九年级数学上课时作业通关宝典.docx
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九年级数学上课时作业通关宝典
第21章一元二次方程
21.1一元二次方程
1.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程,叫做一元二次方程.判别一个方程是不是一元二次方程,必须满足①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2;④二次项系数不能为0。
2.一元二次方程的一般形式为:
ax2+bx+c=0(a≠0),其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项,注意各项系数的符号。
21.2.1配方法
1.解一元二次方程,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程。
2.当P≥0时,x2=p的解为,(mx+n)2=p的解为(m≠0).
3.通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法。
4.配方法一般步骤:
(1)化二次项系数为l,并将含有未知数的项放在方程的左边,常数项放在方程的右边;
(2)配方:
方程两边同时加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式,写成(mx+n)2=p的形式;
(3)若p≥0,则可直接开平方求出方程的解,若p<0,则方程无解.
21.2.2公式法
1.一元二次方程成立的条件是a≠0,它的求根公式是。
2.用公式法解一元二次方程的思路应是:
(1)将方程化成一般形式;
(2)写出相应的a、b、c的值并计算△的值;(3)当△≥0时,可直接套用公式得出方程的解。
3.一元二次方程(ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)当b2-4ac>0时,有两个不相等的实数根;
(2)当b2-4ac=0时,有两个相等的实数根;
(3)当b2-4ac<0时,没有实数根。
21.2.3因式分解法
1.当一元二次方程的一边为0,而另一边易分解成两个一次因式的乘积,令每个因式分别等于0,得到两个一元一次方程,从而实现降次,这种解法叫作因式分解法。
2.用因式分解法解一元二次方程的步骤:
(1)方程的一边化为0;
(2)将方程另一边分解成两个一次因式的积的形式;
(3)令每个因式分别等于0,即得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
1.如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2,那么x1+x2=,x1x2=.
2.在应用根与系数关系式时应注意两个条件:
(l)二次项系数不为0。
(2)△≥0。
21.3实际问题与一元二次方程
1.列方程解应用题的一般步骤:
(1)审:
审清题意,明确问题中的已知量和未知量;
(2)设:
设未知数,可以直接设也可以间接设;
(3)列:
依题意构建方程;
(4)解方程,求出未知数的值;
(5)检验作答.
2.构建一元二次有程来解决实际问题时,必须验证方程的解是否符合实际意义。
3.面积问题:
求不规则图形的面积问题,往往把不规则图形转化成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程。
4.利润=(售价-进价)×销售量。
第22章二次函数
22.1.1二次函数
一般地,形如_y=ax2+bx+c(a≠0)_(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数,其中__x_是自变量,a、b、c分别是函数解析式的_二次__项系数、_一次__项系数、常数__项。
22.1.2二次函数y=ax2图象和性质
1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,其对称轴为y轴,顶点坐标为原点。
2.抛物线y=ax2与y=-ax2关于x轴对称。
抛物线y=ax2,当a>0时,开口向上,顶点是它的最低点;当a<0时,开口向下,顶点是它的最高点。
随着
的增大,开口越来越小。
22.1.3二次函数y=ax2+k的图像和性质
1.二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线.它与抛物线y=ax2的形状相同,只是顶点位置不同,它的对称轴为y轴,顶点坐标为(0,k)__。
2.二次函数y=ax2+k的图象可由抛物线y=ax2平移得到.当k>0时,抛物线y=ax2向上平移k个单位得y=ax2+k。
当k<0时,抛物线y=ax2向__下__平移
个单位得y=ax2+k。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
1.二次函数y=a(x-h)2的图象是抛物线,它与抛物线y=ax2的形状相同,只是位置不同;它的对称轴为直线x=h,顶点坐标为(h,0).
2.二次函数y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2平移得到。
当h>0时,抛物线y=ax2向右平移h个单位得y=a(x-h)2;当h<0时,抛物线y=ax2向左平移
个单位得y=a(x-h)2。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线,它与抛物线y=ax2的形状相同,只是位置不同;其对称轴为直线x=h,顶点坐标为__(h,k)。
2.二次函数y=a(x-h)2+k,当a>0时,开口向上,有最小值为k,在对称轴的左侧,y随x的增大而减少,右侧相反;当a<0时,恰好相反。
3.把抛物线y=ax2'向左(或右),向上(或下)平移,可得到抛物线y=a(x-h)2+k,其平移方向和距离由h,k值决定.
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方可化为
的形式,它的对称轴是
,顶点坐标是
,当a>0时,在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在对称轴右侧y随x的增大而增大;当a<0时,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而___减小_。
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y=ax2的图象形状相同,只是位置不同;y=ax2+bx+c的图象可以看成y=ax2的图象上、下平移或左、右平移得到的。
3.一般式y=ax2+bx+c:
已知图象上任意三点坐标或三对x、y值,分别代入一般式,可以求得函数解析式。
4.顶点式y=a(x-h)2+k:
已知抛物线顶点坐标和另一点坐标,可求得解析式。
5.交点式y=a(x-x1)(x-x2),其中x1、x2是图象与x轴两交点的横坐标,适合此特点的抛物线设为交点式。
22.2二次函数与一元二次方程
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根,就是二次函数y=ax2+bx+c,当y=0时,自变量x的值,它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标。
2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系:
当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点(即顶点在x轴上);当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点。
3.抛物线y=ax2+bx+c的图象与字母系数a、b、c之问的关系:
(1)当a>0时开口向上,当a<0时开口向下。
(2)若对称轴在y轴的左边,则a、b同号;若对称轴在y轴的右边,则a、b异号;
(3)若抛物线与y轴的正半轴相交,则c>0;若抛物线与y轴的负半轴相交,则c<0;若抛物线经过原点,则c=0。
22.3实际问题与二次函数
1.求二次函数y=ax2+bx+c最值的方法:
(1)用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,当自变量x=h时,函数y有最大(小)值为k;
(2)用公式法,当x=时,二次函数y有最大(小)值.
2.面积最值问题应设图形的一边长为自变量,所求面积为因变量,建立二次函数模型,利用二次函数有关知识求得最值,要注意函数自变量的取值范围。
3.建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤:
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系;
(2)把已知条件转化为点的坐标;
(3)合理设出函数解析式;
(4)利用待定系数法求出函数解析式;
(5)根据求出的函数解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。
第23章旋转
23.1图形的旋转
1.图形旋转的定义:
把一个图形绕着平面内某一点O转动一定的角度就叫做图形的旋转,点O叫作旋转中心,转动的角度叫作旋转角。
2.图形旋转的性质:
(l)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前后的图形全等(或重合)。
3.在旋转的过程中,要确定一个图形旋转后的位置,除了应了解图形原来的位置外,还应了解旋转中心、旋转方向和旋转角。
4.旋转作图的步骤:
(1)首先确定旋转中心、旋转方向和旋转角;
(2)其次确定图形的关键点;
(3)将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度;
(4)连接对应点,形成相应的图形。
23.2.1中心对称
1.把一个图形绕着点O旋转180°,能够与另一个图形完全重合,那么就说这两个图形关于点O对称或中心对称,点O叫作对称中心,这两个图形中的对应点叫作关于中心的对称点。
2.中心对称的两个图形,对称点的连线都经过对称中心,而且被对称中心平分,中心对称的两个图形是全等图形。
23.2.2中心对称图形
1.把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫作中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
2.如果将中心对称的两个图形看成一个图形,那么这个图形的整体就是中心对称图形;反过来,如果将一个中心对称图形沿过对称中心的任一条直线分成两个图形,那么这两个图形成中心对称。
23.2.3关于原点对称的点的坐标
1.若P(x,y)与P’关于原点对称,则P’的坐标为(-x,-y);
2.点P(x,y),P1(-x,y),P2(x,-y),P3(-x,-y).则点P与点P1的关系是关于y轴对称,点P与点P2的关系是关于x轴对称,点P与点P3的关系是关于原点对称。
第24章圆
24.1.1圆
1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一端点所形成的图形叫作圆。
这个固定的端点O叫作圆心,线段OA叫做半径。
2.连接圆上任意两点间的线段叫作弦,圆上任意两点间的部分叫作弧,直径是经过同圆心的弦,是圆中最长的弦。
3.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧.
4.确定一个圆有两个要素,一是圆心,二是半径,圆心确定位置,半径确定大小。
24.1.2垂直于弦的直径
1.圆是轴对称图形,它的对称轴是经过圆心的直线;圆又是中心对称图形,它的对称中心是圆心。
2.垂直于弦的直径的性质定理是垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
3.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
24.1.3弧、弦、圆心角
1.顶点在圆心的角叫作圆心角.
2.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等,那么其余各组量也相等。
24.1.4圆周角
1.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
3.如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上,这个多边形叫作圆内接多边形,这个圆叫作多边形的外接圆圆内接四边形对角互补。
24.2.1点和圆的位置关系
1.如图,⊙O的半径为r.
(1)点d在⊙O外,则OA>r;点B在⊙O上,则OB=r;点C在⊙O内,则OC<__r。
(2)若OA>r,则点d在⊙O外;若OB=r,则点B在⊙O上;若OC 2.在同一平面内,经过一个点能作无数个圆;经过两个点可 作无数个圆,经过不在同一直线上的三个点只能作一个圆。 3.三角形的外心是三角形外接圆的圆心,此点是三边垂直平分线的交点。 4.反证法首先假设命题的结论不成立,经过推理得出矛盾,由此判定假设错误,从而得到原命题成立。 24.2.2直线和圆的位置关系 1.直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系; 2.直线a与⊙O有唯一公共点,则直线a与⊙O相切;直线b与⊙O有两个公共点,则直线b与⊙O相交;直线c与⊙O没有公共点,则直线c与⊙O相离。 3.设⊙O的半径为r,直线到圆心的距离为d,则: (1)直线l1与⊙O相离,则d>r; (2)直线l2与⊙O相切,则d=r; (3)直线l3与⊙O相交,则d<r。 4.切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 5.切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径。 6.经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间线段的长,叫作这点到圆的切线长。 7.圆的切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 8.与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆,圆心叫作三角形的内心,它是三角形三内角平分线的交点。 *圆和圆的位置关系 在同一平面内,两个半径不同的圆之间有下列五种位置关系: 如果两圆的半径分别为r1和r2(r1<r2),圆心距为d,则: 当两圆外离时_d>r1+r2;当两圆外切时__d=r1+r2__;当两圆相交时r2-r1<d<r1+r2_;当两圆内切时_d=r2-r1;当两圆内含时_0≤d<r2-r1。 24.3正多边形和圆 1.__各边相等__、__各角相等__的多边形是正多边形。 2.只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。 3.一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心,外接圆的半径叫作这个正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 4.一股地,正n边形的一个内角的度数为,中心角的度数等于,正多边形的中心角与外角的大小相等。 24.4弧长和扇形面积 1.在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C=,所以n°的同心角所对的弧长为l=。 2.在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积s=,所以圆心角为n°的扇形面积是S扇形=。 3.用弧长表示扇形面积为,其中l为扇形弧长,R为半径。 4.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线。 5.圆锥的侧面展开图是一个扇形,圆锥的母线是扇形的半径,圆锥底面圆的周长是扇形的弧长,圆锥侧面积是扇形的面积。 6.如图,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径是l,扇形的弧长是2πr, 因此圆锥的侧面积为πrl,h、r、l之问满是的关系式为。 第25章概率初步 25.1.1随机事件 1.在一定条件下,有些事件 必然 会发生,这样的事件称为必然事件。 2.在一定条件下,有些事件必然 不会 发生,这样的事件称为不可能事件。 3.在一定条件下,可能 发生 也可能 不发生 的事件,称为随机事件。 4.生活中的事件可分为确定性事件和随机事件,其中确定性事件又分为必然事件和不可能事件。 25.1.2概率 1.一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生_可能性大小_的数值,称为随机事件A发生的概率,记为__P(A)__. 2.当试验具有以下特点时: ①每次试验,可能出现的结果只有__有限__个;②每次试验,各结果出现的可能性__相等__。 可以从事件所包含的___各种可能的结果数在__全部可能的结果数中所占的_比__,分析出事件发生的概率。 3.一般地,如果在一次试验中,有_n_种可能的结果,并且它们发生的可能性都__相等__,事件A包含其中的_m_种结果,那么事件A发生的概率为___。 4.当A为必然事件时,P(A)=_1_;当A为不可能事件时,P(A)=_0_;当A为随机事件时,_0_ 25.2用列举法求概率 1.古典概率: 即一个实验有n个结果,而事件A包含了其中的rn个结果,则P(A)=。 2.用古典概率定义求概率,必须具备两个条件: 一是一次实验中,可能出现的结果有有限个,各种结果发生的可能性相等。 二是每个基本事件出现的可能性相同。 3.用概率的大小可以判断游戏是否公平。 4.当一次试验要涉及两个因素并且可能出观的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表或画树状法。 5.对于二元事件(两次型问题)要分清摸球放回与不放回。 6.若试验只有两步,用列表法和树状法都可以.若试验在三步或三步以上,只能用画树状图来计算。 25.3利用频率估计概率 1.对一般的随机事件,在同样条件下做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率总在一个固定数的附近摆动,显示出一定的稳定性。 2.一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率里会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率P(A)=P= 。
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