不定方程与整数拆分.docx
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不定方程与整数拆分.docx
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不定方程与整数拆分
不定方程与整数拆分
第三讲不定方程与整数拆分 【专题知识点概述】 不定方程,简单地说,可以用一句话概括,即方程的数量小于未知数的数 量。
严格地说,不定方程是对解有一定限制的方程,属于数论的范畴,更 准确地说法是数论的分支。
与现实联系比较密切,经常应用于各种优化方 案中。
也是数学领域研究的重要课题之一。
整数拆分方法和方式也有很多,哪一种是符合条件的数在题目中再具体研究。
【授课批注】解不定方程的4个步骤:
①判断是否有解;②化简方程;③求特解;④求通解. 【重点难点解析】 1.判断不定方程何时有解。
2.不定方程解的个数。
3.解不定方程及不定方程组。
4.整数拆分的方法和技巧。
【竞赛考点挖掘】 因其题型的局限性,解题技巧更是类似于余数整除问题,因此近两年来,杯赛很少涉及,因此对于杯赛来讲,不做重点讲解。
整数拆分的思路和想法经常运用到小升初考试、杯赛中。
重点讲解!
【习题精讲】 【例1】(难度等级 ※) 装某种产品的盒子有大、小两种,大盒每盒装11个,小盒每盒装8个,要把89个产品装入盒内,要求每个盒子都恰好装满,需要大、小盒子各多少个?
【分析与解】设需要大盒x个,小盒y个,可列方程得 11889xy+= 因为盒子的数量只能为自然数, 所以解得 37xy== 即需要大盒3个,小盒子7个。
【例2】(难度等级 ※※) 有100个同学去操场踢足球、打排球和打篮球,每个足球场地22人,每个排球场地12人,每个篮球场地10人,他们共占了8个场地。
问:
其中足球场、排球场和篮球场各几个?
【分析与解】设足球场x个,排球场y个,篮球场z个,可列方程得 8221210100xyzxyz++=++=解得143xyz=== 所以足球场1个,排球场4个,篮球场3个。
【例3】(难度等级 ※※※)某地收取电费的标准是:
若每月用电不超过50千瓦时,则每千瓦时收5角;若超过50千瓦时,则超出部分按每千瓦时8角收费。
某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少千瓦时电?
【分析与解】根据题意可知,因为3元3角既不是5角的整数倍,也不是8角的整数倍。
所以甲用的电超过50千瓦时,乙用的电没有超过50千瓦时,设甲用的电超过50千瓦时的部分为x千瓦时电,乙用的电与50千瓦时相差y千瓦时电,可列方程得8533xy+=解得15xy== 所以甲用了50+1=51(千瓦时)的电,乙用了50-5=45(千万时)的电。
【例4】(难度等级 ※※※) 某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生,原计划一等奖每人发6支,二等奖每人发3支,三等奖每人发2支。
后来又改为一等奖每人发9支,二等奖每人发4支,三等奖每人发1支。
问:
获一、二、三等奖的学生各几人?
【分析与解】根据题意,设一等奖x人,二等奖y人,三等奖z人,可列方程得 632229422xyzxyz++=++=解得125xyz=== 所以,一等奖1人,二等奖2人,三等奖5人。
【例5】(难度等级 ※※) 新发行的一套邮票共3枚,面值分别为20分、40分和50分,小明花5.00元买了15张。
问:
其中三种面值的邮票各多少张?
【分析与解】根据题意,设面值20分的x张,面值40分的y张,面值50分的z张,可列方程得 15204050500xyzxyz++=++=解得672xyz=== 所以20分的6张,40分的7张,50分的2张。
【例6】(难度等级 ※※) 工程队要铺设78米长的地下排水管道,仓库中有3米和5米长的两种管子。
问:
可以有多少种不同取法?
【分析与解】根据题意,设3米管子x根,5米管子y根,可列方程得3578xy+= 解得260xy==或213xy==或166xy==或119xy==或612xy==或115xy== 所以共有6种取法。
【例7】(难度等级 ※※)袋子里有三种球,分别标有数字2,3和5,小明从中摸出几个球,它们的数字之和是43。
问:
小明最多摸出几个标有数字2的球?
【分析与解】根据题意,设摸出标有数字2的x个,摸出标有数字3的y个,摸出标有数字5的z个,可列方程得23543xyz++=x最大为所求。
解得2010xyz===所以,摸出标有数字2的最多为20个。
【例8】(难度等级 ※※※)小花狗和波斯猫是一对好朋友,它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。
若是早晨见面,小花狗叫两声,波斯猫叫一声;若是晚上见面,小花狗叫两声,波斯猫叫三声。
细心的小娟对它们的叫声统计了15天,发现它们并不是每天早晚都见面,在这15天内它们共叫了61声。
问:
波斯猫至少叫了多少声?
【分析与解】根据题意,设白天见面的次数为x,晚上见面的次数为y,可列方程得 3561xy+= 白天见面最多时,波斯猫叫声最少。
即x最大为所求。
解得125xy==所以,波斯猫至少叫125327+=(声)。
【例9】(难度等级 ※※)篮子里有煮蛋、茶蛋和皮蛋共30个,价值24元,已知煮蛋每个0.6元,茶蛋每个1.00元,皮蛋每个1.20元。
问:
篮子中最多有几个皮蛋?
【分析与解】根据题意,设煮蛋x个,茶蛋y个,皮蛋z个,可列方程得 300.61.224xyzxyz++=++=z最大为所求。
解得20190xyz===所以最多有10个皮蛋。
【例10】(难度等级 ※※※)用1分、2分和5分硬币凑成1元钱,共有多少种不同的凑法?
【分析与解】根据题意,设5分有x个,2分有y个,1分有z个,可列方程得 52100xyz++= 5分取20个,有1种。
5分取19个,2分有3种取法(2个、1个、0个),共3种。
5分取18个,共6种。
(同上) 5分取17个,共8种。
5分取16个,共11种。
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根据规律不难求出共有 1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26+28+31+33+36+38+41+43+46+48+51 =18+58+98+138+178+51 =490+51 =541 【例11】(难度等级 ※※)小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔,他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种,而且小华买来的铅笔比小强多.小华比小强多买来铅笔__支.【分析与解】设买5分一支的铅笔m支,7分一支的铅笔n支。
则:
5m+7n=64, 647n是5的倍数.用n=0,1,2,3,4,5,6,7,8代入检验,只有n=2,7满足这一要求,得出相应的m=10,3.即小华买铅笔lO+2=12支,小强买铅笔7+3=10支,小华比小强多买2支. 【例12】(难度等级 ※※※)小萌在邮局寄了3种信,平信每封8分,航空信每封1角,挂号信每封2角,她共用了1元2角2分。
那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?
【分析与解】平信每封8分,航空信分封1角=10分,挂号信每封2角=20分。
共用了1元2角2分=122分。
设小萌发了平信X封,航空信Y封,挂号信Z封。
得方程:
8X+10Y+20Z=122,要使这3种信的总和最少,则挂号信应最多;再则航空信也尽可能多。
因总钱数的个位是2,则平信最少是4封。
84=32分。
其余信的总钱数为122-32=90分。
90/20=410。
则挂号信4封,航空信10/10=1封。
4+4+1=9封。
【例13】(难度等级 ※※※)某校师生为贫困地区捐款1995元.这个学校共有35名教师,14个教学班.各班学生人数相同且多于30人不超过45人.如果平均每人捐款的钱数是整数,那么平均每人捐款多少元?
【分析与解】设每班有a(30<a45)名学生,每人平均捐款x元(x是整数),依题意有:
x(14a+35)=1995.于是14a+35|1995.又3l<a45,所以469<14a+35665,而1995=35719,在469与665之间它的约数仅有665,故14a+35=665,x=3,平均每人捐款3元. 【例14】(难度等级 ※※※)甲、乙二人搬砖,甲搬的砖数是18的倍数,乙搬的砖数是23的倍数,两人共搬了300块砖。
问:
甲、乙二人谁搬的砖多?
多几块?
【分析与解】设甲搬的是18x块,乙搬的是23y块,那么18x+23y=300,观察发现18x和300都是6的倍数,所以y也是6的倍数,y=6时 18x=162 x=9,y=12时 18x=24 x=4/3 矛盾,所以甲搬了162块,乙搬了138块,甲比乙多24块。
【例15】(难度等级 ※※※) 某单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有寺的职工各带一个孩子参加.男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子种6棵树,他们一共种了216棵树.那么其中有多少名男职工?
【分析与解】设男职工x人,孩子y人,则女职工3y-x人(注意,为何设孩子数为y人,而不是设女职工为y人), 那么有()131036xyxy++=216,化简为336xy+=216,即12xy+=72. 有122436486054321xxxxxyyyyy==========. 但是,女职工人数为3yx必须是自然数,所以只有125xy==时,33yx=满足. 那么男职工数只能为12名 【例16】(难度等级 ※※) 设A和B都是自然数,并且满足1711333AB+=,那么A+B等于多少?
【分析与解】将等式两边通分,有3A+llB=17,显然有B=l,A=2时满足,此时A+B=2+1=3. 【例17】(难度等级 ※※※) 一居民要装修房屋,买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根.如果从这些木条中取出一些接起来,可以得到许多种长度的木条,例如:
O.7+O.7=1.4米,0.7+0.8=1.5米.那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中,哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?
【分析与解】设0.7米,0.8米两种木条分别x,y根,则0.7x+0.8y=3.4 3.6,即7x+8y=34,36,37,38,39。
将系数,常数对7取模,有y6,l,2,3,4(mod 7),于是y最小分别取6,1,2,3,4.但是当y取6时,86=48超过34,x无法取值. 所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的. 【例18】(难度等级 ※※※) 有三堆砝码,第一堆中每个砝码重3克,第二堆中每个砝码重5克,第三堆中每个砝码重7克.现在要取出最少个数的砝码,使它们的总重量为130克.那么共需要多少个砝码?
其中3克、5克和7克的砝码各有几个?
【分析与解】为了使选取的砝码最少,应尽可能的取7克的砝码.1307:
184,所以3克、5克的砝码应组合为4克,或4+7k克重. 设3克的砝码x个,5克的砝码y个,则3547xyk+=+. 当k=0时,有354xy+=,无自然数解; 当k=1时,有3511xy+=,有x=2,y=1,此时7克的砝码取17个,所以共 需2+1+17=21个砝码,有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个. 当k>1时,7克的砝码取得较少,而3、5克的砝码却取得较多,不是最少的取 砝码情形.所以共需2+1+17=20个砝码,有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个. 【例19】(难度等级 ※※※※)
(1)将50分拆成10个质数之和,要求其中最大的质数尽可能大,那么这个最大质数是多少?
(2)将60分拆成10个质数之和,要求其中最大的质数尽可能小,那么这个最大的质数是多少?
【分析与解】(1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等,不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29,显然大于50. 所以,其中一定可以有某几个质数相等. 欲使最大的质数尽可能大,那么应使最小的质数尽可能小,最小的质数为2,且最多可有9个2,那么最大质数不超过5029=32,而不超过32的最大质数为31. 又有825022223+++31=+++个,所以满足条件的最大质数为31. (2)最大的质数必大于5,否则10个质数的之和将不大于50. 所以最大的质数最小为7,为使和为60,所以尽可能的含有多个7. 607=84,8760=7+7+7++7+4个,而4=2+2,恰好有8760=7+7+7++7+2+2个.即8个7与2个2的和为60,显然其中最大的质数最小为7. 【例20】(难度等级 ※※※※)小明买红、蓝两支笔,共用了17元.两种笔的单价都是整数元,并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种),可是他无论怎么买,都不能把35元恰好用完.那么红笔的单价是多少元?
【分析与解】如下表 先枚举出所有可能的单价如表1. 再依次考虑:
首先,不能出现35的约数.否则只买这种笔就可以刚好用完35元,所以含有7,5,1的组合不可能.然后,也不能出现3517=18的约数.否则先各买一支需17元,那么再买这种笔就可以花去18元,一共花35元.所以含有9,6,3,2的组合也不可能. 所以,只有13+4的组合可能,经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解.所以红笔的单价为13元. 【作业】 1.有150个乒乓球分装在大小两种盒子里,大盒装12个,小盒装7个。
问:
需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完?
【答案】大盒9个小盒6个2.14个大、中、小号钢珠共重100克,大号钢珠每个重12克,中号每个重8克,小号每个重5克。
问:
大、中、小号钢珠各多少个?
【答案】大号钢珠3个,中号钢珠3个,小号钢珠8个3.一批布长36米,用此布做一套成人衣服用布3米,做一套儿童衣服用布1.6米。
要把这批布刚好用完且成人衣服和儿童衣服都要做,应做多少套成人衣服?
多少套儿童衣服?
【答案】成人衣服4套,儿童衣服15套。
4.庙里有若干个大和尚和若干个小和尚,已知7个大和尚每天共吃41个馒头,29个小和尚每天共吃11个馒头,平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。
问:
庙里至少有多少个和尚?
【答案】至少556个和尚。
5.商店里的白糖有4千克、3千克和1千克三种不同包装,一位顾客要买15千克白糖。
问:
售货员给这位顾客白糖可以用多少种不同方法?
【答案】15种。
挑战自己 (难度等级 ※※※※※) 小明和小强都是张老师的学生,张老师的生日是M月N日,2人都不知道张老师的生日是下列10组中的哪一天,张老师把M值告诉了小明,把N值告诉了小强,张老师问他们知道他的生日是哪一天吗?
3月4日、3月5日、3月8日、6月4日、6月7日、9月1日、9月5日、12月1日、12月2日、12月8日;小明说:
如果我不知道的话,小强肯定也不知道小强说:
本来我也不知道,但是现在我知道了小明说:
哦,那我也知道了请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天?
【答案】9月1日。
数学王子高斯尔.弗里德里希.高斯(CarlFriedrichGauszlig;,1777.4.30~1855.2.23),德国数学家出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。
父亲格尔恰尔德迪德里赫先后当过护堤工、泥瓦匠和园丁,第一个妻子和他生活了10多年后因病去世,没有为他留下孩子。
迪德里赫后来娶了罗捷雅,第二年他们的孩子高斯出生了,这是他们唯一的孩子。
父亲对高斯要求极为严厉,甚至有些过分,常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生。
高斯尊重他的父亲,并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。
1806年迪德里赫逝世,此时高斯已经做出了许多划时代的成就。
在成长过程中,幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。
高斯的外祖父是一位石匠,30岁那年死于肺结核,留下了两个孩子:
高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希(Friederich)。
弗利德里希富有智慧,为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。
他发现姐姐的儿子聪明伶利,因此他就把一部分精力花在这位小天才身上,用生动活泼的方式开发高斯的智力。
若干年后,已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切,深感对他成才之重要,他想到舅舅多产的思想,不无伤感地说,舅舅去世使我们失去了一位天才。
正是由于弗利德里希慧眼识英才,经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展,才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。
在数学史上,很少有人象高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。
罗捷雅直到34岁才出嫁,生下高斯时已有35岁了。
他性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感。
高斯一生下来,就对一切现象和事物十分好奇,而且决心弄个水落石出,这已经超出了一个孩子能被许可的范围。
当丈夫为此训斥孩子时,他总是支持高斯,坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。
罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟大的事业,对高斯的才华极为珍视。
然而,他也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。
在高斯19岁那年,尽管他已做出了许多伟大的数学成就,但她仍向数学界的朋友W.波尔约(W.Bolyai,非欧几何创立者之一J.波尔约之父)问道:
高斯将来会有出息吗?
W.波尔约说她的儿子将是欧洲最伟大的数学家,为此她激动得热泪盈眶。
7岁那年,高斯第一次上学了。
头两年没有什么特殊的事情。
1787年高斯10岁,他进入了学习数学的班次,这是一个首次创办的班,孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。
数学教师是布特纳(Buttner),他对高斯的成长也起了一定作用。
在全世界广为流传的一则故事说,高斯最出名的故事就是他十岁时,小学老师出了一道算术难题:
计算1+2+3+100=?
。
这可难为初学算术的学生,但是高斯却在几秒后将答案解了出来,他利用算术级数(等差级数)的对称性,然后就像求得一般算术级数和的过程一样,把数目一对对的凑在一起:
1+100,2+99,3+98,49+52,50+51而这样的组合有50组,所以答案很快的就可以求出是:
10150=5050。
不过,这很可能是一个不真实的传说。
据对高斯素有研究的著名数学史家ET贝尔(E.T.Bell)考证,布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题:
81297+81495+81693++100899。
当然,这也是一个等差数列的求和问题(公差为198,项数为100)。
当布特纳刚一写完时,高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去。
ET贝尔写道,高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事,说当时只有他写的答案是正确的,而其他的孩子们都错了。
高斯没有明确地讲过,他是用什么方法那么快就解决了这个问题。
数学史家们倾向于认为,高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。
一位年仅10岁的孩子,能独立发现这一数学方法实属很不平常。
贝尔根据高斯本人晚年的说法而叙述的史实,应该是比较可信的。
而且,这更能反映高斯从小就注意把握更本质的数学方法这一特点。
高斯的计算能力,更主要地是高斯独到的数学方法、非同一般的创造力,使布特纳对他刮目相看。
他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯,说:
你已经超过了我,我没有什么东西可以教你了。
接着,高斯与布特纳的助手巴特尔斯(J.M.Bartels)建立了真诚的友谊,直到巴特尔斯逝世。
他们一起学习,互相帮助,高斯由此开始了真正的数学研究。
1788年,11岁的高斯进入了文科学校,他在新的学校里,所有的功课都极好,特别是古典文学、数学尤为突出。
经过巴特尔斯等人的引荐,布伦兹维克公爵召见了14岁的高斯。
这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情,公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人,让他继续学习。
布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。
不仅如此,这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式,表明在科学研究社会化以前,私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。
高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。
1792年,高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。
1795年,公爵又为他支付各种费用,送他入德国著名的哥丁根大学,这样就使得高斯得以按照自己的理想,勤奋地学习和开始进行创造性的研究。
1799年,高斯完成了博士论文,回到家乡布伦兹维克,正当他为自己的前途、生计担忧而病倒时----虽然他的博士论文顺利通过了,已被授予博士学位,
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