453圆柱与圆锥教师版.docx
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453圆柱与圆锥教师版
例题精讲
圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式
立体图形
表面积
体积
圆柱
圆锥
注:
是母线,即从顶点到底面圆上的线段长
板块一圆柱与圆锥
【例1】如图,用高都是
米,底面半径分别为
米、
米和
米的
个圆柱组成一个物体.问这个物体的表面积是多少平方米?
(
取
)
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】从上面看到图形是右上图,所以上下底面积和为
(立方米),侧面积为
(立方米),所以该物体的表面积是
(立方米).
【答案】32.97
【例2】有一个圆柱体的零件,高
厘米,底面直径是
厘米,零件的一端有一个圆柱形的圆孔,圆孔的直径是
厘米,孔深
厘米(见右图).如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆,那么一共要涂多少平方厘米?
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和,为
(平方厘米).
【答案】307.72
【例3】(希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开,放平,是边长分别为10厘米和12厘米的长方形,那么这个圆柱体的体积是________立方厘米.(结果用
表示)
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】当圆柱的高是12厘米时体积为
(立方厘米)
当圆柱的高是12厘米时体积为
(立方厘米).所以圆柱体的体积为
立方厘米或
立方厘米.
【答案】
立方厘米或
立方厘米
【例4】如右图,是一个长方形铁皮,利用图中的阴影部分,刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计),求这个油桶的容积.(
)
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】圆的直径为:
(米),而油桶的高为2个直径长,即为:
,故体积为
立方米.
【答案】
立方米
【巩固】如图,有一张长方形铁皮,剪下图中两个圆及一块长方形,正好可以做成1个圆柱体,这个圆柱体的底面半径为10厘米,那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米?
(
)
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的,可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等,则剪下的长方形的长,即圆柱体底面圆的周长为:
(厘米),
原来的长方形的面积为:
(平方厘米).
【答案】2056
【例5】把一个高是8厘米的圆柱体,沿水平方向锯去2厘米后,剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少
平方厘米.原来的圆柱体的体积是多少立方厘米?
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】沿水平方向锯去2厘米后,剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积,所以原来圆柱体的底面周长为
厘米,底面半径为
厘米,所以原来的圆柱体的体积是
(立方厘米).
【答案】25.12
【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等.如果高缩短4厘米,表面积就减少
平方厘米.求这个圆柱体的表面积是多少?
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】圆柱体底面周长和高相等,说明圆柱体侧面展开是一个正方形.高缩短
厘米,表面积就减少
平方厘米.阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分,值是
平方厘米,所以底面周长是
(厘米),侧面积是:
(平方厘米),两个底面积是:
(平方厘米).所以表面积为:
(平方厘米).
【答案】182.8736
【例6】(两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒,沿着底面直径竖直切成两部分.已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大
,则这个圆柱体木棒的侧面积是________
.(
取
)
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】根据题意可知,切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面.
设圆柱体底面半径为
,高为
,那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大:
,所以
,所以,圆柱体侧面积为:
.
【答案】3152.56
【巩固】已知圆柱体的高是
厘米,由底面圆心垂直切开,把圆柱分成相等的两半,表面积增加了
平方厘米,求圆柱体的体积.(
)
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面,长方形的长等于圆柱体的高为10厘米,宽为圆柱底面的直径,设为
,则
,
(厘米).圆柱体积为:
(立方厘米).
【答案】30
【例7】一个圆柱体的体积是
立方厘米,底面半径是2厘米.将它的底面平均分成若干个扇形后,再截开拼成一个和它等底等高的长方体,表面积增加了多少平方厘米?
(
)
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】从图中可以看出,拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同,长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等,所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积.
(法1)这两个侧面都是长方形,且长等于原来圆柱体的高,宽等于圆柱体底面半径.
可知,圆柱体的高为
(厘米),所以增加的表面积为
(平方厘米);
(法2)根据长方体的体积公式推导.增加的两个面是长方体的侧面,侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积.由于长方体的体积与圆柱体的体积相等,为
立方厘米,而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半,为
厘米,所以侧面长方形的面积为
平方厘米,所以增加的表面积为
平方厘米.
【答案】16
【例8】右图是一个零件的直观图.下部是一个棱长为40cm的正方体,上部是圆柱体的一半.求这个零件的表面积和体积.
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】这是一个半圆柱体与长方体的组合图形,通过分割平移法可求得表面积和体积分别为:
11768平方厘米,89120立方厘米.
【答案】89120
【例9】输液100毫升,每分钟输
毫升.如图,请你观察第12分钟时图中的数据,问:
整个吊瓶的容积是多少毫升?
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】100毫升的吊瓶在正放时,液体在100毫升线下方,上方是空的,容积是多少不好算.但倒过来后,变成圆柱体,根据标示的格子就可以算出来.
由于每分钟输
毫升,12分钟已输液
(毫升),因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐,上面空的部分是50毫升的容积.所以整个吊瓶的容积是
(毫升).
【答案】150
【例10】(”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图),由图中的数据可推知瓶子的容积是_______立方厘米.(
取
)
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变,所以空气部分的体积也不变,从图中可以看出,瓶中的水构成高为
厘米的圆柱,空气部分构成高为
厘米的圆柱,瓶子的容积为这两部分之和,所以瓶子的容积为:
(立方厘米).
【答案】100.48
【巩固】一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),如图.已知它的容积为
立方厘米.当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘米;瓶子倒放时,空余部分的高为2厘米.问:
瓶内酒精的体积是多少立方厘米?
合多少升?
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】由题意,液体的体积是不变的,瓶内空余部分的体积也是不变的,因此可知液体体积是空余部分体积的
倍.所以酒精的体积为
立方厘米,而
立方厘米
毫升
升.
【答案】
【巩固】一个酒瓶里面深
,底面内直径是
,瓶里酒深
.把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深
.酒瓶的容积是多少?
(
取3)
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】观察前后,酒瓶中酒的总量没变,即瓶中液体体积不变.
当酒瓶倒过来时酒深
,因为酒瓶深
,这样所剩空间为高
的圆柱,再加上原来
高的酒即为酒瓶的容积.
酒的体积:
瓶中剩余空间的体积
酒瓶容积:
【答案】1500
【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水,瓶底面积为
平方厘米,(如下图所示),请你根据图中标明的数据,计算瓶子的容积是______.
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】由已知条件知,第二个图上部空白部分的高为
,从而水与空着的部分的比为
,由图1知水的体积为
,所以总的容积为
立方厘米.
【答案】60
【巩固】一个透明的封闭盛水容器,由一个圆柱体和一个圆锥体组成,圆柱体的底面直径和高都是12厘米.其内有一些水,正放时水面离容器顶
厘米,倒放时水面离顶部5厘米,那么这个容器的容积是多少立方厘米?
(
)
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】设圆锥的高为
厘米.由于两次放置瓶中空气部分的体积不变,有:
,解得
,
所以容器的容积为:
(立方厘米).
【答案】1620
【例11】(希望杯2试试题)如图,底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水,水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块,木块浮出水面的高度是2厘米.若将木块从容器中取出,水面将下降________厘米.
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】在水中的木块体积为
(立方厘米),拿出后水面下降的高度为
(厘米)
【答案】1.5
【例12】有两个棱长为
厘米的正方体盒子,
盒中放入直径为
厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个,
盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个,现在
盒注满水,把
盒的水倒入
盒,使
盒也注满水,问
盒余下的水是多少立方厘米?
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】将圆柱体分别放入
盒、
盒后,两个盒子的底面被圆柱体占据的部分面积相等,所以两个盒子的底面剩余部分面积也相等,那么两个盒子的剩余空间的体积是相等的,也就是说
盒中装的水恰好可以注满
盒而无剩余,所以
盒余下的水是0立方厘米.
【答案】
盒余下的水是0立方厘米
【例13】兰州来的马师傅擅长做拉面,拉出的面条很细很细,他每次做拉面的步骤是这样的:
将一个面团先搓成圆柱形面棍,长
米.然后对折,拉长到
米;再对折,拉长到
米……照此继续进行下去,最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的
.问:
最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米?
(假设马师傅拉面的过程中.面条始终保持为粗细均匀的圆柱形,而且没有任何浪费)
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】最后拉出的面条直径是原先面棍的
,则截面积是原先面棍的
,细面条的总长为:
(米).注意运用比例思想.
【答案】6553.6
【例14】一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水灌满容器.已知容器的高为50厘米,长方体的高为20厘米,求长方体底面面积与容器底面面积之比.
【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答
【解析】因为18分钟水面升高:
(厘米).所以圆柱中没有铁块的情形下水面升高20厘米需要的时间是:
(分钟),实际上只用了3分钟,说明容器底面没被长方体底面盖住的部分只占容器底面积的
,所以长方体底面面积与容器底面面积之比为
.
【答案】3:
4
【例15】一只装有水的圆柱形玻璃杯,底面积是80平方厘米,高是
厘米,水深8厘米.现将一个底面积是16平方厘米,高为
厘米的长方体铁块竖放在水中后.
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