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八年级下册易错题
第一章三角形的证明
1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝,则该等腰三角形的周长是(D)
A.7㎝B.9㎝C.12㎝或者9㎝D.12㎝
考查知识点:
三角形的基本知识及等腰三角形边的关系:
任意两边之和大于第三边,等腰三角形两腰相等,
因此只能是:
5cm,5cm,2cm.
2.一个等腰三角形的一个角是40°,则它的底角是(D)A.40°B.50°C.60°D.40°或70°
考查知识点:
三角形的内角和及等腰三角形两底角相等:
①当40°是顶角时,底角就是70°;②40°就是一个底角.
3.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm,则最长边上的高是(D)A.2.4cmB.3cmC.4cmD.4.8cm
提示:
设最长边上的高为h,由题意可得△ABC是直角三角形,利用面积相等求,即
1.6.8=1.10.h
22
解得h=4.8
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,腰长为6,则其底边上的高是3或3.
解:
①三角形是钝角三角形时,如图1,∵∠ABD=30°
11
∴AD=AB=×6=3,
22
∵AB=AC,
11
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=(90°-30°)=30°,
22
∴∠ABD=∠ABC,
∴底边上的高AE=AD=3;
②三角形是锐角三角形时,如图2,∵∠ABD=30°
∴∠A=90°-30°=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴底边上的高为
3×6=3
2
综上所述,底边上的高是3或33
5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形(B)的交点.
A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高
考查的知识点:
三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为:
点到点距离相等,为垂直平分线上的点】还有一个:
三角形三个内角平分线的交点到三角
形三边的距离相等【归纳为:
点到线的距离相等,为角平分线的交点,此时的距离有“垂直”
】
6.
如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,则△ADC的周长等于8
考查的知识点:
垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
7.用反证法证明:
一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.
答案:
已知:
△ABC,求证:
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明:
假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°,即每一内角都大于60°
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形的内角和为180度矛盾.假设不成立.
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
考查知识:
反证法,用反证法进行证明时先写出已知、求证,再假设求证的反面成立,推出与题设、定理等相矛盾的结论,从而肯定原结论成立【注意:
反证法一般很少用到,除非是题目要求用反证法证明,否则一般不考虑该方法】
8.如图所示,∠AOB=30°,OC平分∠AOB,P为OC上任意一点,PD∥OA交OB于点
D,PE⊥OA于点E,若PE=2cm,则PD=cm.
解:
过点P作PF⊥OB于F,
∵∠AOB=30°,OC平分∠AOB,
∴∠AOC=∠BOC=15°,
∵PD∥OA,
∴∠DPO=∠AOP=15°,
∴∠DPO=∠AOP=15°,
∴∠BOC=∠DPO,
∴PD=OD=4cm,
∵∠AOB=30°,PD∥OA,
∴∠BDP=30°,
1
∴在Rt△PDF中,PF=PD=2cm,
2
∵OC为角平分线,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF,∴PE=PF=2cm
9.
如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为()A.6B.7C.8D.9
解:
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,
∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,
∵MN∥BC,
∴∠EBC=∠EBC,∠ECN=∠ECB,
∴BM=ME,EN=CN,
∴MN=BM+CN,
∵BM+CN=9,
∴MN=9
考查知识点:
平行+平分,必有等腰三角形
10.
如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为(B)A.11B.5.5C.7D.3.5
解:
作DM=DE交AC于M,作DN⊥AC,
∵在△AED和△AMD中
∴△AED≌△AMD
∴SVADE=SVADM
∵DE=DG,DM=DE,
∴DM=DG,
∵AD是△ABC的外角平分线,DF⊥AB,
∴DF=DN,
在Rt△DEF和Rt△DMN中,
Rt△DEF≌Rt△DMN(HL),
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39,
∴SVMDG=SVADG-SVADM=50-39=11
=1S1
SVDNM=SVDEF
=×11=5.5
2VMDG2
考查知识点:
角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是(A)
A.
B.
C.
D.
解:
在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,根据勾股定理得:
AB==过C作CD⊥AB,交AB于点D,
=15
1
11AC.BC9x1236
则由SVABC=2AC.BC=2AB.CD,得CD=AB
==
155
考查知识:
利用面积相等法
12.如图,在△ABC中AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是(A)A.1B.2C.3D.4
解:
∵AD⊥BC,
∴∠EAH+∠B=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠EAH+∠AHE=90°,
∴∠B=∠AHE,
∵EH=EB,
在△AEH和△CEB中,
∴△AEH≌△CEB(ASA)
∴CE=AE,
∵EH=EB=3,AE=4,
∴CH=CE-EH=4-3=1
考查知识:
利用三角形全等求线段长度.
13.如图,在△ABC中,AD是中线,AE是角平分线,CF⊥AE于点F,AB=5,AC=2,则DF的长
3
为.
2
解:
延长CF交AB于点G,
∵AE平分∠BAC,
∴∠GAF=∠CAF,
∵AF垂直CG,
∴∠AFG=∠AFC,
在△AFG和△AFC中,
∴△AFG≌△AFC(ASA)
∴AC=AG,GF=CF,
又∵点D是BC的中点,
∴DF是△CBG的中位线,
1113
∴DF=BG=(AB-AG)=(AB-AC)=
2222
点评:
本题考查了三角形的中位线定理,解答本题的关键是作出辅助线,一般出现既是角平分线又是高的情况,我们就需要寻找等腰三角形.
14.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,FE垂直平分AD,交AD于E,交BC的延长线于F.
求证:
∠CAF=∠B.
解:
∠B=∠CAF.
∵FE垂直平分AD,
∴FA=FD,
∴∠FAD=∠ADF
∵AD为∠BAC的平分线,
∴∠CAD=∠BAD
又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD,∠B=∠ADF-∠BAD,
∴∠B=∠CAF
点评:
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图,OA、OB表示两条相交的公路,点M、N是两个工厂,现在要在∠AOB内建立一个货物中
转站P,使中转站到公路OA、OB的距离相等,并且到工厂M、N的距离也相等,用尺规作出货物中转站P的位置.
解:
①作∠AOB的角平分线;
②连接MN,作MN的垂直平分线,交OM于一点,交点就是所求货物中转站的位置.
16.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点
E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
(1)证明:
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵DE⊥AB,∠C=90°,
∴∠ACD=∠AED=90°
又∵AD=AD,
∴△ACD≌△AED
(2)解:
∵△ACD≌△AED
∴DE=CD=1
∵∠B=30°,∠DEB=90°,
∴BD=2DE=2
17.如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点
F,连接CF.
(1)求证:
BF=2AE;
(2)若CD=
,求AD的长.
(1)证明:
∵AD⊥BC,∠BAD=45°
∴∠ABD=∠45°=∠BAD
∴AD=BD
∵BE⊥AC
∴∠CAD+∠AFE=90°
∵AD⊥BC
∴∠FBD=∠BFD=90°又∠AFE=∠BFD
∴∠CAD=∠FBD
又∠ADC=∠BDF=90°
∴△ADC≌△BDF
∴AC=BF
∵AB=BC,BE⊥AC
∴AC=2AE
∴BF=2AE
(2)解:
设AD=x,则BD=x
∴AB=BC=+x
∵△ABD是等腰直角三角形
∴AB=AD
∴+x=x
解得x=2+
即AD=2+
18.
如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在BA、BC的延长线上,且AD=BE.
求证:
DC=DE
证明:
延长BE至F,使EF=BC
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=60°,AB=BC
∴AB=BC=EF
∵AD=BE,BD=AB+AD,BF=BE+EF
∴BD=BF
∴△BDF是等边三角形
∴∠F=60°,BD=FD
在△BCD和△FED中,
BC=EF
∠B=∠F=60°
BD=FD
∴△BCD≌△FED(SAS)
∴DC=DE
19.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,
1
且AE=BD,求证:
BD是∠ABC的角平分线.
2
证明:
延长AE、BC交于点F
∵AE⊥BE
∴∠BEF=90°,又∠ACF=∠ACB=90°
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△ACF和△BCD中
∴△ACF≌△BCD(ASA)
∴AF=BD
1
又AE=BD
2
∴AE=EF,即点E是AF的中点
∴AB=BF
∴BD是∠ABC的角平分线
20.如图,在△ABC中,分别以AC、AB为边,向外作正△ACD,正△ABE,BD与AE相交于
F,连接AF,求证:
AF平分∠DME
证明:
过点A分别作AM⊥BD,AN⊥CE,分别交BD,CE于M,N两点
∵△ABE和△ACD均为等边三角形,
∴∠EAB=∠CAD=60°,AD=AC,AB=AE
∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC,
∴△EAC≌△BAD,
11
∴SVEAC=2CE.AN=SVBAD=2BD.AMCE=BD
∴AN=AM
∴AF平分∠DME(在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上)
21.如图,已知:
AB=AC,∠A=90°,AF=BE,BD=DC.求证:
FD⊥ED.
证明:
连接AD.
∵∠A=90°AB=ACD是BC的中点
∴AD⊥BC∠ADB=90°∠B=45°=∠CADAD=BD(直角三角形中,中线等于斜边的一半)且BE=AF
∴易证△BED≌△AFD(SAS)
∴∠BDE=∠ADF∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
∴ED⊥FD
不等式基本性质
第二章不等式(组)
例:
如果x>y,那么下列各式中正确的是(C)
xy
A.x-2<y-2B.<C.-2x<-2yD.-x>-y
22
1.系数含有字母的不等式(组)
解题思路:
先把字母系数当做已知数,解除未知数的取值范围,再根据题意及不等式的性质
或解不等式组的方法进行计算【特别注意:
“=”一定要考虑,如果满足题意则要取,不满足题意就不取】
【自己做】
(1)已知关于x的方程3k-5x=-9的解是非负数,求k的取值范围.
(2)已知关于x的不等式(1-a)x>2的解集为x<
提示:
利用不等式的基本性质三:
a-1<0
⎧x-a>0
2
1-a
,则a的取值范围是a>1.
⎩
(3)如果不等式组⎨x+b<0的解集是3 提示: 解得不等式组的解集为: a 而不等式组的解集为: 3 ∴a=3,b=-5 (4)如果不等式 ⎧x<8 ⎩ ⎨x>m无解,那么m的取值范围是(B) A.m>8B.m≥8C.m<8D.m≤8 提示: 不等式组无解的条件是: 比大的还大,比小的还小;∴m≥8【“=”一定要考虑,这个题取“=”就满足题意】 (5)如果不等式组⎧x+8<4x-1的解集是x>3,则m的取值范围是(A). ⎩ ⎨x>m A.m≤3B.m≥3C.m=3D.m<3 提示: 不等式组解集: 同大取大;解不等式组得 而该不等式组的解集是x>3,∴m≤3【“=”一定要考虑,这个题取“=”就满足题意】 ⎧x-3<6(x-2)-1 (6)关于x的不等式组⎪ ⎨5+2a-x>5-2x 有三个整数解,则a的取值范围是 ⎩⎪3 -5<a≤-2. 63 解: 解该不等式组得 ∵有三个整数解 ∴2<x<6a+10 ∴三个整数解应该是3,4,5 ∴5<6a+10≤6 52 解得-<a≤- 63 ⎧x+y=m+2, ⎩ 【自己解答】(7)若方程组⎨4x+5y=6m+3的解x,y均为正数,求m的取值范围. 提示: 先将m当作已知数,将x、y用含m的式子表示出来,然后利用x,y均为正数,列出含m的不等式组,解出m的取值范围 【自己解】2.解不等式(组)【不等式组的结果不能写成大括号的形式】 (1) 解不等式2x+1≥(3x-1)+1,并将解集在数轴上表示出来; 32 ⎧5x-1<3(x+1) ⎪ (2) ⎪ 解不等式组⎨2x-1-5x+1≤1,并把它的解集表示在数轴上. 32 3.一元一次不等式(组)与一次函数 利用一次函数解一元一次不等式(组): 实质就是比较两个函数y值得大小,函数值(y)越大,图像越高,函数值(y)越小,图像越高低,这里一般是让求自变量x的取值范围,找出与x轴交点的横坐标(指一元一次不等式),看让求图像在x轴以上的自变量的取值范围 (还是图像在x轴以下的自变量的取值范围);或找出函数交点的横坐标,然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意. (1)函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象如图所示,则关于x的不等 式kx+b>0的解集为(C). A.x>0B.x<0C.x<2D.x>2 (2)直线l1: y=k1x+b与直线l2: y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b>k2x的解为x<-1 4.一元一次不等式(组)应用题 ◆一件商品的进价是500元,标价为600元,打折销售后要保证获利不低于8%,则此商品最多打9折. 商品销售中需注意的地方: ①“进价”也叫“成本”;“售价”也叫“标价”;②获利是在 x 进价的基础上获利;打折是在售价基础上打折;③打几折就是给售价× 10 解: 设可以打x折. 那么(600×x 10 -500)÷500≥8% 解得x≥9. 故答案为: 9. ◆某商贩去菜摊买黄瓜,他上午买了30斤,价格为每斤x元;下午,他又买了20斤.价格为 x+y 每斤y元.后来他以每斤元的价格卖完后,结果发现自己赔了钱,其原因是(B) 2 x (1)某商场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元。 该商场为促销 制定了如下两种优惠方式: 第一种: 买一支毛笔附赠一本书法练习本;第二种: 按购买金额打九折付款。 八年级 (2)班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x≥10)本。 试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱? (利用一次函数与不等式(组)的知识进行解答) 解: (1)y1=25×10+(x-10)×5=5x+200;y2=(25×10+5x)×0.9=4.5x+225. (2)①y1>y2时, 即5x+200>4.5x+225, 解得: x>50; ②y1=y2时, 即5x+200=4.5x+225, 解得: x=50; ③y1<y2时, 即5x+200<4.5x+225, 解得x<50. (3)甲方案: 25×10+50×5=500元; 乙方案: (25×10+60×5)×0.9=495元;两种方案买: 25×10+50×5×0.9=475元, (2)甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品,为了吸引顾客,各自推出不同的优惠 方案: 在甲超市累计购买商品超出300元之后,超出部分按原价8折优惠;在乙超市累计购买商品超出200元之后,超出部分按原价8.5折优惠.设顾客预计累计购物x元 (x>300). (1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用; (2)顾客到哪家超市购物更优惠? 说明你的理由. 解: (1)设应付金额为y则 在甲超市购物所付的费用是: y=300+0.8(x-300)=0.8x+60在甲超市购物所付的费用是: y=200+0.85(x-200)=0.85x+30 (2)①当0.8x+60>0.85x+30时, 解得x<600,而x>300 ∴300<x<600 即顾客购物超过300元且不满600元时,到乙超市更优惠; ②当0.8x+60=0.85x+30时,解得x=600 ∴当顾客购物600元时,到两家超市所付费用相同; ③当0.8x+60<0.85x+30时,解得x>600 ∴当顾客购物超过600元时,到甲超市更优惠; (3)去年6月份广州市某果农收获荔枝30吨,香蕉13吨,现计划租用甲、乙两种货车共10 辆将这批水果全部运往深圳,已知甲货车可装荔枝4吨和香蕉1吨。 乙种货车可装荔枝、香蕉 各2吨: ①该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案? 请你帮助设计出来; ②若甲种货车每辆要付出运输费2000元。 乙种货车每辆要付出运输费1300元,则该果农应选择哪种方案使运费最少? 最少是多少? 解: (1)设安排甲种货车x辆,则安排乙种货车10-x辆,由题意得 解得5≤x≤7 ∵x是整数 ∴x取5、6、7 因此,安排甲、乙两种货车有三种方案: 方案1: 甲种货车5辆,乙种货车5辆; 方案2: 甲种货车6辆,乙种货车4辆; 方案3: 甲种货车7辆,乙种货车3辆. (2)方案1需要运费: 2000×5+1300×5=16500(元) 方案2需要运费: 2000×6+1300×4=17200(元) 方案3需要运费: 2000×7+1300×3=17900(元) ∴该果农应选择方案1运费最少,最少运费是16500元. (4)某工厂计划为震区生产A,B两种型号的学生桌椅500套,以解决1250名学生的学习问题,一套A型桌椅(一桌两椅)需木料0.5m3,一套B型桌椅(一桌三椅)需木料0.7m3,工厂现有库存木料302m3. ①有多少种生产方案? ②现要把生产的全部桌椅运往震区,已知每套A型桌椅的生产成本为100元,运费2元;每套B型桌椅的生产成本为120元,运费4元,求总费用y(元)与生产A型桌椅x(套)之间的关系式,并确定总费用最少的方案和最少的总费用.(总费用=生产成本+运费) ③按②的方案计算,有没有剩余木料? 如果有,请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅,最多还可以为多少名学生提供桌椅;如果没有,请说明理由. 解: (1)设生产A型桌椅x套,则生产B型桌椅(500-x)套,由题意得 解得240≤x≤250 ∵x是整数, ∴有11种生产方案 (2)由题意得y=(100+2)x+(120+4)×(500-x)=-22x+62000(240≤x≤250) ∵-22<0, ∴y随x的增大而减小 ∴当x=250时,y有最小值 ∴当生产A型桌椅250套、B型桌椅250套时,总费用最少,为-22×250+62000=56500元 (3)有剩余木料, [302-(05+0.7)×250]÷0.5×2=8 或302-(05+0.7)×250=2<3 ∴有以下几种方案: ①全部做A型可做4套, ②全部做B型可做2套, ③一部分做A型一部分做B型最多3套,比较可知,应选第①中方案,故最大值应为8 ∴最多还可以为8名学生提供桌椅. (5)本学期我校开展了课外兴趣小组活动,有很多同学参加了书法兴趣小组。 小刚代表兴趣小组的同学去文具店购买毛笔。 一个批发兼零售的文具店规定: 凡一次购买毛笔100枝 以上(包括100枝),可以按批发价付款;购买100枝以下(不包括100枝)只能按零售价付款。 小刚来到该店购买毛笔,如果给兴趣小组的同学每人购买一枝,那么只能按零售价付款,需270元;如果多购买10枝,那么可以按批发价付款,同样需270元。 ①请问参加书法兴趣小组的同学人数在什么范围内? (3分) ②若按批发价购买10枝与按零售价购买9枝的款相同,那么参加书法兴趣小组的同学有多少人? 解: ①设有x人则由题意可得: ∴90≤x<100且x为整数 ②设批发价为m元,零售价为n元则得到10m=9n还有条件得 ∴xm=(x+10)n ∴x x+10 =n=9 m10 解得x=90 (6)若干名学
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