特殊的平行四边形专题题型详细分类.docx
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特殊的平行四边形专题题型详细分类
特殊的平行四边形讲义
知识点归纳
矩形
菱形
正方形
性
质
边
对边平行且相等
对边平行,四边相等
对边平行,四边相等
角
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
对角线
互相平分且相等
互相垂直平分,且每条对
角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定
•有一个角是直角;
•是平行四边形且有一个角是直角;
•是平行四边形且两条对角线相等•
•四边相等的四边形;
•是平行四边形且有一组邻边相等;
•是平行四边形且两条对
角线互相垂直。
•是矩形,且有一组邻边相等;
•是菱形,且有一个角是直角。
对称性
既是轴对称图形,又是中心对称图形
形,菱形和正方形之间的联系如下表所示:
四边形分类专题汇总
专题一:
特殊四边形的判定
【知识点】
1.平行四边形的判定方法:
(1)
(2)(3)(4)
2.矩形的判定方法:
(1)
(2)(3)
3.菱形的判定方法:
(1)
(2)(3)
4.正方形的判定方法:
(1)
(2)(3)
5.等腰梯形的判定方法:
(1)
(2)(3)
【练一练】
一•选择题
1•能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是()•
A
.AB//CDAD=BC
B
.ZA=ZB,ZC=ZD
C
.AB=CDAD=BC
D
.AB=ADCB=CD
2.具备下列条件的四边形中,
不能确定是平行四边形的为()
A
.相邻的角互补
B
.两组对角分别相等
C•一组对边平行,另一组对边相等D•对角线交点是两对角线中点
3.下列条件中,能判定四边形是平行四边形的条件是()
A.—组对边平行,另一组对边相等B.一组对边平行,一组对角相等
C.一组对边平行,一组邻角互补D.一组对边相等,一组邻角相等
4.
)•
如下左图所示,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点Q下列判断正确的是(
A.若AQ=QC贝UABCD是平行四边形;
B.若AC=BD贝UABCD是平行四边形;
C.若AQ=BQCQ=DQ贝UABCD是平行四边形;
D.若AQ=QCBQ=QD贝UABCD是平行四边形
5•不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是()
A.AB=CDAD=BCB.AB//CDAB=CD
C.AB=CDAD//BCD.AB/CDAD//BC
6.四边形ABCC的对角线AC,BD相交于点Q能判断它为矩形的题设是()
A.AQ=CQBQ=DQB.AQ=BQ=CQ=DQ
C.AB=BCAQ=CQ
AQ=CQBQ=DQAC丄BD
7.四边形ABCD勺对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是(
A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD
8.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列条件能判定这个四边形是正方形的是(
9.
、AD//BC,ZA=ZC
A、AC=BD,AB//CD,AB=CD
10.
在下列命题中,真命题是(
C.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
11.
在下列命题中,正确的是(
12.
F列四个判断中,
12.如图,在△ABC中,点E,D,F分别在边AB,BC,CA上,且DE//CA,DF//BA.不正确的是()
A.四边形AEDF是平行四边形B.如果BAC90;,那么四边形AEDF是矩形
C.如果AD平分BAC,那么四边形AEDF是菱形
D.如果ADBC且ABAC,那么四边形AEDF是菱形
13.
下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是()。
15.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定四边形是正方形的条件是()。
17.
如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是()
A、当AB=BC时,它是菱形B、当AC丄BD时,它是菱形
C当/ABC=90时,它是矩形D、当AC=BD是,它是正方形
18.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是()
A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形
600,则该矩形的面积为
•矩形例1:
若矩形的对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为
例2:
菱形具有而矩形不具有的性质是()A.对角线互相平分;B.四条边都相等;C.对角相等;D.邻角互补
四边形EFGH是矩形.
例3:
已知:
如图,DABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,?
H,求证:
.菱形
例3(中考题)如图,在菱形ABC[中,/A=60°,AB=4,0为对角线BD的中点,过O点作OE丄AB垂足为E.
求线段BE的长.
LI
例4、如图,四边形ABCD是菱形,DEIAB交BA的延长线于E,DF丄BC,交BC的延长线于F。
请你猜想DE与DF的大小有什么关系并证明你的猜想
例5、如图,菱形ABCD勺边长为2,BD=2E、F分别是边ADCD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:
△BDE^ABCF
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)设厶BEF的面积为S,求S的取值范围.
三.正方形
例1、(2011海南)如图,
PE=PB
(1)
(2)
①
P是边长为1的正方形ABCD寸角线AC上一动点(P与
求证:
①PE=PD;②PELPD
设AF=x,△PBE的面积为y.
求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值
BEC
B
AOD1200,AB=则AC的长为
专题二:
矩形的有关线段计算
1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点0,已知
13
2.如图,将矩形纸ABCD勺四个角向内折起,
E
R
c
D
恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形
EFGH若EH=3厘米,EF=4厘米,
则边AD的长是
厘米•
3.
如图,矩形ABCD中,AB3,BC
5.过对角线交点0作0E
AC交AD于E,则AE的长是()
4.
5.
A.
B.
C.3
D.
如图,矩形纸片abcdK
AB=4,AD=3,
折叠纸片使AD边与对角线
D.2
BD重合,折痕为DG则AG的长为()
D
将矩形纸片ABC既如图所示的方式折叠,AEEF为折痕,/BAE=30°,AB=,折叠后,点C落在AD边上的
C处,并且点B落在EC边上的Bi处•贝UBC的长为().
A.3
C、3
6.如图矩形纸片ABCDAB=5cm,BC=10cm,CD上有一点E,ED=2cm,AD上有一点P,PD=3cm,过P作PF丄AD交
BC于F,将纸片折叠,使P点与E点重合,折痕与PF交于Q点,则PQ的长是
cm.
7.把一张矩形纸片(矩形ABCD按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3cm,BC=5cm,则
的长度为()
A.4B.5C
cm.
9.如图,将长8cm,宽4cm的矩形纸片ABC断叠,使点A与C重合,则折痕EF的长为10.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且AE=CE若将纸片沿AE折叠,点B恰好与AC上的点B
重合,则ac=_cm
专题三:
菱形的有关线段计算
1.已知一个菱形的周长是20cm,两条对角线的比是4:
3,则这个菱形的面积是(
96cm2
222
A.12cmB.24cmC.48cmD
2..若一个菱形的边长为2,则这个菱形两条对角线的平方和为(
A16B8C4D1
的长是
A16
8.如图为菱形ABCDW^ABE的重迭情形,其中D在BE上.若AB=17,BD=16,AE=25,贝UDE的长度为何()
A8B9C、11D12
9.如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD若AD=6cm/ABC=60,则四边形
2
ABCD勺面积等于cm.
专题四:
正方形的有关线段计算
1.如图,正方形纸片ABC啲边长为1,MN分别是ADBC边上的点,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使A落在
MN上,落点记为A',折痕交AD于点E若MN分别是ADBC边的中点,贝UAN=;
2.如图,正方形ABCD勺边长为1cmE、F分别是BCCD的中点,连接BF、DE则图中阴影部分的面积是
2
cm.
3.
如图,将边长为8cm的正方形ABCDf叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN贝熾段CN的
4.
AG点E、F分别在AG上,连接BE、DF,
如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结
/仁/2,/3=/4.
(1)证明:
△ABE^ADAF;
(2)若/AGB=30,求EF的长.
5.
如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B处,点A对应点为A,
度.
6.
BEG60,现沿直线EG将纸片折
如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,
叠,使点B落在约片上的点H处,连接AH,则与BEG相等的角的个数为()
B.3
四边形动点专题:
专题一:
证明与计算
与中点相关的证明,或构造平行四边形将条件集中,或构造出中位线等等。
1.如图I,在四边形A8CD中,AB=CDE、F分别是BCAD的中点,连结EF并延长,分别与BACD的延长线交于点M
N,则/BME2CNE不需证明).
(温馨提示:
在图1中,连结BD,取BD的中点H,连结HE、HF,根据三角形中位线定理,可证得HE=HF从而/HFE=/HEF再利用平行线的性质,可证得/BMEMCNE)
问题一:
如图2,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CDE、F分别是BCAD的中点,连结EF,分别交DCAB于点MN,判断△OMN勺形状,请直接写出结论.
明.
问题二:
如图3,在厶ABC中,AC>ABD点在AC上,AB=CDE、F分别是BCAD的中点,连结EF并延长,与BA的延长线交于点G,若/EFC=60,连结GD判断△AGD勺形状并证
2.在图1至图3中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGF和CDHNTE是正方形.AE的中点是M.
(1)如图1,点E在AC的延长线上,点N与点G重合时,点M与点C重合,
求证:
FM=MH,FMLMH
(2)将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图2,求证:
△FMH是等腰直角三角形;
(3)
将图2中的CE缩短到图14-3的情况,△FMH还是等腰直角三角形吗
3.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EGCG
(1)求证:
EG=CG
(2)将图①中厶BEF绕B点逆时针旋转450,如图②所示,取DF中点G,连接EGCG问
(1)中的结论是否仍然成立若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)
将图①中厶BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立通过观察
4.已知:
在Rt△ABC中,AB=BC在Rt△ADE中,AD=DE连结EC,取EC的中点M连结DM和BM
(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图①,探索BMDM的关系并给予证明;
(2)如果将图①中的厶ADE绕点A逆时针旋转小于
请举出反例;如果成立,请给予证明.
45°的角,如图②,那么
(1)中的结论是否仍成立如果不成立,
图①
图②
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