与名师对话理基本不等式及其应用.docx

与名师对话理基本不等式及其应用.docx

《与名师对话理基本不等式及其应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与名师对话理基本不等式及其应用.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

与名师对话理基本不等式及其应用

第三节　基本不等式及其应用

高考概览：

1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．

[知识梳理]

1．基本不等式≤

（1）基本不等式成立的条件：

a，b∈R＋.

（2）等号成立的条件：

当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）．

（2）＋≥2（a，b同号）．

（3）ab≤2（a，b∈R）．

（4）2≤（a，b∈R）．

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：

≥.（当且仅当a＝b时等号成立）

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：

积定和最小）．

（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：

和定积最大）．

[辨识巧记]

1．基本不等式的两种常用变形形式

（1）ab≤2（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）．

（2）a＋b≥2（a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号）．

2．三个重要的结论

（1）≥2.

（2）＋≥2（ab>0）．

（3）≤≤≤（a>0，b>0）．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．（　　）

（2）函数y＝x＋的最小值是2.（　　）

（3）函数f（x）＝sinx＋的最小值为4.（　　）

（4）x>0且y>0是＋≥2的充要条件．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．“a>b>0”是“ab<”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

[解析]　由a>b>0得，a2＋b2>2ab；但由a2＋b2>2ab不能得到a>b>0，故“a>b>0”是“ab<”的充分不必要条件，故选A.

[答案]　A

3．（必修5P100A组T1

（2）改编）设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为（　　）

A．80B．77C．81D．82

[解析]　∵x>0，y>0，∴xy≤2，∴xy≤81，当且仅当x＝y＝9时取等号，∴xy的最大值为81.故选C.

[答案]　C

4．（2018·宁夏月考）若正数x，y满足＋＝1，则x＋3y的最小值为（　　）

A．24B．18C．12D．6

[解析]　由＋＝1得x＋3y＝（x＋3y）＝＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝6，y＝2时等号成立，所以x＋3y的最小值为12，故选C.

[答案]　C

5．（必修5P100练习T3改编）若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

[解析]　设矩形场地的长为xm，宽为ym，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积S＝xy≤2＝25，当且仅当x＝y＝5时，S取得最大值25m2.

[答案]　25

考点一　利用基本不等式求最值

利用基本（均值）不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容．

常见的命题角度有：

（1）一元函数的最值；

（2）二元函数的最值．

角度1：

一元函数的最值

【例1－1】　

（1）已知0

A.B.C.D.

（2）若函数f（x）＝x＋（x>2）在x＝a处取最小值，则a等于（　　）

A．1＋B．1＋

C．3D．4

[思路引导]　

（1）→

（2）→

[解析]　

（1）∵00，∴x（3－3x）＝3x（1－x）≤32＝.

当且仅当x＝1－x，得x＝时，“＝”成立．故选B.

（2）∵x>2，∴x－2>0，

∴f（x）＝x＋＝（x－2）＋＋2≥2·＋2＝2＋2＝4，

当且仅当x－2＝，即（x－2）2＝1时“＝”成立，

∴x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，∴a＝3.故选C.

[答案]　

（1）B　

（2）C

角度2：

二元函数的最值

【例1－2】　

（1）已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

（2）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

[思路引导]　

（1）→

→

（2）→

→

[解析]　

（1）∵a>0，b>0，a＋b＝1，

∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．

（2）由已知得xy＝9－（x＋3y），即3xy＝27－3（x＋3y）≤2，令x＋3y＝t，则t2＋12t－108≥0，又t>0，故t≥6，即x＋3y≥6.

[答案]　

（1）4　

（2）6

（1）利用基本（均值）不等式时一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本（均值）不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

（2）在利用基本（均值）不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本（均值）不等式．

[对点训练]

1．（2018·天津月考）已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a（a＋3b）的最大值是（　　）

A.B.C．3D．9

[解析]　∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a（a＋3b）＝·3a（a＋3b）≤2＝×2＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a（a＋3b）的最大值是3.故选C.

[答案]　C

2．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为（　　）

A.B．2C．2D．4

[解析]　解法一：

由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，当且仅当a＝，b＝2时“＝”成立．∴ab≥2.故选C.

解法二：

由题设易知a>0，b>0，∴＝＋≥

2，当且仅当a＝，b＝2时“＝”成立，即ab≥2，故选C.

[答案]　C

考点二　证明不等式

【例2】　

（1）设a，b均为正实数，求证：

＋＋ab≥2.

（2）已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：

>8.

[思路引导]　→→

[证明]　

（1）由于a，b均为正实数，

所以＋≥2＝，

当且仅当＝，即a＝b时等号成立，

又因为＋ab≥2＝2，

当且仅当＝ab时等号成立，

所以＋＋ab≥＋ab≥2，

当且仅当即a＝b＝时取等号．

（2）因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，

所以－1＝＝>，①

－1＝＝>，②

－1＝＝>，③

又x，y，z为正数，由①×②×③，

得>8.

　利用基本不等式证明不等式的技巧

利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到．

[对点训练]

　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

＋＋≥8.

[证明]　由a＋b＝1，得＋＋＝2，

∵a＋b＝1，a>0，b>0，

∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，

∴＋＋≥8.

考点三　基本不等式的实际应用

【例3】　（2018·泰安调研）某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入（x2＋x）万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：

技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？

[思路引导]　

（1）→→

（2）→→→

[解]　

（1）设商品的销售价格提高a元，

则（10－a）（5＋a）≥50，解得0≤a≤5.

所以商品的价格最多可以提高5元．

（2）由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，

若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx＝（x2＋x）＋＋50（x>5）即可，

此时m＝x＋＋≥2＋＝，

当且仅当x＝，即x＝10时，取“＝”．

故销售量至少应达到万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．

　利用基本不等式求解实际问题的2个注意点

（1）利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．

（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．

[对点训练]

　要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________（单位：

元）．

[解析]　设池底长为xm，宽为ym，则xy＝4，所以y＝，则总造价为f（x）＝20xy＋2（x＋y）×1×10＝80＋＋20x＝20＋80，x∈（0，＋∞）．

所以f（x）≥20×2＋80＝160，当且仅当x＝，即x＝2，等号成立，所以最低总造价是160（元）．

[答案]　160

课后跟踪训练（四十一）

基础巩固练

一、选择题

1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（　　）

A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2

C.＋>D.＋≥2

[解析]　∵a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.故选D.

[答案]　D

2．（2019·福建福州一模）在下列各函数中，最小值为2的函数是（　　）

A．y＝x＋（x≠0）

B．y＝cosx＋

C．y＝（x∈R）

D．y＝ex＋－2（x∈R）

[解析]　对于A项，当x<0时，y＝x＋≤－2，故A错；对于B项，因为00，所以y＝ex＋－2≥2－2＝2，当且仅当ex＝2，即x＝ln2时等号成立．故选D.

[答案]　D

3．（2019·湖南邵阳联考）已知lg（x＋y）＝lgx＋lgy，则x＋y的取值范围是（　　）

A．（0,1]B．[2，＋∞）

C．（0,4]D．[4，＋∞）

[解析]　∵lg（x＋y）＝lgx＋lgy＝lg（xy），∴x＋y＝xy.∵x>0，y>0，x＋y＝xy≤2，∴x＋y≥4，故选D.

[答案]　D

4．（2019·四川成都一诊）已知x≥，则f（x）＝有（　　）

A．最大值2B．最小值2

C．最大值1D．最小值1

[解析]　∵x≥，∴f（x）＝＝≥·2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3或x＝1（舍）时取等号，∴f（x）有最小值1，故选D.

[答案]　D

5．（2019·河南平顶山、许昌、汝州联考）若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为（　　）

A．4B．4C．2D．2

[解析]　∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当3x＋2y＝2且3x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4，故选A.

[答案]　A

二、填空题

6．函数y＝sinx＋，x∈的最小值为________．

[解析]　设t＝sinx，x∈，则t∈（0,1]，易知y＝t＋在（0,1]上为减函数，故当t＝1时，y取得最小值5.

[答案]　5

7．（2019·黑龙江齐齐哈尔八校联考）若对x>0，y>0，x＋2y＝1，有＋≥m恒成立，则m的最大值是________．

[解析]　∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴＋＝（x＋2y）·＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当x＝，y＝时取等号，∴＋的最小值为8，又＋≥m恒成立，∴m≤8，即m的最大值为8.

[答案]　8

8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理（够用且浪费最少）的铁丝的长为________m.

[解析]　设两直角边分别为am，bm，框架的周长为l，则ab＝2，即ab＝4，

∴l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选用最合理（够用且浪费最少）的铁丝的长为（4＋2）m.

[答案]　4＋2

三、解答题

9．（2018·唐山一中月考）

（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；

（2）已知x>0，y>0且＋＝1，求x＋y的最小值．

[解]　

（1）∵x<，∴4x－5<0.

∴y＝4x－5＋＋3＝－＋3

≤－2＋3＝1，当且仅当x＝1时等号成立，

∴ymax＝1.

（2）∵x>0，y>0且＋＝1，

∴x＋y＝（x＋y）＝10＋＋

≥10＋2＝16，

当且仅当x＝4，y＝12时等号成立，即x＋y的最小值为16.

10．（2018·河北唐山二模）已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1.

（1）求证：

a＋b≤2；

（2）判断等式＋＝c＋d能否成立，并说明理由．

[解]　

（1）证明：

由题意得（a＋b）2＝3ab＋1≤

32＋1，当且仅当a＝b时取等号．

解得（a＋b）2≤4，又a，b>0，

所以a＋b≤2.

（2）不能成立．

理由：

由均值不等式得＋≤＋，当且仅当a＝c且b＝d时等号成立．

因为a＋b≤2，

所以＋≤1＋.

因为c>0，d>0，cd>1，

所以c＋d＝＋≥＋>＋1≥＋，

故＋＝c＋d不能成立．

能力提升练

11．（2018·四川南充模拟）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（　　）

A.B.C．5D．6

[解析]　因为x＋3y＝5xy，＋＝5，所以3x＋4y＝（3x＋4y）＝＋≥×2×＋＝5，当且仅当x＝1，y＝时等号成立．故选C.

[答案]　C

12．若不等式m≤＋当x∈（0,1）时恒成立，则实数m的最大值为（　　）

A．9B.C．5D.

[解析]　x∈（0,1）时1－x>0，∴＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当1－x＝2x即x＝时取得最小值，∴使m≤＋恒成立的实数m的最大值为，故选B.

[答案]　B

13．（2018·甘肃张掖月考）设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为________．

[解析]　∵a>0，b>1，a＋b＝2，∴＋＝（a＋b－1）＝3＋＋＋1＝4＋＋≥4＋2，当＝，即a＝，b＝时取等号，故答案为4＋2.

[答案]　4＋2

14．（2019·江苏盐城中学期末）我校为丰富师生课余活动，计划在一块形状为直角三角形的空地ABC上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地，如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10,20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（k为常数）元．

（1）试用x表示S，并求S的取值范围；

（2）求总造价T关于面积S的函数T＝f（S）；

（3）如何选取|AM|，使总造价T最低．（不要求求出最低造价）

[解]　

（1）在Rt△PMC中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，

|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝（30－x），

矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝x（30－x），x∈[10,20]，于是200≤S≤225.

（2）矩形AMPN健身场地造价T1＝37k，又△ABC的面积为450，即草坪造价T2＝（450－S），由总造价T＝T1＋T2，得T＝25k，200≤S≤225.

（3）因为＋≥12，当且仅当＝，即S＝216时等号成立，此时，x（30－x）＝216，解得x＝12或x＝18.所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．

拓展延伸练

15．（2018·辽宁鞍山三中第三次适应性考试）函数y＝

loga（x＋3）－1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为（　　）

A．2B．4C．8D．16

[解析]　∵当x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，

∴函数y＝loga（x＋3）－1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（－2，－1），即A（－2，－1）．

∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，

∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.

∵m>0，n>0，∴＋＝（2m＋n）＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号．故选C.

[答案]　C

16．（2017·天津卷）若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

[解析]　因为ab>0，所以≥＝4ab＋≥2＝4，当且仅当即时取等号，故的最小值为4.

[答案]　4