研究性学习数学分期付款问题.docx

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研究性学习数学分期付款问题

研究性学习（数学）分期付款问题

词条概念

分期付款（PaybyInstalments）大多用在一些生产周期长、成本费用高的产品交易上。

如成套设备、大型交通工具、重型机械设备等产品的出口。

分期付款的做法是在进出口合同签订后，进口人先交付一小部分货款作为订金给出口人，其余大部分货款在产品部分或全部生产完毕装船付运后，或在货到安装、试车、投入以及质量保证期满时分期偿付。

购买商品和劳务的一种付款方式。

买卖双方在成交时签订契约，买方对所购买的商品和劳务在一定时期内分期向卖方交付货款。

每次交付货款的日期和金额均事先在契约中写明。

发展历史

分期付款方式是在第二次世界大战以后发展起来的。

开始时只局限于一般日用商品或劳务的购买。

后来，随着生产力的迅速发展，工、农业生产的规模日益扩大，所需费用增大，加之银行信用的发展，分期付款的领域扩大到企业购买大型机器设备和原材料上。

　　伴随着中国金融服务的完善以及人们消费习惯的改变，在国外流行的分期付款消费被引入国内，并迅速得到国内消费者的认可。

采用分期付款方式消费的通常是目前支付能力较差，但有消费需求的年轻人。

其消费的产品通常是笔记本电脑、手机、数码产品等。

分期付款方式通常由银行和分期付款供应商联合提供。

银行为消费者提供相当于所购物品金额的个人消费贷款，消费者用贷款向供应商支付货款，同时供应商为消费者提供担保，承担不可撤消的债务连带责任。

使用分期付款方式消费的年轻人通常被称为“分期族”。

市场含意

分期付款实际上是卖方向买方提供的一种贷款，卖方是债权人，买方是债务人。

买方在只支付一小部分货款后就可以获得所需的商品或劳务，但是因为以后的分期付款中包括有利息，所以用分期付款方式购买同一商品或劳务，所支付的金额要比一次性支付的货款多一些。

分期付款的方式一方面可以使卖方完成促销活动，另一方面也给买方提供了便利。

计算方法

利用数列知识有分期付款公式:

x=a（1+p）^m[（1+p）^m/n-1]/[（1+p）^m-1]

　　其中为a本金,p为月利率,m月份数,n次数.x为每次付款额.一般的m=n

　　那么付出的利息应为:

mx-a

　　例如按揭7万元,5年.此时a=70000,p=0.oo8m=60n=60代入得x=?

.

付利息60×?

—70000=........

分期付款买房

第一次购买商品房首付最低20%，利率享受七折。

房产证和一次性付清的一样，不过有注记。

银行利息按照4%计算：

150000*（1+4%）*（1+4%）*（1+4%）=168729.6

再加上一次性付清的话房地产商一般都有10%左右的优惠，总的算起来贷款要比一次性付清要多付三万多。

还贷款计算

众所周知，银行住房贷款的分期付款方式分为等额本息付款和等额本金方式付款两种方式。

两种付款方式的月付款额各不相同，计算方式也不一样。

网上分别有着两种还款方式的计算公式。

然而，对于这两个公式的来源却很少有解释，或者解释是粗略的或错误的。

本人经过一段时间的思考，终于整明白了其中的原理，并且运用高中数学理论推导出了这两个计算公式。

本文将从原理上解释一下着两种还款方式的原理及计算公式的推导过程。

无论哪种还款方式，都有一个共同点，就是每月的还款额（也称月供）中包含两个部分：

本金还款和利息还款：

月还款额=当月本金还款+当月利息式1

其中本金还款是真正偿还贷款的。

每月还款之后，贷款的剩余本金就相应减少：

当月剩余本金=上月剩余本金-当月本金还款

直到最后一个月，全部本金偿还完毕。

利息还款是用来偿还剩余本金在本月所产生的利息的。

每月还款中必须将本月本金所产生的利息付清：

当月利息=上月剩余本金×月利率式2

其中月利率=年利率÷12。

据传工商银行等某些银行在进行本金等额还款的计算方法中，月利率用了一个挺孙子的算法，这里暂且不提。

由上面利息偿还公式中可见，月利息是与上月剩余本金成正比的，由于在贷款初期，剩余本金较多，所以可见，贷款初期每月的利息较多，月还款额中偿还利息的份额较重。

随着还款次数的增多，剩余本金将逐渐减少，月还款的利息也相应减少，直到最后一个月，本金全部还清，利息付最后一次，下个月将既无本金又无利息，至此，全部贷款偿还完毕。

两种贷款的偿还原理就如上所述。

上述两个公式是月还款的基本公式，其他公式都可由此导出。

下面我们就基于这两个公式推导一下两种还款方式的具体计算公式。

1.等额本金还款方式

等额本金还款方式比较简单。

顾名思义，这种方式下，每次还款的本金还款数是一样的。

因此：

当月本金还款=总贷款数÷还款次数

当月利息=上月剩余本金×月利率

=总贷款数×（1－（还款月数-1）÷还款次数）×月利率

当月月还款额=当月本金还款＋当月利息

=总贷款数×（1÷还款次数＋（1－（还款月数-1）÷还款次数）×月利率）

总利息＝所有利息之和

=总贷款数×月利率×（还款次数－（１＋２＋３＋。

。

。

＋还款次数－1）÷还款次数）

其中1+2+3+…+还款次数－１是一个等差数列，其和为（1＋还款次数－１）×（还款次数－１）／2＝还款次数×（还款次数－１）／２

所以，经整理后可以得出：

总利息=总贷款数×月利率×（还款次数＋1）÷2

由于等额本金还款每个月的本金还款额是固定的，而每月的利息是递减的，因此，等额本金还款每个月的还款额是不一样的。

开始还得多，而后逐月递减。

2.等额本息还款方式

等额本息还款方式的公式推导比较复杂，不过也不必担心，只要具备高中数列知识就可以推导出来了。

等额本金还款，顾名思义就是每个月的还款额是固定的。

由于还款利息是逐月减少的，因此反过来说，每月还款中的本金还款额是逐月增加的。

首先，我们先进行一番设定：

设：

总贷款额＝Ａ

还款次数＝Ｂ

还款月利率＝Ｃ

月还款额＝Ｘ

当月本金还款＝Ｙｎ（ｎ＝还款月数）

先说第一个月，当月本金为全部贷款额＝Ａ，因此：

第一个月的利息＝Ａ×Ｃ

第一个月的本金还款额

Ｙ１＝Ｘ－第一个月的利息

＝Ｘ－Ａ×Ｃ

第一个月剩余本金＝总贷款额－第一个月本金还款额

＝Ａ－（Ｘ－Ａ×Ｃ）

＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ

再说第二个月，当月利息还款额＝上月剩余本金×月利率

第二个月的利息＝（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ

第二个月的本金还款额

Ｙ２＝Ｘ－第二个月的利息

＝Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ

第二个月剩余本金＝第一个月剩余本金－第二个月本金还款额

＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ）

＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ－Ｘ＋（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ

＝Ａ×（１＋Ｃ）×（１＋Ｃ）－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］

＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］

（1+C）^2表示（1+C）的2次方

第三个月，

第三个月的利息＝第二个月剩余本金×月利率

第三个月的利息＝（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ

第三个月的本金还款额

Ｙ３＝Ｘ－第三个月的利息

＝Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ

第三个月剩余本金＝第二个月剩余本金－第三个月的本金还款额

＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］

－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ）

＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］

－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２×Ｃ＋［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ）

＝Ａ×（１＋Ｃ）^２×（１＋Ｃ）

－（Ｘ＋［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］×（１＋Ｃ））

＝Ａ×（１＋Ｃ）^３　－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ＋（１＋Ｃ）^２×Ｘ］

上式可以分成两个部分

第一部分：

Ａ×（１＋Ｃ）^３。

第二部分：

［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ＋（１＋Ｃ）^２×Ｘ］

＝Ｘ×［１＋（１＋Ｃ）＋（１＋Ｃ）^２］

通过对前三个月的剩余本金公式进行总结，我们可以看到其中的规律：

剩余本金中的第一部分＝总贷款额×（１＋月利率）的ｎ次方，（其中ｎ＝还款月数）

剩余本金中的第二部分是一个等比数列，以（１＋月利率）为比例系数，月还款额为常数系数，项数为还款月数ｎ。

推广到任意月份：

第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ　－Ｘ×Ｓｎ（Ｓｎ为（１＋Ｃ）的等比数列的前ｎ项和）

根据等比数列的前ｎ项和公式：

１＋Ｚ＋Ｚ２＋Ｚ３＋．．．＋Ｚｎ－１＝（１－Ｚ^ｎ）／（１－Ｚ）

可以得出

Ｘ×Ｓｎ＝Ｘ×（１－（１＋Ｃ）^ｎ）／（１－（１＋Ｃ））

＝Ｘ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ

所以，第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ－Ｘ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ

由于最后一个月本金将全部还完，所以当ｎ等于还款次数时，剩余本金为零。

设ｎ＝Ｂ（还款次数）

剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^Ｂ－Ｘ×（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）／Ｃ＝０

从而得出

月还款额

Ｘ＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ÷（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）

＝　　总贷款额×月利率×（１＋月利率）^还款次数÷[（?

000保吕剩还款次数－１]

将Ｘ值带回到第ｎ月的剩余本金公式中

第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ－［Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）］×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ

＝Ａ×［（１＋Ｃ）^ｎ－（１＋Ｃ）^Ｂ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）］

＝Ａ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^ｎ］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）

第ｎ月的利息＝第ｎ－１月的剩余本金×月利率

＝Ａ×Ｃ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^（ｎ－１）］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）

第ｎ月的本金还款额＝Ｘ－第ｎ月的利息

＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）－Ａ×Ｃ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^（ｎ－１）］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）

＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^（ｎ－１）／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）

总还款额＝Ｘ×Ｂ

＝Ａ×Ｂ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ÷（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）

总利息＝总还款额－总贷款额＝Ｘ×Ｂ－Ａ

＝Ａ×［（Ｂ×Ｃ－１）×（１＋Ｃ）^Ｂ＋１］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）

等额本息还款，每个月的还款额是固定的。

由于还款初期利息较大，因此初期的本金还款额很小。

相对于等额本金方式，还款的总利息要多。

各个银行利率一览表

银行

期数

每期利率（%）

核算分期总利率（%）

假设消费账单为1000元

申请起始金额

共需要手续费用（元）

手续费收取方式

招商银行

3

--

2.6

26

一次性收取

1000元

6

--

4.2

42

12

--

7.2

72

广发银行

6

0.6

3.6

36

平均分配在各期中

单笔消费满人民币500元

12

0.6

7.2

72

18

0.65

11.7

117

24

0.7

16.8

168

工商银行

3

--

1.65

16.5

一次性收取

人民币600元

港币600元

美元100元

欧元100元

6

--

3.6

36

9

--

5.4

54

12

--

7.2

72

18

--

11.7

117

24

--

15.6

156

建设银行

3

0.7

2.1

21

平均分配在各期中

1000元

6

0.6

3.6

36

12

0.6

7.2

72

交通银行

3

0.72

2.16

21.6

平均分配在各期中

人民币1500元/美元100

Y-POWER卡人民币500元/美元60

6

0.72

4.32

43.2

9

0.72

6.48

64.8

12

0.72

8.64

86.4

18

0.72

12.96

129.6

24

0.72

17.28

172.8

中信银行

3

0.65

1.95

19.5

平均分配在各期中

1200元

6

0.6

3.6

36

12

0.55

6.6

66

光大银行

12

0.5

5.5（首期免手续费）

55

平均分配在各期中

12元（特定信用卡）

中国银行

3

--

1.95

19.5

一次性收取

1000元

6

--

3.6

36

9

--

5.4

54

12

--

7.2

72

18

--

11.7

117

24

--

15

150

2010级研究型学习的研究报告

课题

分期付款中的计算问题

课题组长

杨冠中

课题成员

杨冠中.王文霖.向民耀

班级

高二（八）班

指导老师

目的和意义

研究不同的人和不同的家庭选择不同的分期付款方式

课题研究方法

访谈法 其他研究方法

课题研究进程

1.查询

2.取证（到相关部门，如银行.房产公司.售楼部进行咨询）

3.计算

4.分析

5.结论==在写

调查结果分析与结论

课题研究自我评价