数学人教版九年级下册2822解直角三角形2应用举例教学设计22解直角三角形2应用举例教学设计.docx
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数学人教版九年级下册2822解直角三角形2应用举例教学设计22解直角三角形2应用举例教学设计
教学设计
初中数学
28.2.2应用举例
第1课时俯角、仰角问题
——数学人教版九年级下册
作者姓名:
杜巧云
工作单位:
周至县二曲初级中学
区县:
周至县
邮政编码:
710400
教学目标:
【知识与技能】
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题,并利用解直角三角形方法来解决问题.
【过程与方法】
将实际问题转化为解直角三角形问题过程中,培养学生的转化能力,增强分析问题和解决问题的能力.
【情感态度】
进一步增强学生数学应用意识,感知数学来源于生活又服务于生活的辩证关系.
【教学重点】
学会将实际问题转化为解直角三角形问题,并能综合运用所学知识来解决这些应用问题.
【教学难点】
将实际问题抽象为数学模型.
教学过程:
一、情境导入,初步认识
情景:
2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地面343km的圆形轨道上运行,如图,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?
最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km,π取3.142,结果取整数)?
问题:
你能运用解直角三角形和圆的知识解决这个问题吗?
1.板书课题
2.出示学习目标
3.明确学习重、难点
【教学说明】引导学生先把实际问题转化成数学模型后,明确本节课的学习方向.
二、典例精析,掌握新知
问题1:
例12012年6月i8日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行,如图,当组合体运行到地球表面犘点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?
最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km,π取3.142,结果取整数)?
分析与解从组合体上能直接看到的地球上最远的点,应是视线与地球相切时的切点.如图,⊙O表示地球,点F表示组合体的位置FQ是⊙O的切线,则Q点是从组合体上观测地球时的最远点,
的长就是地球上两点P、Q之间的距离,这时可利用
得到α≈18.36°,故
的长为
,而观测到的最远点与P点的距离约为2051km.需引起学生注意的是,P、Q两点的距离指
的长度而不是线段PQ的长.
问题2:
例2热气球的探测器显示,从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高(结果取整数)?
分析与解可根据仰角和俯角定义知,
问题链设计:
①仰角和俯角的概念:
如图,从下往上看,视线与水平线的夹角叫做仰角,从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.图中的∠1是仰角,∠2是俯角.
②教材P75例4中,过点A作AD⊥BC于D,则在Rt△ABD中,∠BAD=30°,AD=120,故选择关系式
可求BD的长;在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AD=120,故选择关系式
可求CD的长.所以这栋楼的高BC=BD+CD≈277m.
③热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为45°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?
120×tan45°+120×tan60°≈328(m)
④热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的俯角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?
120×tan60°-120×tan30°≈139(m)
⑤在斜三角形、梯形、矩形、菱形和正方形中,怎样添加辅助线构造直角三角形?
【教学说明】上述两道例题可让学生自主探索,也可相互交流,最后师生共同获得解答过程,学生自查,增强解题技能.
三、对应训练,深化理解
1.建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°,观测底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(结果保留一位小数).
2.如图,在一次龙卷风中,一棵大树在离地面若干米处折断倒地B为折断点,树顶A落在离树根C的12m处,测得∠BAC=48°,则此棵大树原长为多少米?
(精确到0.1m).
【教学说明】在学生自主探究过程中,教师巡视,与学生一道分析解题思路,探讨构建直角三角形来解决实际问题的方法,并对有困难的学生予以指导,树立他们的学习信心.在完成上述题目后,教师引导学生完成创优作业中本课时练习的“课堂演练”部分.
4、竞速测试
1.如图,在半径为2的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为1,C为
优弧上任意一点,则∠ACB=(B)
A.30°B.60°C.90°D.120°
2.教材P76练习题2
5、师生互动,课堂小结
1.学生发展性评价设计:
2.教师对学生的评价:
(1)表现性评价:
点评学生学习的态度,小组交流合作回答问题情况等.
(2)纸笔评价:
课堂评价检测.
3.教师的自我评价:
本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境,引导学生将实际问题转化为简单的数学模型,培养学生的转化能力,增强学生分析实际问题和解决实际问题的能力.
教学时应注意从实际生活出发,努力体现数学与生活的联系.此外,还要注重培养学生自主提炼题干并将其转化为数学模型的能力,注重从实物的形象思维向数学的抽象思维转变.
【教学说明】让学生在相互交流过程中总结解题思路,解题方程,进一步积累解题经验,并听取学生的疑问,及时查漏补缺.
6、作业布置
1.布置作业:
从教材P77~79习题28.2中选取.
2.完成新学案中本课时的“课时作业”部分.
学生发展性评价设计:
表1:
学生自我评价表
评价项目
在本节课的学习中,我参与了哪项活动:
我的任务主要是什么:
我积极的表现有:
我不够积极的表现有:
我需要改进的是:
我最大的收获是什么:
自我评价等级
“耶!
五颗星。
”
“好!
四颗星。
”
“不错,三颗星。
”
“加油,两颗星。
”
表2、组内互评(组长填写)组员姓名:
_____________ 等级:
______________
互助性
参与积极性
意见科学性
纪律
贡献大小
好
一般
有待改进
他(她)有什么值得
你学习的地方:
表3、组间互评(组内讨论填写)被评价组主题:
_________等级_________
参与积极性
演示效果
组内的团结
纪律
好
一般
有待改进
附件1:
导学案
一、新课导入
1.课题导入
情景:
2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地面343km的圆形轨道上运行,如图,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?
最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km,π取3.142,结果取整数)?
问题:
你能运用解直角三角形和圆的知识解决这个问题吗?
(板书课题)
2.学习目标
(1)会运用解直角三角形和圆的知识解决实际问题.
(2)知道仰角和俯角的含义,会用三角函数解决观测问题.
3.学习重、难点
重点:
解直角三角形.
难点:
将实际问题转化为数学问题.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导
(1)自学内容:
教材P74例3.
(2)自学时间:
8分钟.
(3)自学方法:
仔细体会直角三角形的直角是怎样得到的.
(4)自学参考提纲:
①实际问题转化成数学模型,画出如图所示的图形,用⊙O表示地球,点F是组合体的位置,则视线FQ与⊙O相切,切点Q是观测地球时看到的最远点,要求的最远点与P点的距离就是求
的长.
②∵FQ是⊙O的切线,∴∠FQO=90°,∴△FOQ是直角三角形.
③选择关系式求α的度数.
∵cosα=
≈0.9491,∴α≈18.36°.
④求
的长.
.
⑤想一想:
怎样得到∠FQO是直角的?
为什么
的长是最远点与P点的距离?
2.自学:
学生可参考自学指导进行自学.
3.助学
(1)师助生:
①明了学情:
明了学生是否理解Rt△FQO中相关元素的实际意义.
②差异指导:
根据学情进行个别或分类指导.
(2)生助生:
小组内相互交流、研讨.
4.强化
圆中获得直角的主要途径有:
(1)过圆心作弦的垂线段.
(2)构造直径所对的圆周角.
(3)连接切点和圆心.
第二层次学习
1.自学指导
(1)自学内容:
教材P75例4.
(2)自学时间:
10分钟.
(3)自学方法:
先自主探索,再同桌之间互相讨论、纠错.
(4)自学参考提纲:
①仰角和俯角的概念:
如图,从下往上看,视线与水平线的夹角叫做仰角,从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.图中的∠1是仰角,∠2是俯角.
②教材P75例4中,过点A作AD⊥BC于D,则在Rt△ABD中,∠BAD=30°,AD=120,故选择关系式
可求BD的长;在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AD=120,故选择关系式
可求CD的长.所以这栋楼的高BC=BD+CD≈277m.
③热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为45°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?
120×tan45°+120×tan60°≈328(m)
④热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的俯角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?
120×tan60°-120×tan30°≈139(m)
⑤在斜三角形、梯形、矩形、菱形和正方形中,怎样添加辅助线构造直角三角形?
2.自学:
学生可参考自学指导进行自学.
3.助学
(1)师助生:
①明了学情:
关注学生自学提纲的解答情况,特别是第④、第⑤题.
②差异指导:
根据学情进行相应指导.
(2)生助生:
生生互动,交流研讨、纠正.
4.强化
(1)仰角、俯角的定义.
(2)当问题涉及到的三角形不是直角三角形时,添加辅助线构造直角三角形的图例.
三、对应训练,深化理解
1.建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°,观测底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(结果保留一位小数).
2.如图,在一次龙卷风中,一棵大树在离地面若干米处折断倒地B为折断点,树顶A落在离树根C的12m处,测得∠BAC=48°,则此棵大树原长为多少米?
(精确到0.1m).
四、竞速测试(5分钟).
1.如图,在半径为2的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为1,C为
优弧上任意一点,则∠ACB=(B)
A.30°B.60°C.90°D.120°
2.教材P76练习题2
5、自我评价
评价项目
在本节课的学习中,我参与了哪项活动:
我的任务主要是什么:
我积极的表现有:
我不够积极的表现有:
我需要改进的是:
我最大的收获是什么:
自我评价等级
“耶!
五颗星。
”
“好!
四颗星。
”
“不错,三颗星。
”
“加油,两颗星。
”
附件2:
评价作业
一、基础巩固(70分)
1.(10分)如图,有一圆弧形桥拱,拱的跨度AB=303m,拱形的半径R=30m,则拱形的弧长等于20πm.
2.(10分)如图,在半径为2的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为1,C为
优弧上任意一点,则∠ACB=(B)
A.30°B.60°C.90°D.120°
3.(10分)如图,身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度,已知她与树之间的距离为6m,那么这棵树高大约为5.1m
(结果精确到0.1m,其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高).
4.(20分)如图,BC是⊙O的直径,P是CB延长线上一点,PA切⊙O于点A,如果PA=
,PB=1,求sin∠APC的值.
解:
连接OA.∵PA切⊙O于点A,∴∠OAP=90°.
在Rt△OAP中,设OA=x,则OP=OB+PB=x+1.又有PA=
∴x2+(
)2=(x+1)2,∴x=1.即OA=1,OP=2.∴sin∠APC=
=
.
5.(20分)如图,一枚运载火箭从地面L处发射.当火箭到达A点时,从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km,仰角为43°;1s后,火箭到达B点,此时测得仰角为45.54°.这枚火箭从A到B的平均速度是多少?
(结果保留小数点后两位,参考数据:
sin43°≈0.682,cos43°≈0.731,tan43°≈0.933;sin45.54°≈0.714,cos45.54°≈0.700,tan45.54°≈1.019)
解:
LR=AR·cos43°≈6×0.731=4.386.
AL=AR·sin43°≈6×0.682=4.092.
BL=LR·tan45.54°≈4.386×1.019=4.469334.
AB=BL-AL≈0.377334.
∴这枚火箭从A到B的平均速度为0.377334÷
≈1358.40(km/h).
二、综合应用(20分)
6.(20分)某校课外活动小组在距离湖面7m高的观测台A处,看湖面上空一热气球P的仰角为37°,看P在湖中的倒影P′的俯角为53°(P′为P关于湖面的对称点).请你算出这个热气球P距湖面的高度PC约为多少米?
参考数据:
sin37°≈
,cos37°≈
,tan37°≈
,sin53°≈
,cos53°≈
,tan53°≈
解:
设过点A的水平线交PP′于点D,则DC=AB=7,设AD=x.
则PD=AD·tan37°≈34x.P′D=AD·tan53°≈43x.
∵P′、P关于直线BC对称,∴PC=P′C.即PD+DC=P′D-DC.
∴
x+7=
x-7.∴x=24,∴PC≈25米.
因此,这个热气球P距湖面的高度PC约为25米.
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- 学人 九年级 下册 2822 直角三角形 应用 举例 教学 设计 22
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