金融数学引论北大版第4章答案.docx
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金融数学引论北大版第4章答案
第四章习题答案
1现有1000元贷款计划在5年按季度偿还。
已知季换算名利率6%,计算第2
年底的未结贷款余额。
解:
设每个季度还款额是R,有
Ra(4)
5p6%
¬=1000
解得R,代入B2的表达式
B2=Ra(4)
3p6%
¬
=635.32元
2设有10000元贷款,每年底还款2000元,已知年利率12%,计算借款人的还
款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。
解:
n=
10000
2000
=5
B5=10000×(1+i)n−2000snp12%¬
=4917.72元
3某贷款在每季度末偿还1500元,季换算名利率10%,如果已知第一年底的未
结贷款余额为12000元,计算最初的贷款额。
解:
以季度为时间单位,i=2.5%。
B0=B1・v+1500a4pi¬
=16514.4元
4某贷款将在15年分期偿还。
前5年每年底还4000元,第二个5年每年底还
3000元,最后5年每年底还2000元。
计算第二次3000元还款后的未结贷款
余额的表达式。
解:
对现金流重新划分,有
B7=2000a¬8p+1000a¬3p
大学数学科学学院金融数学系第1页
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5某贷款将以半年一次的年金方式在3年半偿还,半年名利率8%。
如果已知
第4次还款后的未结贷款余额为5000元,计算原始贷款金额。
解:
设原始贷款额为L,每次还款为R,以半年为时间单位,有
5000=Ra3p4%¬
L=Ra7p4%¬
整理得:
L=5000・a¬7p
a¬3p
=10814.16元
6现有20000元贷款将在12年每年底分期偿还。
若(1+i)4=2,计算第4次
还款后的未结贷款余额。
解:
设第4次还款后的未结贷款余额为L,每次还款为R,有
20000=R・a12pi¬
L=R・a8pi¬
把(1+i)4=2代入整理得:
L=5000・1−(1+i)−8
1−(1+i)−12
=17142.86元
720000元抵押贷款将在20年每年分期偿还,在第5次还款后,因资金短缺,
随后的两年未进行正常还贷。
若借款人从第8年底重新开始还贷,并在20
年还清。
计算调整后的每次还款额。
解:
设正常每次还款为R,调整后每次还款X,以当前时间和第5年底为比较
日,有
20000=Ra2¬0p
Xa1¬3p・v2=Ra1¬5p
整理得:
X=20000・a15p¬
a2¬0p
・(1+i)2
a1¬3p
8某贷款L原计划在25年分年度等额还清。
但实际上从第6次到第10次的
还款中每次多付K元,结果提前5年还清贷款。
试证明:
K=
a2¬0p−a1¬5p
a2¬5pa¬5pL
证:
以第20年年底为比较日,设每次还款为R,有
L=Ra2¬5p
Ks¬5p(1+i)10=Ra¬5p
整理即得。
9设Bt表示未结贷款余额,证明:
(1)(Bt−Bt+1)(Bt+2−Bt+3)=(Bt+1−Bt+2)2;
(2)Bt+Bt+3 证: (1) (Bt−Bt+1)(Bt+2−Bt+3)=( R+Bt+1 1+i −Bt+1)・(Bt+2−((1+i)Bt+2−R)) = R−iBt+1 1+i ・(R−iBt+2) =(R−iBt+1)・R−i((1+i)Bt+1−R) 1+i =(R−iBt+1)2 =(Bt+1−Bt+2)2 (2) Bt−Bt+1=R−iBt =Bt+2−Bt+3 )Bt+Bt+3 默认每次还款额是相同的! 10某贷款按季度分期偿还。 每次1000元,还期5年,季换算名利率12%。 计算 第6次还款中的本金量。 解: P6=B5−B6 =1000a20−5p3%¬−1000a20−6p3%¬ =1000×1.03−15 =641.86元 11n年期贷款,每年还款1元。 试导出支付利息的总现值(去掉: 之和)。 解: 设第t年支付的利息为It,有 It=iBn+1−t =ian+1−¬tp =1−vn+1−t 支付利息的总现值为: I= Σn t=1 Itvt = Σn t=1 (1−vn+1−t)vt =a¬np−nvn+1 12设10000元贷款20年还清,年利率10%,证明第11次中的利息为 1000 1+v10 元。 此处有改动10000改成1000 证: 设每期还款额为R,由上题的结论有 I11=R(1−v10) = 10000 a2¬0p(1−v10) =10000・i 1+v10 = 1000 1+v10 13设有20次分期还贷,年利率9%。 问: 第几次还款中的本金量与利息量差额 最小。 解: 不妨设每次还款额为1。 Pt−It=vnt+1−(1−vn−t+1) =2vn−t+1−1 由 2vn−t+1−1=0⇒t≈12.96 验证t=12,13的情形易得第13次本金量与利息量差额最小。 14现有5年期贷款,分季度偿还。 已知第3次还款中的本金为100元,季换算 的名利率10%。 计算最后5次还款中的本金量之和。 解: 以一季度为时间单位,设每次还款额为R,由题意得 Rv20−3+1=100 ⇒R= 100 v18 于是最后5次本金总额为 R(v1+・・・+v5)=724.59元 15现准备用20年时间分期偿还一笔贷款,且已知前10年的年利率为i,后10 年的年利率为j。 计算: (1)第5次偿还中的利息量; (2)第15次偿还中的本 金量。 解: 设初始贷款量为1,每年还款额为R,有: 1=Ra10pi¬+Ra10pj¬(1+i)−10 )R= 1 a10pi¬+(1+i)−10a10pj¬ (1)I5=iB4 =iR(a6pi¬+(1+i)−6a10pj¬) (2)P15=B14−B15 =Ra6pj¬−Ra5pj¬ =R(1+j)−6 16原始本金为A的抵押贷款计划在尽可能长的时间每年偿还K,且最后一 次将不足部分一次还清。 计算: (1)第t次偿还的本金量; (2)摊还表中的本 金部分是否为等比数列? 解: 设总还款次数为n,最后一次还款中不足部分设为B。 (1)利用追溯法可得 Bt= A(1+i)t−Ks¬tp,t 0,t=n 故 Pt= (K−iA)(1+i)t−1,t (k−iA)(1+i)n−1+B,t=n (2)显然前n−1次本金呈等比数列,最后一次与前面没有等比关系。 17现有20年的抵押贷款分年度偿还,每次1元。 如果在第7次正常还款的同时, 额外偿还原摊还表中第8次的本金,而且今后的还款仍然正常进行。 (正常 的意思是依然按照摊还表进行,改变期限,每次还款的金额不变)。 证明: 还 贷期间节约的利息为1−v13。 证: 在第7次额外多还以后,第n次还款刚好对应原摊还表中第n+1次的还 款。 所以节约的利息为原摊还表中第8次还款中的的利息量,为1−v13。 18总量为L的贷款分10年偿还,已知v5= 2 3 。 计算: (1)前5次偿还中的本金之和; (2)如果最后5次还款因故取消,计算第10年底的未结贷款余额。 解: (1)由题意得前5次偿还本金之和为 R(v10+・・・+v6)=Rv61−v5 1−v = L a1¬0p v 1−v v5(1−v5) = L 1−v10v5(1−v5) =0.4L (2)利用追溯法 B10=L(1+i)10−Rs¬5p(1+i)5 =Lv−10−L v−10−v−5 1−v10 =0.9L 19现有35年贷款按年度偿还。 已知第8次还款中的利息为135元,第22次还 款中的利息为108元,计算第29次还款中的利息量。 解: 由 I8=R(1−v28) I22=R(1−v14) ⇒ R=144 v7= 1 2 于是 I29=R(1−v7) =144×1 2 =72元 20某贷款分n次等额偿还,实利率为i,已知第K次还款前的未结贷款余额首 次低于原始贷款额的一半。 计算K。 解: 由题意得 L=Ra¬np Bk−2=Ran−k+¬2p>L 2 Bk−1=Ran−k+¬1p< L 2 ⇒ 2vn−k+2−vn61 2vn−k+1−vn>1 故 K=[n+1−ln(vn+1)−ln2 lnv ]+1 其中[x]表示取整函数。 21设有年利率2.5%的15000元贷款,每年偿还1000元。 计算第几次还款中本 金部分最接近利息部分的4倍 解: 设第k次还款本金部分最接近利息部分的4倍。 利用追溯法 Bk−1=L(1+i)k−1−Rsk−¬1p ⇒Ik=iBk−1=iL(1+i)k−1−R[(1+i)k−1−1] Pk=R−Ik=R(1+i)k−1−iL(1+i)k−1 再由Pk=4Ik得k≈11。 22某贷款在每年的2月1日等额还贷。 已知1989年2月1日的还款中利息为 103.00元,1990年2月1日的还款中利息为98.00元,年利率8%。 计算: (1) 1990年还款中的本金部份; (2)最后一次不足额还款的日期和金额。 解: (1)设In,Pn为别为n年的利息部分和本金部分, I1990=I1989−iP1989 ⇒P1989=62.5 又I1989+P1989=I1990+P1990 ⇒P1990=67.5 (2)利用递推公式容易求得2000年2月1日还款后未结贷款余额为 101.43元,已经小于165.5元。 同时易得B1989=1225。 设最后一次还 款在2000年2月1日后经过时间t收回。 于是t满足 1225=165.5 1−v11+t i ⇒t=0.653 故最后一次还款时间为2000年9月24日,金额为165.5×1.08t−1 0.08=106.67 元。 建议把最后不足部分的偿还方法说清楚,我们用的是: 不足部分在下一 年的等价时间偿还的方法。 与原答案有出入 23某贷款通过2n次偿还。 在第n次偿还后,借款人发现其负债为原始贷款额 的3/4,计算下一次还款中利息部份的比例。 解: 由题意得 3 4 L=Ranpi¬ L=Ra2npi¬ ⇒vn= 1 3 而In+1=R(1−vn),故利息部分所占的比例是 2 3 。 24某银行提供月利率1%的抵押贷款,如果借款人提前将贷款余额一次付清, 只需对当时余额多付出K%。 如果某人在第5年底找到另一家银行提供月利 率0.75%的10年贷款,对这个借款人来说K的最大可接受值为多少? 解: K最大可接受,即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。 a120p0.75%¬=(1+K%)a120p1%¬ ⇒K=13.258% 25现有10000元贷款利率10%。 已知借款人以8%累积偿债基金,第10年底 的偿债基金余额为5000元,第11年的还款金额为1500元。 计算: (1)1500元中的利息量; (2)1500元中的偿债基金存款; (3)1500元中偿还当年利息的部分; (4)1500元中的本金量; (5)第11年底的偿债基金余额。 解: (1)I11=10000×10%=1000元; (2)偿债基金存款额为1500−1000=500元; (3)也即是计算净利息: 1000−5000×8%=600元; (4)本金量1500−600=900元; (5)11年底的偿债基金余额5000×(1+8%)+500=5900元。 26证明: anpi&j¬= snpj¬ 1+isnpj¬ 。 证: 利用 L=Ranpi&j¬ L=(R−iL)snpj¬ 消去R可得 ( L anpi&j¬ −iL)snpj¬=L 再适当变形便可得结论。 27现有利率为9%的10000元贷款,每年底还利息,同时允许借款人每年初以 利率7%向偿债基金存款K。 如果在第10年底偿债基金的余额恰足以偿还 贷款。 计算K。 解: 由题意得 K¨s10p7%¬=104 ⇒K=676.43 28现有10年期贷款年利率5%,每年底还贷1000元。 贷款的一半按摊还方式 进行,另一半按额外提供4%年利率的偿债基金方式还款。 计算贷款额。 解: 设贷款额为X,有 X/2=R1a10p5%¬ X/2=R2anp5%&4%¬ 1000=R1+R2 整理得到 X 2 ( 1 a10p5%¬+ 1 anp5%&4%¬)=1000 X=7610.48元 29为期10年的12000元贷款,每半年还款1000元。 已知前5年以i (2)=12% 计息,后5年以i (2)=10%计息。 每次还款除利息外存入利率i (2)=8%的偿 债基金。 计算第10年底偿债基金与贷款之间的差额。 解: 前5年每半年放入偿债基金 1000−12000×6%=280 后5年每半年放入偿债基金 1000−12000×5%=400 故第10年底偿债基金余额为 280s10p4%¬×(1+4%)10+400s10p4%¬=9778.6 于是差额为2221.4元。 30为期10年的3000元贷款,以i (2)=8%计息。 如果借款人将贷款的1/3通过 存入利率i (2)=5%的偿债基金偿还,剩余的2/3通过存入利率i (2)=7%的 偿债基金偿还。 计算每年的还款总额。 解: 设对于1/3部分贷款每年还款为R1,剩余部分贷款每年还款为R2。 有 (R1−1000×4%)s20p2.5%¬=1000 (R1−2000×4%)s20p3.5%¬=2000 分别解得R1=79.15,R2=150.72。 故每年的总还款额为 R1+R2=229.87元 31为期31年的400000元贷款,每年底还款36000元,若以年利率3%建立偿债 基金。 计算原贷款利率。 解: 设原贷款利率就是i。 有 (36000−400000i)s31p3%¬=400000 解得i≈7%。 32某20年期末年金,以前10年利率8%后10年利率7%计算的现值为10000 元。 某投资者以年利率9%买得该年金,并允许以累积偿债基金的方式收回 这笔资金,偿债基金前10年利率为6%,后10年利率为5%。 计算偿债基金 的存款额。 解: 设期末年金每年的金额是R,偿债基金存款额为X,未结贷款余额为P, 有 10000=Ra10p8%¬+Ra10p7%¬(1+8%)−10 R=X+P×9% P=Xs1¬0p6%(1+5%)10+Xs5%¬p 解得: X=246.95元 有待讨论! 我们认为年利率9%就是利率i 33某n年期利率为i的贷款,以利率j建立偿债基金。 试给出以下各问的表达 式(16t6n): (1)贷方每年得到的利息; (2)偿债基金每年的存款额; (3)第t年偿债基金所得利息; (4)偿债基金在第t年底的余额; (5)第t年底的未结贷款余额; (6)第t年支付的净利息; (7)第t年支付的本金。 解: 设贷款额为L。 (1)贷方每年得到的利息为iL; (2)由偿债基金的定义知,偿债基金每年的存款额为 L snpj¬ (3)偿债基金在t−1年末的余额是 L snpj¬st−¬1p,故在第t年所得利息为 jL (1+j)t−1−1 (1+j)n−1 (4)偿债基金在第t年底的余额是 L snpj¬stpj¬=L (1+j)t−1 (1+j)n−1 (5)第t年底的未结贷款余额为 L−L (1+j)t−1 (1+j)n−1 =L (1+j)n−(1+j)t (1+j)n−1 (6)第t年支付的净利息为 iL−jL (1+j)t−1−1 (1+j)n−1 (7)第t年支付的本金量是第t年偿债基金所得利息与第t年存入偿债基金 金额之和,即为 jL (1+j)t−1−1 (1+j)n−1 + L snpj¬= j(1+j)t−1L (1+j)n−1 34为期10年的100000元贷款,贷款利率12%,同时以年利率8%建立偿债基 金。 已知前5年还款为K;后5年还款为2K。 计算K。 解: 每年的利息为 100000×12%=12000 故 100000=(K−12000)s5p8%¬(1+8%)5+(2K−12000)s5p8%¬ 解得K=13454.36元。 35某10000元贷款以利率i(12)=15%按月偿还利息,同时以利率i(12)=9%每 月存款100元累积偿债基金。 一旦偿债基金的余额达到10000元,则结束还 贷。 计算借款人总的还款额。 解: 每月还利息为10000×i(12) 12 =125元,于是每月总支出为 100+125=225 再由 100snp7.5%¬>10000⇒n=75 但需要注意100snp7.5%¬−10,000=18.33,故最后一个月放入偿债基金的应 是100−18.33元。 所以总共还款额为 75×225−18.33=16856.67元 36为期25年的100000元贷款,贷款利率12%。 如果贷款人从每年的还款中 以年利率i提取利息,同时将剩余部份以利率j累积偿债基金。 分别对 j=8%,12%和16%三种情况计算i。 解: j=12%相当于按照摊还方式对应的利率。 设每次还款额为R,于是 R= L a25p0.12¬ 再根据偿债基金的定义有 (R−iL)s25pj¬=L 解得 i= 1 a25p12%¬ −1 s25pj¬ 代入数据便有 (1)j=8%时,i=11.38%; (2)j=12%时,i=12%; (3)j=16%时,i=12.35%。 37现有10年期贷款按月偿还,其中月换算名利率i(12)=12%,首次为600元, 然后每次增加5元。 (1)计算原始贷款金额; (2)证明: Pt=P1(1+0.01)t−1+5st−1p1%¬。 解: L=595s120p1%¬+5Ia120p1%¬=58490.89元; 证: 这个题证明方法不唯一,比如利用递推关系,找规律再用归纳法证明。 下面 给出的证明方法是作者认为最简单的。 如果每次还款额是一样的,那么{Pt}呈等比数列,且Pt=P1(1+i)t−1。 于 是我们只需要将两种还款方式进行比较即可。 下面用B1 t表示等额还款时 第t次的未结贷款余额,B2 t表示按题中方式进行还款时第t次的未结贷款 余额。 于是 B1 t=L(1+i)t−600stpi¬ B2 t=L(1+i)t−600stpi¬−5Ist−1pi¬ 故 P2 t −P1 t=(B2 t−1 −B2 t)−(B1 t−1 −B1 t) =(B2 t−1 −B1 t−1)+(B1 t −B2 t) =5(Ist−1pi¬−Ist−2pi¬) =5st−1pi¬(直接带公式化简) 于是 Pt=P1(1+0.01)t−1+5st−1p1%¬ 38某现有1000元存款,每月实利率1%,且月月结算。 如果每次恰好在利 息结算的下一个瞬间取出100元。 问: 最多可以提取几次? 同时给出该 每月余额和利息的列表。 解: 设第t个月余额为Bt,于是 Bt=1000(1+i)t−100stpi¬ 容易算得t=10时,余额首次低于100元,故最多能够提取10次。 每 月结余和利息列表如下: 月份利息余额 00.001000.00 110.00910.00 29.10819.10 38.19727.29 47.27634.56 56.35540.91 65.41446.32 74.46350.78 83.51254.29 92.54156.83 101.5758.40 39已知某贷款每半年偿还K元,且三次连续还贷后的贷款余额为: 5190.72, 5084.68和4973.66。 计算K。 解: 利用追溯法可得 5190.72(1+i)−K=5084.68 5084.68(1+i)−K=4973.66 由此可解得K=349.81元。 40利率为i的贷款L,每次偿还K,直至最后的不足额(不足金额K)还款。 证 明: Bt= K i −( K i −L)(1+i)t。 证:
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