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统计学常用分布及其分位数
统计学常用分布及其分位数
§1.4常用的分布及其分位数
1.卡平方分布
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布,它们与正态分布一起,是试验统计中常用的分布。
当XI、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时,Z=的分布称为自由度等于n的分布,记作Z〜(n),它的分布密度p(z)=
式中的二,称为Gamm函数,且=1,=。
分布是非对称分布,具有可加性,即当Y与Z相互独立,且Y〜(n),Z〜(m),则Y+Z-(n+m)。
证明:
先令XI、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服
从N(0,1),再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性,令
Y二X+X+-+XZ二X+X…+X
Y+Z=X+X+…+X+X+X+…+X
即可得到Y+Z〜(n+m)。
2.t分布若X与丫相互独立,且
X〜N(0,1),丫〜(n),则Z=的分布称为自由度等于n的t分布,记作
Z〜t(n),它的分布密度
统计学常用分布及其分位数
P(z)=。
请注意:
t分布的分布密度也是偶函数,且当n>30时,t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时,t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3.F分布若X与Y相互独立,且X〜(n),Y〜(m),
则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布,记
作Z〜F(n,m),它的分布密度
p(z)=
请注意:
F分布也是非对称分布,它的分布密度与自由度的次序有关,当Z〜F(n,m)时,〜F(m,n)。
4.t分布与F分布的关系
若X〜t(n),则Y=X〜F(1,n)。
证:
X〜t(n),X的分布密度p(x)二。
Y=X的分布函数F(y)=P{Yvy}二P{X 当y0时,F(y)=0,p(y)=0; 当y>0时,F(y)=P{- ==2, 丫二X的分布密度p(y)二, 与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同,因此Y=X-F(1,n)。 为应用方便起见,以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。 但是,解应用问题时,通常是查分位数表。 有关分位数的概念如下: 4.常用分布的分位数 1)分位数的定义 分位数或临界值与随机变量的分布函数有关,根据应用的需要,有三种不同的称呼,即a分位数、上侧a分位数与双侧a分位数,它们的定义如下: 当随机变量X的分布函数为F(x),实数a满足0va<1 时,a分位数是使P{X 上侧a分位数是使P{X>入}=1-F(入)=a的数入, 统计学常用分布及其分位数 双侧a分位数是使P{X<入1}=F(入1)=0.5a的数入1、使 P{X>入2}=1-F(入2)=0.5a的数入2。 因为1-F(入)=a,F(入)=1-a,所以上侧a分位数入就是1-a分位数X1-a; F(入1)=0.5a,1-F(入2)=0.5a,所以双侧a分位数入1就是0.5a分位数X0.5a,双侧a分位数入2就是1-0.5a分位数X 1-0.5a。 2)标准正态分布的a分位数记作ua,0.5a分位数记作u0.5a,1-0.5a分位数记作u1-0.5a。 当X〜N(0,1)时,P{X P{X P{X 根据标准正态分布密度曲线的对称性, 当a=0.5时,ua=0; 当a<0.5时,ua<0。 Ua=-U1-ao 如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查 出u1-a,然后得到ua=-u1-ao 论述如下: 当X〜N(0,1)时,P{X P{X P{X>U1-a}=1-F0,1(U1-a)=a, 故根据标准正态分布密度曲线的对称性,Ua=-U1-ao 例如,U0.10=-U0.90=-1.282, U0.05=-U0.95=-1.645, U0.01=-U0.99=-2.326, U0.025=-U0.975=-1.960, U0.005=-U0.995=-2.576o 又因为P{|X| 标准正态分布常用的上侧a分位数有: a=0.10,u0.90=1.282; a=0.05,u0.95=1.645; a=0.01,u0.99=2.326; a=0.025,u0.975=1.960; a=0.005,u0.995=2.576。 3)卡平方分布的a分位数记作a(n)
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- 统计学 常用 分布 及其 位数