高中数学竞赛综合训练题.docx
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高中数学竞赛综合训练题
高中数学竞赛综合训练题
姓名得分
一、选择题
1.如果
的三个内角的余弦值分别等于
的三个内角的正弦值,则()
A.
和
都是锐角三角形
B.
和
都是钝角三角形
C.
是钝角三角形,
是锐角三角形
D.
是锐角三角形,
是钝角三角形
2.过原点的直线
交双曲线
于P、Q两点,其中P点在第二象限,现将上、下两个半平面沿
轴折成直二面角,此时,点P的位置落到点
上,则线段
的最短长度是()A.
B.
C.
D.4
3.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α()
A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个
4.已知S是由n(n≥3)个正整数组成的集合。
若S中存在三个不同的元素可构成三角形的三边,则称S为“三角数集”,设有连续正整数组成的集合{4,5,6,…,m},它的所有10元子集都是三角数集,则m的最大值可能是()
A.1003B.503C.253D.103
5.若对任意的长方体A,都存在一个与A等高的长方体B,使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于λ,则λ的取值范围是()
(A)λ>0(B)0<λ≤1(C)λ>l(D)λ≥l
二、填空题
6.已知函数
满足:
对于实数
的某些值,可以找到相应正数
,使得
的定义域与值域相同,那么符合条件的实数
的个数是
7.对于一切实数
,不等式
恒成立,则
的取值范围是
8.将等差数列{an}:
an=4n-1中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{bn},则
的值为
9.在双曲线
﹣
=1的一支上不同三点,A、B(
6)、C与焦点F(0,5)的距离成等差数列,则线段AC的垂直平分线l经过的定点为.
10.数列{an}称为等差比数列,当且仅当此数列满足a0=0,{an+1-qan}构成公比为
q的等比数列.q称为此等差比数列的差比.那么,由100以内的自然数构成等差比数列
而差比大于1时,项数最多有项.
11.已知在三棱锥S-ABC中,SC⊥CB,SA⊥AB,CB⊥AB,并且SA、SC与△ABC所在平面所成的角相等.若AC=6,S到平面ABC的距离为4,则异面直线AC与SB之间
的距离为
12.设圆
:
,直线
,点
,使得存在点
,使
(
为坐标原点),则
的取值范围是
二、解答题
1.整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=l,且对于每个正整数n,有un+1un-1=kun,这里k是某个固定的正整数.如果u2000=2000,求k的所有可能的值.
2.
、
、
、
四点都在椭圆
上,
为椭圆在
轴正半轴上的焦点.已知
与
共线,
与
共线,且
.求四边形
的面积的最小值和最大值.
3.设集合A是由定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合:
①对任意
,都有
;
②存在常数
,使得对任意的
,
都有
试解答下列问题:
(Ⅰ)设
,证明:
(Ⅱ)设
如果存在
使得
那么这样的
是唯一的;
(Ⅲ)设
任取
令
证明:
给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式
高中数学竞赛训练题10.12
姓名得分
1.已知函数
满足:
对于实数
的某些值,可以找到相应正数
,使得
的定义域与值域相同,那么符合条件的实数
的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.不存在
时,
(b>0)的定义域与值域都是
当
时,
的定义域是
≥0的解集,即为
,但由于它的值域不含负数,故必
<0,
此时值域为
所以
,所以
有两个值0和-4。
2.如果
的三个内角的余弦值分别等于
的三个内角的正弦值,则()
A.
和
都是锐角三角形B.
和
都是钝角三角形
C.
是钝角三角形,
是锐角三角形
D.
是锐角三角形,
是钝角三角形
解:
的三个内角的余弦值均大于0,则
是锐角三角形,若
是锐角三角形,由
,得
,那么,
,所以
是钝角三角形。
故选D。
3.过原点的直线
交双曲线
于P、Q两点,其中P点在第二象限,现将
上、下两个半平面沿
轴折成直二面角,此时,点P的位置落到点
上,则线段
的最短长度是()A.
B.
C.
D.4
D解:
设直线方程为
.由
得
,
过
作
⊥
于
,连
,则
⊥
,得△
为直角三角形.
∴
∴当
,
(取负数)时,
,这时直线方程为
。
4.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α()
A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个
解设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m,n,直线m、n确定了平面β,作与β平行的平面α与四棱锥侧棱相截,则截得的四边形是平行四边形.这样的平面α有无数多个.故选D.
5.已知S是由n(n≥3)个正整数组成的集合。
若S中存在三个不同的元素可构成三角形的三边,则称S为“三角数集”,设有连续正整数组成的集合{4,5,6,…,m},它的所有10元子集都是三角数集,则m的最大值可能是()
A.1003B.503C.253D.103
6.若对任意的长方体A,都存在一个与A等高的长方体B,使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于λ,则λ的取值范围是()
(A)λ>0(B)0<λ≤1(C)λ>l(D)λ≥l
解设长方体A的底面长、宽分别为a1,a2,长方体B的的底面长、宽分别为b1,b2,由题设可得
,即
,
,所以b1,b2是关于x的一元二次方程
的两个根,故△
所以
,又因为
,所以λ≥l
故选(D)
二、填空题
7.对于一切实数
,不等式
恒成立,则
的取值范围------------
解:
分离参数,由函数值域构建不等式求解.
原不等式
,易求
对一切实数
恒有
,
的最小值为0.要使不等式恒成立,只需
,解之得所求
的取值范围为
(
).
8.将等差数列{an}:
an=4n-1中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{bn},则
的值为
解:
由于an+15-an=60,故若an是3或5的倍数,当且仅当an+15是3或5的倍数。
现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:
(0,+∞)=(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{an}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{bn}的项8个,为:
b1=7,b2=11,b3=19,b4=23,b5=31,b6=43,b7=47,b8=59,
于是每个区间段中恰有15个{an}的项,8个{bn}的项,且有b8k+r-br=60k,k∈N,1≤r≤8.
由于2006=8×250+6,而b6=43,所以
.
9.在双曲线
﹣
=1的一支上不同三点,A、B(
6)、C与焦点F(0,5)的距离成等差数列,则线段AC的垂直平分线l经过的定点为.
证明:
设A(x1,y1)、C(x2,y2),AC的中点M(x0,y0),∵A、B、C与焦点F(0,5)的距离成等差数列,由焦半径公式,得(ey1﹣a)+(ey2﹣a)=2(e×6﹣a),解得y1+y2=12,∴y0=
=6.
又13y12﹣12x12=156,13y22﹣12x22=156,13(y1﹣y2)(y1+y2)﹣12(x1﹣x2)(x1+x2)=0,
∴kAC=
=
=
=
x0,则AB垂直平分线l的斜率为k=﹣
∴l的方程为:
y﹣6=﹣
(x﹣x0),即y=﹣
x+
.故直线l必过定点(0,
).
10.数列{an}称为等差比数列,当且仅当此数列满足a0=0,{an+1-qan}构成公比为
q的等比数列.q称为此等差比数列的差比.那么,由100以内的自然数构成等差比数列
而差比大于1时,项数最多有项.
11.已知在三棱锥S-ABC中,SC⊥CB,SA⊥AB,CB⊥AB,并且SA、SC与△ABC所在平面所成的角相等.若AC=6,S到平面ABC的距离为4,则异面直线AC与SB之间
的距离为
解如图,过点S作SD⊥平面ABC,垂足为D.联结AD、CD、BD,记AC交BD于点D.由于SC⊥CB,根据三垂线定理得CD⊥BC.同理,AB⊥AD.又由CB⊥AB,得四边形ABCD为矩形.由SA、SC与△ABC所在平面所成的角相等,得AD=CD.故四边形ABCD为正方形.
过点O作OE⊥SB,垂足为E.由于SD⊥AC,AC⊥BD,得AC⊥平面SBD.
于是,AC⊥OE.从而,OE为AC与SB的公垂线.
过点D作DF⊥SB,垂足为F.则有
所以,异面直线AC与SB之间的距离为
12.设圆
:
,直线
,点
,使得存在点
,使
(
为坐标原点),则
的取值范围是
13.
二、解答题
1.整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=l,且对于每个正整数n,有un+1un-1=kun,
这里k是某个固定的正整数.如果u2000=2000,求k的所有可能的值.
【解】记u1=u,由题设
如果u=0,那么u1=0,u2=0.
若ut-1=0,则有kut=ut+1ut-1,
从而ut=0.故对任意正整数n,un=0.
此与u2000=2000矛盾,
因此,u≠0.由题设,经计算得
由此可见,给定数列是一个周期数列,并且周期为6.
于是由2000=6×333+2可知
u2000=u2=ku,
因此k应满足
(k.u都是正整数)
将k=u×u5代入,得u2×u5=2000,u2×u5=24·53.
u2的全部可能值为1,22,24,52,22×52,24×52,
从而u的全部可能值为1,2,22,5,2×5,22×5;
k的全部可能值为2000,1000,500,400,200,100.
2.
、
、
、
四点都在椭圆
上,
为椭圆在
轴正半轴上的焦点.已知
与
共线,
与
共线,且
.求四边形
的面积的最小值和最大值.
解:
如图,由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且PQ⊥MN,直线PQ、NM中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为K,又PQ过点F(0,1),故PQ的方程为
=
+1
将此式代入椭圆方程得(2+
)
+2
-1=0
设P、Q两点的坐标分别为(
,
),(
,
),则
从而
亦即
(1)当
≠0时,MN的斜率为-
,同上可推得
故四边形面积
令
=
得
∵
=
≥2
当
=±1时
=2,S=
且S是以
为自变量的增函数
∴
②当
=0时,MN为椭圆长轴,|MN|=2
,|PQ|=
。
∴S=
|PQ||MN|=2
综合①②知四边形PMQN的最大值为2,最小值为
。
3.设集合A是由定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合:
①对任意
,都有
;
②存在常数
,使得对任意的
,
都有
试解答下列问题:
(Ⅰ)设
,证明:
(Ⅱ)设
如果存在
使得
那么这样的
是唯一的;
(Ⅲ)设
任取
令
证明
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- 高中数学 竞赛 综合 训练