?
1?
?
151065、建立直线方程确定直线上的一点M0及直线的方向向量s={m,n,p},建立标准式方程。
作过点M0且垂直于平面?
:
Ax?
By?
Cz?
D?
0的直线方程:
取M0及方向向量s={A,B,C},即可建立标准式方程。
作过点M1,M2的直线方程:
取M0=M1 )及方向向量s={x2-x1,y2-y1,z2-z1},即可建立标准式方程。
找到直线所在的两个平面,这两个平面方程联立就是所求的直线方程。
建立过已知点M0且与直线l:
x?
x1y?
y1z?
z1垂直的平面?
?
mnp方程,用点法式:
即m(x-x0)+n(y-y0)+p(z-z0)=0 三、简单的二次曲面 1、曲面方程:
F(x,y,z)=0为二次方程时,它所表示的曲面称为二次曲面。
2、柱面方程 F(x,y)=0表示母线平行于oz轴的柱面,则称其为柱面方程。
F(y,z)=0表示母线平行于ox轴的柱面,则称其为柱面方程。
F(x,z)=0表示母线平行于oy轴的柱面,则称其为柱面方程。
说明:
方程中的三个未知量x,y,z中,缺者为平行于该轴的柱面。
222 x+y-a=0表示母线平行于oz轴的圆柱面方程。
222 y+z-b=0表示母线平行于ox轴的圆柱面方程。
222 x+z-c=0表示母线平行于oy轴的圆柱面方程。
3、球面方程 2222 (x-a)+(y-b)+(z-c)=R表示球心在(a,b,c),半径为R的球面方程。
4、椭球面方程 x2y2z22?
2?
2?
1表示中心在原点的椭球面方程。
abc5、锥面方程 x2y2z2?
?
?
1表示顶点在原点,oz轴为对称轴的锥面方程。
a2b2c2说明:
负项表示对称轴。
6、以坐标轴为旋转轴的旋转面方程 设在yoz坐标面上曲线c的方程为f(y,z)=0,绕z轴旋转方程为 f(?
x2?
y2,z)?
0;绕y轴旋转方程为f(y,?
x?
z)?
0 7、旋转抛物面 若f(y,z)=0为yoz面上的抛物线,则前述旋转面方程称为旋转抛物面方程。
例22求下列曲面方程 在xoy平面上的直线y=2x绕x轴旋转的旋转曲面方程; 2 在xoz平面上的曲线x=2z绕x轴旋转的旋转曲面方程;解:
绕x轴旋转,x不变,方程中的y换成?
即4x=y+z 绕x轴旋转,x不变,方程中的z换成?
2 2 2 z2?
y2,得?
z2?
y2?
2x z2?
y2,得x?
2(y2?
z2) 12
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- 17年江苏省高数复习资料第七单元 向量代数 空间解析几何 17 江苏省 复习资料 第七 单元 向量 代数 空间 解析几何