第十章 图与网络分析要点.docx
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第十章图与网络分析要点
第十章图与网络分析
精典习题
10.1证明如下序列不可能是某个简单图的次的序列:
(1)7,6,5,4,3,2
(2)6,6,5,4,3,2,1
(3)6,5,5,4,3,2,1
10.2已知9个人
中,
和两个人握过手,
各和四个人握过手,
各和五个人握过手,
各和六个人握过手,证明这九个人中一定可以找出三个人互相握过手。
10.3有八种化学药品A、B、C、D、P、R、S、T要放进储藏室保管。
出于安全原因,下列各组药品不能储存在同一室内:
A-R、A-C、A-T、R-P、P-S、S-T、T-B、T-D、B-D、D-C、R-S、R-B、P-D、S-C、S-D问储存这八种药品至少需要多少间储藏室。
10.4已知有十六个城市及他们之间的道路联系(见图10-1)。
某旅行者从城市A出发,沿途依次经过J、N、H、K、G、B、M、I、E、P、F、C、L、D、O、C、G、N、H、K、O、D、L、P、E、I、F、B、J、A,最后到达城市M。
由于疏忽,该旅行者忘了在图上标明各城市的位置,请应用图的基本概念及理论,在图10—1中标明各城市A~P的位置。
10.5十名研究生参加六门课程的考试。
由于选修的课程不同,考试门数也不一样。
表10—1给出了每个研究生应参加考试的课程(打Δ号的)。
规定考试应在三天内结束,每天上下午各安排一门。
研究生们提出希望每人每天最多考一门,又课程A必须安排在每一天上午考,课程F安排在最后一门,课程B只能安排在中午考,试列出一张满足各方面要求的考试日程表。
表10-1
考试课程
研究生
A
B
C
D
E
F
1
Δ
Δ
Δ
2
Δ
Δ
3
Δ
Δ
4
Δ
Δ
Δ
5
Δ
Δ
Δ
6
Δ
Δ
7
Δ
Δ
Δ
8
Δ
Δ
9
Δ
Δ
Δ
10
Δ
Δ
Δ
10.6用破圈法和避圈法找出图10-2的一个支撑树。
10.7用破圈法和避圈法求图10—3中各图的最小树。
10.8已知世界6大城市:
(Pe)、(N)、(Pa)、(L)、(T)、(M)。
试在由表10—1所示交通网络的数据中确定最小树。
表10-2
城市
Pe
T
Pa
M
N
L
Pe
×
13
51
77
68
50
T
13
×
60
70
67
59
Pa
51
60
×
57
36
2
M
77
70
57
×
20
55
N
68
67
36
20
×
34
L
50
59
2
55
34
×
10.9有九个城市
其公路网如图10—4所示。
弧旁数字是该段公路的长度,有一批货物从
运到
,问走那条路最短?
10.10用标号法求图10—5中V1到各点的最短路。
10.11用Dijksrea方法求图10—6中V1到各点的最短距离。
10.12求图10-7中从V1到各点的最短路。
10.13在图10—8中
(1)用Dijkstra方法求从V1到各点的最短路;
(2)指出对V1来说那些顶点是不可到达的。
10.14已知八口海上油井,相互间距离如表10-2所示。
已知1号井离海岸最近,位5浬。
问从海岸经1号井铺设油管将各油井连接起来,应如何铺设使输油管线长度为最短(为便于计算和检修,油管只准在各井位处分叉)。
表10-2各油井间距离单位:
km
从到
2
3
4
5
6
7
8
1
1.3
2.1
0.9
0.7
1.8
2.0
1.5
2
0.9
1.8
1.2
2.6
2.9
1.1
3
2.6
1.7
2.5
1.9
1.0
4
0.7
1.6
1.5
0.9
5
0.9
1.1
0.8
6
0.6
1.0
7
0.5
10.15设某公司在六个城市c1,…,c6有分公司,从ci到cj的直达航线票价记在下面矩阵的(i,j)位置上(∞表明无直达航线,需经其他城市中转)。
请帮助该公司设计一张任意两城市的票价最便宜的路线表。
10.16在如图10-9所示的网格中,每弧旁的数字是(cij,fij)。
(1)确定所有的数集;
(2)求最小截集的容量;
(3)证明指出的流是最大流。
10.17求如图10-10所示的网络的最大流(每弧旁的数字是(cij,fij)。
10.18用Ford-Fulkerson的标号算法求图10-11中所示各容量网络中从Vs到Vt的最大流,并标出个网络的最小割集。
图中各弧旁数字为容量
,括弧中为流量
。
10.19某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人。
有5人应聘。
已知乙懂俄文,甲、乙、丙、丁懂英文,甲、丙、丁懂日文,乙、戊懂德文,戊懂法文。
问最多有几人能得到招聘,有分别被聘任从事那一文种的翻译。
10.20求图10-12中从s→t的最小费用最大流,各弧旁数字为(
,
)。
10.21图10-13中,A、B为出发点,分别有50和40单位物资往外发运,D、E为收点,分别需要物资30和60单位,C为中转点,各弧旁数字为(
,
)。
求满足上述收发量要求最小费用流。
10.22设G=(V,E)是一个简单图,令δ(G)=
(称δ(G)为G的最小次)。
证明:
(1)若δ(G)
2,则G必有图;
(2)若δ(G)
2,则G必有包含至少δ(G)+1条边的图。
10.23设G是一个连通图,不含奇点。
证明:
G中不含割边。
10.24给一个联通赋权图G,类似于求G的最小支撑树的Kruskal方法,给出一个求G的最大支撑树的方法。
10.25下述论断正确与否:
可行流f的流量为零,即v(f)=0,当且仅当f是零流。
习题答案及详解
10.1证明
(1)由图的性质定理知,任一个图中,奇点的个数为偶数。
7,6,5,4,3,2中存在3个奇数,所以不可能是某个图的次的序列,更不是某个简单图的次的序列。
【或者】假设7,6,5,4,3,2为某个简单图的次的序列,则图中有6个点,作为简单图点的最大次数为n-1,即最大次数为5,显然与存在点的次数为7矛盾。
所以,7,6,5,4,3,2又是简单图的次的序列。
(2)由定理知,任一个图G=(V,E)中,所有点的次数之和是边数的两倍,即图中点次的和为偶数。
序列6,6,5,4,3,2,1的和为27,所以它不可能是一个图的次的序列,更不可能是某个简单图的次的序列。
【或者】假设6,6,5,4,3,2,1为某个简单图的次的序列,则图中存在7个点,不妨设为
,
,
,
,
,
,
,其中
,
次为6,表明
,
与除自身外的剩余6个点均相连。
即
,
,
,
,
的次不少于2,与
的次为1矛盾。
所以,6,6,5,4,3,2,1不是某个简单图的次的序列。
(3)假设6,5,4,3,2,1为某个简单图的次的序列,则图中存在7个点,不妨设为
,
,
,
,
,
,
,,因为
=6,
=1,所以
与其他6个点相连,而
仅与
相连,又因为
,则
,
与除
和自身之外的所有点相连,则
必须与
,
相连,所以
与
,
,
相连,与
矛盾,所以6,6,5,4,3,2,1不是某个简单图的次的序列。
10.2解:
设9个人
,
,…
为9个点,两人握手设为两点之间存在相连边,握手问题转化为一个简单图,其中,
,
,…
次的序列为2,4,4,5,5,5,5,6,6。
这9个人中一定可以找到3个互相握过手,转化为在图中一定存在3个点彼此相连。
因为,
,
,
,
,
之间一定存在两点相连。
假如,
,
,
,
互相均不相连,因为次均为5,所以
,
,
,
均与剩余的4个点
,
,
,
,
相连,这与
=2矛盾。
不妨设
,
,
,
,中存在
,
之间相连。
必可以找到第三点均与
,
相连。
假设不存在第3点均与
,
相连,
,
分别与定义不同的4个点相连,即存在8个不同的点分别与
或
相连,加上
,
共计10个点,这与图中9个点矛盾。
所以在图中,必存在3个点彼此相连。
10.3解:
将8种化学药品A,B,C,D,P,R,S,T设定为8个点,两种药品不能贮存同一室内状态,设定为两点之间存在一边相连,画出药品关系图如下:
(图10-3(a))
在图(a)中,两点之间相连的药品均不能存贮在一起。
对于由点A,B,C,D,P,R,S,T的完全图,求图(a)的补图,得图(b),在(b)图中,彼此相连的药品均可以为存贮庄点,因为
,从S,D开始搜索,(S,A,B)彼此相连,(D,R)相连,(T,C,P)彼此相连。
所以至少需要3间贮存室,存效组合为(S,A,B),(T,C,P),(D,R)。
10.4解:
依据旅行者的路线统计城市间的相互关系。
点(城市)
相邻城市(相邻点)
次
点
相邻点
次
A
J,M
2
I
M,E,F
3
B
G,M,F,J
4
J
A,N,B
3
C
F,I,O,G
4
K
H,G,O
3
D
L,O
2
L
C,D,P
3
E
L,P
2
M
B,I,A
3
F
P,C,I,B
4
N
J,H,G
3
G
K,M,C,N
4
O
D,C,K
3
H
M,K
2
P
E,F,L
3
由点的次可知,A,D,E,H为2,则为4个顶点;B,C,F,G的次为4,则为4个顶点;某系为边点,城市布局图为图10-4。
10.5解:
将课程A,B,C,D,E,F设定为6个点,同时学生选某课程认为存在相邻边。
依据学生1-10的选课划分课程关系图10-5(a),要求学生一天最多考1门,即图(a)中相连的课程不能排在同一天。
对于点ABCDEF的关系图,求图(a)的补图(b)。
那么,图(b)中相邻的课程可以安排在同一天,可保证学生一天最多考一门,所以(A,E),(F,D),(C,B)分别各为一天,安排如下:
天
上午
下午
1
2
3
A
C
D
E
B
F
10.6解:
(破圈法)
寻找图中的圈,去掉圈中的一边。
(1)圈(
)去掉
;圈(
)去掉
;圈(
)去掉
。
(2)圈(
)去掉
;圈(
)去掉
,
得到支撑树(c)。
(避圈法)
(1)从
点出发,边相邻边增加边和点,保证不构成回路。
出发,增加
。
(2)
相邻边
,增加
,
相邻边
,
,增加点
,
。
(3)
相邻边
,增加
,
相邻边
,
,增加点
,
。
将
点均包含在图中,且不存在回路,构成一个支撑树(f)。
10.7解:
a)(破圈法)
在图中寻找圈,去除圈中权值最大的边
(V1,V2,V3)去除(V1,V3)边;(V1,V4,V7)去除(V4,V7)边;(V2,V5,V8)去除(V2,V8)边;(V6,V8,V9)去除(V7,V8)边,得到图(a2)
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