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信息学竞赛NOIP复习资料
第一章PASCAL函数和技巧
一、常用函数与过程:
*abs(x):
y
取x的绝对值,x与y可为整型或实型。
*append(f:
text)
用赋给f的文件名打开存在的外部文件。
如果不存在给定的文件,产生错误。
如果f已经存在,就先关闭再重新打开它。
当前文件指针指向文件尾。
*frac(x):
y
取x的小数部分,x与y均为实型。
*int(x):
y
取x的整数部分,x与y均为实型,常写成trunc(int(x)).
*random(x):
y
在0-x之间的整数中随机找一个整数,x与y均为整型。
*sin(x):
y;cos(x):
y;arctan(x):
y;exp(x):
y;ln(x):
y
均与数学运算一致,三角函数返回的均为弧度,转换成角度即乘以Pi除以180.
*copy(str,n1,n2):
substr
从字符串str中取从第n1个字符开始长度为n2个字符的子串substr.n1和n2是整型表达式,如果n1大于s的长度,则返回空字符串。
如果指定的n2大于第n1个字符后剩下的字符数,则返回剩下的字符串。
*pos(substr,str):
num
查找substr是否为str的子串,若是则返回substr在str中的起始位置,若否则返回0.
*val(str,int,code)
将字串str转为数值型数据存入int,如果字符串无效,其中非法字符的下标放在Code中;否则,code为零。
*str(num,str)
将num表达式转成字符串str。
*delete(str,n1,n2)
从原字符串str中删去一个从n1开始长度为n2的子串,如果Index比s长,不删除任何字符。
如果指定的Count大于从第1ndex大到结尾的字符数,删除剩余部分。
*Insert(Source:
String;VarS:
String;Index:
Integer)
Source是字符串表达式。
S是任意长度的字符串变量。
Index是整型表达式。
过程Insert把字符串Source插入字符串S中第1ndex个字符开始的位置上。
如果字符串比255个字符长,则将第255后面的字符截去。
.
*FileSize(varf:
text):
longint
返回文件字节数。
*Flush(f:
text)
如果正文文件由Rewr比和Append打开用来输出,则对F1ush的调用将腾空文件缓冲区,这保证写向文件的字符实际写到外部文件上。
Flush对打开用来输入的文件没有作用。
*SetTextBuf(Varf:
Text;VarBuf[Size:
word])
f是文本文件变量,Buf是任何变量,Size是可选的Word表达式。
每个文本文件变量缺省时有一个128字节的内部缓冲区用于输入输出操作。
该缓冲区对大多数程序来说是足够了。
然而对于I/O繁多的子程序如复制或转换文件,设置大的缓冲区较有利。
因为这样减少了磁盘读写头的移动和系统负荷。
本过程使文本文件变量、f使用指定的缓冲区BMf,而不是内部缓冲区。
Size指定缓冲区的字节数,如果省略Size,则设成SizeOf(Buf)。
也就是说,缺省时,Buf占用的整个内存区域用作缓冲区。
直到f赋给下一个文件新的缓冲区之前一直有效。
SetTextBuf不能用于一个打开的文件上,即使可以在Reset,Rewr加和Append后立即调用也不行;进行’了I/O操作后立即对打开文件上调用SetTextBuf将会因为更改缓冲区而丢失数据。
Buf通常为一个array[1..4096]ofbyte;
二、小技巧
1.ord('0')=48;ord('A'):
=65;ord('a')=97;chr(32)=’‘;chr(33)=’!
’;
2.求x^y:
int(exp(y*ln(x)))
3.求x的n次方根:
exp(1/n*ln(x))
4.标识符不能以数字开头,其中不能有空格,点等符号。
5.说明部分顺序:
Lable->Const->type->Var->Procedure(Function)
6.通常编译器只能识别标识符的前8个字符。
7.规定false=0,true=1;
8.除实型外其他均为左留空,右看齐,实型向小数点看齐。
9.实型默认场宽:
17位
符号位+11位数字与一位小数点+’E+00’
第二章重要定理和公式
一、常见递推关系
1.Fibonacci数列
A
(1)=1;A
(2)=1;
A(n)=A(n-1)+A(n-2);
2.Catalan数:
考虑具有n个结点不同形态的二叉树的个数H(n)
H(0)=1;
H(n)=H(0)H(n-1)+H
(1)H(n-2)+H
(2)H(n-3)…+H(n-2)H
(1)+H(n-1)H(0);
->H(n)=(1/(n+1))*C(n,2n)
3.第二类Stirling数:
s(n,k)表示含n个元素的集合划分为k个集合的情况数A.分类:
集合{An}存在,则有s(n-1,k-1);不存在则An和放入k个集合中的任意一个,共k*s(n-1,k)种。
0(k=0orn s(n,k)={ s(n-1,k-1)+k*s(n-1,k)(n>k>=1) *: 求一个集合总的划分数即为sigema(k=1..n)s(n,k). 4.数字划分模型 *NOIP2001数的划分 将整数n分成k份,且每份不能为空,任意两种分法不能相同(不考虑顺序)。 d[0,0]: =1; forp: =1tondo fori: =ptondo forj: =kdownto1doinc(d[i,j],d[i-p,j-1]); writeln(d[n,k]); *变形1: 考虑顺序 d[i,j]: =d[i-k,j-1](k=1..i) *变形2: 若分解出来的每个数均有一个上限m d[i,j]: =d[i-k,j-1](k=1..m) 5.错位排列 d[1]=0;d[2]=1; d[n]=(n-1)*(d[n-1]+d[n-2]) 6. 二、图论与计算几何 1.度边定理: sigemadi=2*E 2..三角形面积 |x1y11| s=|x2y21|=x1y2+x2y3+x3y1-x3y2-x2y1-x1y3 |x3y31| *海伦公式: 令p=(a+b+c)/2,则S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)); 三、组合公式 1.长度为n的0-1串中最多含k个1的 例长度为N(N<=31)的01串中1的个数小于等于L的串组成的集合中找出按大小排序后的第I个01串。 2给定序列入栈出栈后可形成的情况总数为C(n,2n)–C(n-1,2n)+1. 例fjoi2000 在一个列车调度站中,2条轨道连接到2条侧轨处,形成2个铁路转轨站,如下图所示。 其中左边轨道为车皮入口,右边轨道为出口。 编号为1,2,……,n的N个车皮从入口依次进入转轨站,由调度室安排车皮进出栈次序,并对车皮按其出栈次序重新编序a1,a2,……,an。 给定正整数N(1<=n<=300),编程计算右边轨道最多可以得到多少个不同的车皮编序方案。 例如当n=3时,最多得到6组不同的编序方案。 四、数论公式 1.模取幂a^bmodn=(..(amodb)*a)modb)*a..)modb; 2.n的约数的个数 若n满足n=a1^n1*a2^n2*a3^n3*...*am^nm,则n约数的个数为(n1+1)(n2+1)(n3+1)...(nm+1) 3. 五、代数 1带权中位数 我国蒙古大草原上有N(N是不大于100的自然数)个牧民定居点P1(X1,Y1)、P2(X2,Y2)、…Pn(Xn,Yn),相应地有关权重为Wi,现在要求你在大草原上找一点P(Xp,Yp),使P点到任一点Pi的距离Di与Wi之积之和为最小。 即求D=W1*D1+W2*D2+…+Wi*Di+…+Wn*Dn有最小值 结论: 对x与y两个方向分别求解带权中位数,转化为一维。 设最佳点p为点k,则点k满足: 令W为点k到其余各点的带权距离之和,则 sigema(i=1tok-1)Wi*Di<=W/2 sigema(i=k+1ton)Wi*Di<=W/2 同时满足上述两式的点k即为带权中位数。 第三章基本算法模块 一、数论算法 1.求两数的最大公约数 functiongcd(a,b: integer): integer; begin ifb=0thengcd: =a elsegcd: =gcd(b,amodb); end; 2.求两数的最小公倍数 functionlcm(a,b: integer): integer; begin ifa lcm: =a; whilelcmmodb>0doinc(lcm,a); end; 3.素数的求法 A.小范围内判断一个数是否为质数: functionprime(n: integer): Boolean; varI: integer; begin forI: =2totrunc(sqrt(n))do ifnmodI=0thenbegin prime: =false;exit; end; prime: =true; end; B.判断longint范围内的数是否为素数(包含求50000以内的素数表): proceduregetprime; var i,j: longint; p: array[1..50000]ofboolean; begin fillchar(p,sizeof(p),true); p[1]: =false; i: =2; whilei<50000dobegin ifp[i]thenbegin j: =i*2; whilej<50000dobegin p[j]: =false; inc(j,i); end; end; inc(i); end; l: =0; fori: =1to50000do ifp[i]thenbegin inc(l);pr[l]: =i; end; end;{getprime} functionprime(x: longint): integer; vari: integer; begin prime: =false; fori: =1toldo ifpr[i]>=xthenbreak elseifxmodpr[i]=0thenexit; prime: =true; end;{prime} 二、图论算法 1.最小生成树 A.Prim算法: procedureprim(v0: integer); var lowcost,closest: array[1..maxn]ofinteger; i,j,k,min: integer; begin fori: =1tondobegin lowcost[i]: =cost[v0,i]; closest[i]: =v0; end; fori: =1ton-1dobegin {寻找离生成树最近的未加入顶点k} min: =maxlongint; forj: =1tondo if(lowcost[j] min: =lowcost[j]; k: =j; end; lowcost[k]: =0;{将顶点k加入生成树} {生成树中增加一条新的边k到closest[k]} {修正各点的lowcost和closest值} forj: =1tondo ifcost[k,j] lowcost[j]: =cost[k,j]; closest[j]: =k; end; end; end;{prim} B.Kruskal算法: (贪心) 按权值递增顺序删去图中的边,若不形成回路则将此边加入最小生成树。 functionfind(v: integer): integer;{返回顶点v所在的集合} vari: integer; begin i: =1; while(i<=n)and(notvinvset[i])doinc(i); ifi<=nthenfind: =ielsefind: =0; end; procedurekruskal; var tot,i,j: integer; begin fori: =1tondovset[i]: =[i];{初始化定义n个集合,第I个集合包含一个元素I} p: =n-1;q: =1;tot: =0;{p为尚待加入的边数,q为边集指针} sort; {对所有边按权值递增排序,存于e[I]中,e[I].v1与e[I].v2为边I所连接的两个顶点的 序号,e[I].len为第I条边的长度} whilep>0dobegin i: =find(e[q].v1);j: =find(e[q].v2); ifi<>jthenbegin inc(tot,e[q].len); vset[i]: =vset[i]+vset[j];vset[j]: =[]; dec(p); end; inc(q); end; writeln(tot); end; 2.最短路径 A.标号法求解单源点最短路径: var a: array[1..maxn,1..maxn]ofinteger; b: array[1..maxn]ofinteger;{b[i]指顶点i到源点的最短路径} mark: array[1..maxn]ofboolean; procedurebhf; var best,best_j: integer; begin fillchar(mark,sizeof(mark),false); mark[1]: =true;b[1]: =0;{1为源点} repeat best: =0; fori: =1tondo Ifmark[i]then{对每一个已计算出最短路径的点} forj: =1tondo if(notmark[j])and(a[i,j]>0)then if(best=0)or(b[i]+a[i,j] best: =b[i]+a[i,j];best_j: =j; end; ifbest>0thenbegin b[best_j]: =best;mark[best_j]: =true; end; untilbest=0; end;{bhf} B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径: procedurefloyed; begin forI: =1tondo forj: =1tondo ifa[I,j]>0thenp[I,j]: =Ielsep[I,j]: =0;{p[I,j]表示I到j的最短路径上j的前驱结点} fork: =1tondo{枚举中间结点} fori: =1tondo forj: =1tondo
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