易错题冀教版九年级数学上册期末综合检测试题教师用.docx
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易错题冀教版九年级数学上册期末综合检测试题教师用
【易错题解析】冀教版九年级数学上册期末综合检测试题
一、单选题(共10题;共30分)
1.如图,已知圆心角∠BOC=100º,则圆周角∠BAC的大小是( )
A. 50º B. 100º C. 130º D. 200º
【答案】A
【考点】圆周角定理
【解析】
【分析】根据圆周角定理可直接求出答案.
【解答】根据圆周角定理,可得:
∠A=
∠BOC=50°.
故选A.
【点评】本题主要考查圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
2.某中学举行书法比赛,各年龄组的参赛人数如下表所示,则全体参赛选手年龄的平均数和中位数分别为( )
年龄组
13岁
14岁
15岁
16岁
参赛人数
9
15
3
3
A. 14.5,14.5 B. 14,15 C. 14.5,14 D. 14,14
【答案】D
【考点】平均数及其计算,中位数
【解析】【解答】解:
∵(13×9+14×15+15×3+16×3)÷(9+15+3+3)
=(117+210+45+48)÷30
=420÷30
=14
∴全体参赛选手年龄的平均数是14.
∵13岁的有9人,14岁的有15人,15岁的有3人,16岁的有3人,∴把30名参赛选手年龄从小到大排列后,中间两人的年龄分别是14岁、14岁,∴全体参赛选手年龄的中位数是:
(14+14)÷2=28÷2=14.
综上,可得全体参赛选手年龄的平均数和中位数分别为14、14.
故答案为:
D.
【分析】一组数据按从小到大的顺序依次排列,处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数).平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
3.新阜宁大桥某一周的日均车流量分别为13,14,11,10,12,12,15(单位:
千辆),则这组数据的中位数与众数分别为( )
A. 10,12 B. 12,10 C. 12,12 D. 13,12
【答案】C
【考点】中位数,众数
【解析】【解答】∵从小到大排列为:
10,11,12,12,13,14,15,排在中间的数是12,
∴中位数是12;
∵12出现了2次,出现的次数最多,
∴众数是12.
故答案为:
C.
【分析】将这组数据按从小到大排列,排在最中间的数就是中位数;这组数据中,出现次数最多的是12,根据众数概念,即可得出答案。
4.(2016•葫芦岛)九年级两名男同学在体育课上各练习10次立定跳远,平均成绩均为2.20米,要判断哪一名同学的成绩比较稳定,通常需要比较这两名同学立定跳远成绩的( )
A. 方差 B. 众数 C. 平均数 D. 中位数
【答案】A
【考点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解:
由于方差能反映数据的稳定性,需要比较这2名学生立定跳远成绩的方差.
故选:
A.
【分析】根据方差的意义:
是反映一组数据波动大小,稳定程度的量;方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,反之也成立.故要判断哪一名学生的成绩比较稳定,通常需要比较这2名学生立定跳远成绩的方差.本题考查方差的意义.它是反映一组数据波动大小,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,反之也成立.
5.已知⊙O是△ABC的外接圆,若AB=AC=5,BC=6,则⊙O的半径为( )
A. 4 B. 3.25 C. 3.125 D. 2.25
【答案】C
【考点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解:
取BC中点D,连结AD,OB,
设BO=AO=r,
∵AB=AC=5,BC=6,
∴AD⊥BC,BD=3,
∴AD=4,
在Rt△BOD中,
∴BO2=OD2+BD2,
即r2=32+(4-r)2,
∴r=3.125.
故答案为:
C.
【分析】取BC中点D,连结AD,OB,设BO=AO=r,根据等腰三角形性质可知AD=4,AD⊥BC,在Rt△BOD中,根据勾股定理即可求出半径.
6.如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=6m,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为( )
A. 3
m B. 3
m C. 4m D. (3
﹣3)m
【答案】A
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解:
作AC⊥OB于点C,如图所示,
由已知可得,
∠COA=30°,OA=6m,
∵AC⊥OB,
∴∠OCA=∠BCA=90°,
∴OA=2AC,∠OAC=60°,
∴AC=3m,∠CAD=30°,
∵∠DAB=15°,
∴∠CAB=45°,
∴∠CAB=∠B=45°,
∴BC=AC,
∴AB=
,
故选A.
【分析】根据题意,可以作辅助线AC⊥OB于点C,然后根据题目中的条件,可以求得AC和BC的长度,然后根据勾股定理即可求得AB的长.
7.对于反比例函数y=,下列说法正确的是( )
A. 图象经过点(1,﹣3) B. 图象在第二、四象限
C. >0时,y随的增大而增大 D. <0时,y随增大而减小
【答案】D
【考点】反比例函数的图象,反比例函数的性质,反比例函数系数的几何意义
【解析】【解答】A.当=1时,y=3,错误,不符合题意;B.=3>0,图象在第一、三象限,错误,不符合题意;
C.=3>0,在每一个象限内,y随的增大而减小,错误,不符合题意;
D.=3>0,在每一个象限内,y随的增大而减小,正确,符合题意.
故答案为:
D.
【分析】依据反比例函数的特征,对选项逐个判断,知道得到符合题意的选项.
8.关于的方程(+4)2-2=0是关于的一元二次方程,则的取值范围是( )
A. ≠0 B. ≥4 C. =-4 D. ≠-4
【答案】D
【考点】一元二次方程的定义
【解析】【解答】由题意得:
+4≠0,
解得:
≠-4,
故选:
D.【分析】根据一元二次方程的定义可得+4≠0,再解即可.
9.(2016•湖州)如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得∠DAC=∠ACD.如图3,将△ACD沿着AD所在直线折叠,使得点C落在点E处,连结BE,得到四边形ABED.则BE的长是( )
A. 4 B.
C. 3
D. 2
【答案】B
【考点】等腰三角形的性质,翻折变换(折叠问题),相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵∠DAC=∠ACD,
∴∠DAC=∠ABC,
∵∠C=∠C,
∴△CAD∽△CBA,
∴
,
∴
=
,
∴CD=
,BD=BC﹣CD=
,
∵∠DAM=∠DAC=∠DBA,∠ADM=∠ADB,
∴△ADM∽△BDA,
∴
=
,即
=
,
∴DM=
,MB=BD﹣DM=
,
∵∠ABM=∠C=∠MED,
∴A、B、E、D四点共圆,
∴∠ADB=∠BEM,∠EBM=∠EAD=∠ABD,
∴△ABD∽△MBE,
∴
=
,
∴BE=
=
=
.
故选B.
【分析】只要证明△ABD∽△MBE,得
=
,只要求出BM、BD即可解决问题.本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题,本题需要三次相似解决问题,题目比较难,属于中考选择题中的压轴题.
10.如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为,则下面所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解:
由题意得,(32−2)(20−)=570【分析】将六块草坪拼为一块可得一个矩形,该矩形面积为六块草坪的面积和570m2。
由图易得新矩形的长为(32−2)m,宽为(20-)m,所以可得方程(32−2)(20−)=570
二、填空题(共10题;共30分)
11.某种植物的主干长出a个支干,每个支干又长出同样数目的小分支,则主干、支干和小分支的总数为________.
【答案】1+a+a2
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解:
设主干长出a个支干,每个支干又长出a个小分支,
可得该植物的主干,支干和小分支的总数为:
1+a+a2.
故答案为:
1+a+a2
【分析】设主干长出a个支干,每个支干又长出a个小分支,则小分支为
,所以可得总数=主干+支干+小分支。
12.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向,距离灯塔为4海里的点A处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置,海轮航行的距离AB长________海里.
【答案】2
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解:
如图,由题意可知∠NPA=60°,AP=4海里,∠ABP=90°.
∵AB∥NP,
∴∠A=∠NPA=60°.
在Rt△ABP中,∵∠ABP=90°,∠A=60°,AP=4海里,
∴AB=AP•cos∠A=4×cos60°=4×
=2海里.
故答案为2.
【分析】如图,由题意可知∠NPA=60°,AP=4海里,∠ABP=90°.在Rt△ABP中利用余弦函数的定义,由AB=AP•cos∠A即可得出AB的长,
13.已知圆锥的底面半径长为5,侧面展开后得到一个半圆,则该圆锥的母线长为________.
【答案】10
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】设母线长为,根据题意得
2π÷2=2π×5,
解得=10.
【分析】根据圆锥侧面展开后得到一个半圆,半圆的周长=圆锥的母线长,依次建立方程求解即可。
14.已知,______
【答案】-4
【考点】比例的性质
【解析】【解答】解:
设a,
则可以得出:
=2a,y=3a,=5a,
代入中得
原式=.
故答案为-4.
【分析】根据比例的性质求出代数式的值.
15.如图,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,点D对应的刻度是58°,则∠ACD的度数为________.
【答案】61°
【考点】圆心角、弧、弦的关系,正多边形和圆
【解析】【解答】∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,
∴A、B、C、D四点共圆,
又∵点D对应的刻度是58°,
∴∠BOD=58°,
∴∠BCD=29°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=61°.
故答案为:
61°.
【分析】由已知条件得A、B、C、D四点共圆,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠BCD=29°,从而得∠ACD=61°.
16.如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:
3,已知AB=4,则DE的长为________.
【答案】6
【考点】位似变换
【解析】【解答】解:
∵△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:
3,
∴AB:
DE=2:
3,
∴DE=6.
故答案为:
6.
【分析】位似图形的对应边之比等于位似比,因此可求出DE的长。
17.已知关于的方程的个根是1,则m=________.
【答案】2
【考点】解一元一次方程,一元二次方程的根
【解析】【解答】∵关于的方程的个根是1,
∴1﹣3×1+m=0,解得,m=2,
故答案为:
2.【分析】将=1代入方程,解关于m的方程,求解即可。
18.如图,已知一次函数y=﹣4+5的图象与反比例函数y=(>0)的图象相交于点A(p,q).当一次函数y的值随的值增大而增大时,p的取值范围是________.
【答案】
<p<4
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解:
一次函数y=﹣4+5中,令=4,则y=5,故一次函数y=﹣4+5的图象经过点(4,5),
如图所示,过点(4,5)分别作y轴与轴的垂线,分别交反比例函数图象于B点和C点,
把y=5代入y=,得=
;
把=4代入y=,得y=
,
所以B点坐标为(
,5),C点坐标为(4,
),
因为一次函数y的值随的值增大而增大,
所以点A(p,q)只能在B点与C点之间的曲线上,
所以p的取值范围是
<p<4.
故答案为:
<p<4.
【分析】先根据一次函数的解析式,得到一次函数y=﹣4+5的图象经过点(4,5),过点(4,5)分别作y轴与轴的垂线,分别交反比例函数图象于B点和C点,根据点A(p,q)只能在B点与C点之间,即可求得p的取值范围是
<p<4.
19.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发,沿BC以2cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,以1cm/s的速度向点A移动,若点P、Q分别从点B、C同时出发,设运动时间为ts,当t=________时,△CPQ与△CBA相似.
【答案】4.8或
【考点】勾股定理,相似三角形的判定
【解析】【解答】解:
CP和CB是对应边时,△CPQ∽△CBA,
所以,
=
,
即
=
,
解得t=4.8;
CP和CA是对应边时,△CPQ∽△CAB,
所以,
=
,
即
=
,
解得t=
.
综上所述,当t=4.8或
时,△CPQ与△CBA相似.
故答案为4.8或
.
【分析】△CPQ与△CBA相似可分为两类:
△CPQ∽△CBA或△CPQ∽△CAB,用t的代数式表示边,对应边成比例列出方程即可.
20.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于点E,在BC上截取BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H,过点A作AN⊥BC,垂足为N,AN交CE于点M.则下列结论:
①CM=AF;②CE⊥AF;③△ABF∽△DAH;④GD平分∠AGC,
其中正确的序号是________.
【答案】①②③④
【考点】全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:
⑴结论①正确.理由如下:
∵∠1=∠2,∠1+∠CMN=90°,∠2+∠6=90°,
∴∠6=∠CMN,又∵∠5=∠CMN,
∴∠5=∠6,
∴AM=AE=BF.
易知ADCN为正方形,△ABC为等腰直角三角形,∴AB=AC.
在△ACM与△ABF中,
,
∴△ACM≌△ABF(SAS),
∴CM=AF;
⑵结论②正确.理由如下:
∵△ACM≌△ABF,
∴∠2=∠4,
∵∠2+∠6=90°,
∴∠4+∠6=90°,
∴CE⊥AF;
⑶结论③正确.理由如下:
证法一:
∵CE⊥AF,
∴∠ADC+∠AGC=180°,
∴A、D、C、G四点共圆,
∴∠7=∠2,
∵∠2=∠4,
∴∠7=∠4,
又∵∠DAH=∠B=45°,
∴△ABF∽△DAH;
证法二:
∵CE⊥AF,∠1=∠2,
∴△ACF为等腰三角形,AC=CF,点G为AF中点.
在Rt△ANF中,点G为斜边AF中点,
∴NG=AG,
∴∠MNG=∠3,
∴∠DAG=∠CNG.
在△ADG与△NCG中,
,
∴△ADG≌△NCG(SAS),
∴∠7=∠1,
又∵∠1=∠2=∠4,
∴∠7=∠4,
又∵∠DAH=∠B=45°,
∴△ABF∽△DAH;
⑷结论④正确.理由如下:
证法一:
∵A、D、C、G四点共圆,
∴∠DGC=∠DAC=45°,∠DGA=∠DCA=45°,
∴∠DGC=∠DGA,即GD平分∠AGC.
证法二:
∵AM=AE,CE⊥AF,
∴∠3=∠4,又∠2=∠4,∴∠3=∠2
则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°.
∵△ADG≌△NCG,
∴∠DGA=∠CGN=45°=
∠AGC,
∴GD平分∠AGC.
综上所述,正确的结论是:
①②③④,共4个.
故答案为:
①②③④
【分析】结论①正确,证明△ACM≌△ABF即可;结论②正确,由△ACM≌△ABF得出∠2=∠4,进而得∠4+∠6=90°,即CE⊥AF,结论③正确,证法一:
利用四点共圆;证法二:
利用三角形全等;结论④正确,证法一:
利用四点共圆,证法二:
利用三角形全等。
三、解答题(共7题;共60分)
21.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且顶点都在格点上,每个小正方形的边长都为1.
(1)在图上标出位似中心D的位置,并写出该位似中心D的坐标是 ;
(2)求△ABC与△A′B′C′的面积比.
【答案】解:
(1)如图:
D(7,0);
(2)∵△ABC∽△A′B′C′
∴
【考点】相似三角形的性质,作图﹣位似变换
【解析】【分析】考查位似.
22.我市一家电子计算器专卖店每只进价13元,售价20元,为了扩大销售,该店现规定,凡是一次买10只以上的,每多买1只,所买的全部计算器每只就降低0.10元,例如,某人买20只计算器,于是每只降价0.10×(20-10)=1(元),因此,所买的全部20只计算器都按照每只19元计算,但是最低价为每只16元。
问一次卖多少只获得的利润为120元?
【答案】解:
设一次卖只,所获得的利润为120元,根据题意得:
[20-13-0.1(-10)]=120
解之得:
=20或=60(舍去)。
(因为最多降价到16元,所以60舍去。
)
答:
一次卖20只时利润可达到120元。
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设一次卖只,所获得的利润为120元,根据我市一家电子计算器专卖店每只进价13元,售价20元,为了扩大销售,该店现规定,凡是一次买10只以上的,每多买1只,所买的全部计算器每只就降低0.10元,可列方程求解。
23.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求证:
AE是⊙O的切线;
(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.
【答案】
(1)解:
∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角,∴∠ABC=∠D=60°.
(2)证明:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,
即BA⊥AE,∴AE是⊙O的切线.
(3)解:
如图,连接OC.
∵OB=OC,∠ABC=60°,
∴△OBC是等边三角形,
∴OB=BC=4,∠BOC=60°,
∴∠AOC=120°.
∴弧AC的长度为=
=
π.
【考点】切线的判定,弧长的计算
【解析】【分析】考查切线的判定。
24.如图所示,某教学活动小组选定测量小山上方某信号塔PQ的高度,他们在A处测得信号塔顶端P的仰角为45°,信号塔低端Q的仰角为31°,沿水平地面向前走100米到处,测得信号塔顶端P的仰角为68°.求信号塔PQ的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:
sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.48,tan31°≈0.60,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86)
【答案】解:
延长PQ交直线AB于点M,
则∠PMA=90°,设PM的长为米,根据题意,
得∠PAM=45°,∠PBM=68°,∠QAM=31°,
AB=100,∴在Rt△PAM中,AM=PM=.
BM=AM-AB=-100,
在Rt△PBM中,∵tan∠PBM=
,
即tan68°=.解得≈167.57.∴AM=PM≈167.57.
在Rt△QAM中,∵tan∠QAM=
,
∴QM=AM·tan∠QAM=167.57×tan31°≈100.54.
∴PQ=PM-QM=167.57-100.54≈67.0(米).
因此,信号塔PQ的高度约为67.0米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点M,则∠PMA=90°,设PM的长为米,根据题意,得∠PAM=45°,∠PBM=68°,∠QAM=31°,AB=100,根据等腰直角三角形的性质得出AM=PM=,BM=AM-AB=-100, 根据正切函数的定义,由tan∠PBM=
,即可建立方程,从而算出AM=PM≈167.57, 根据正切函数的定义,由QM=AM·tan∠QAM算出QM的长,根据线段的和差,由PQ=PM-QM算出答案。
25.如图,已知A(n,﹣2),B(1,4)是一次函数y=+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点,直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的关系式;
(2)求△AOC的面积;
(3)求不等式+b﹣<0的解集.(直接写出答案)
【答案】解:
(1)∵B(1,4)在反比例函数y=上,
∴m=4,
又∵A(n,﹣2)在反比例函数y=的图象上,
∴n=﹣2,
又∵A(﹣2,﹣2),B(1,4)是一次函数y=+b的上的点,联立方程组解得,
=2,b=2,
∴y=,y=2
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