六年级下册数学讲义小学奥数精讲精练 第四讲 趣味算式二.docx
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六年级下册数学讲义小学奥数精讲精练第四讲趣味算式二
第四讲趣味算式
(二)
这一讲介绍如何解“填数字”问题。
这类问题和添运算符号不同,它已经给出运算关系,而要求填写出数字。
解决填数字问题,也没有一定法则,掌握这类问题的解法,首先要熟悉第三讲提到的整数运算的有关基本知识,还要掌握一些解题技巧,例如要用到列举法、筛选法、反证法等。
解这类问题的关键,是找到解题的突破口。
例1把1-9这九个数字,分别填入下面算式的□内,使每个等式都成立。
□+□=□①
□-□=□②
□×□=□③
分析与解:
因为1-9这九个数,每取三个数字试乘的情况,要比试加、试减的情况简单,所以应从③式入手试填,试填发现有两种情况:
2×3=6与2×4=8符合题目要求。
因为1-9九个数中,有四个偶数和五个奇数,而两个奇数或两个偶数的和与差都是偶数,一奇一偶的积、差又都是奇数,这就决定了①、②两式中,只能含有偶数个奇数,而③式中又不可能含3个奇数,所以③式只能是2×3=6。
第二步,由剩余的六个数字组成①式,它们的可能情况是,1+4=5,1+8
=9,1+7=8,4+5=9,经试填发现,在1+4=5和1+8=9的条件下,无法组成②式,所以应舍去。
当1+7=8时,②式的组成是9-5=4或9-4=5,当4+5=9时,②式的组成是8-1=7或8-7=1,所以满足题目要求的解有
本题的分析、解题过程说明,以③式入手就是找到了突破口,然后列举可能出现的情况,运用和整数运算有关的知识,将不符合条件要求的情况筛选掉,可以得到题目的解答。
例2有一个算式,式中画的“×”表示缺掉的数字,求除数的所有不同的质因数的和。
(本题是北京市第一届小学迎春杯数学竞赛试题)
分析与解法1:
为了便于分析,将算式中的部分待定数字用字母代替。
所以商数为989。
第一个数字只能是9,④式的第一个数字只能是8,所以b=1,C=2;
分析与解法2:
本题也可以直接求得除数。
位数字为8。
因为③式的三位数减去④式的三位数得三位数,可以判定8与除数的十位数字相乘没有进位,所以b=1,或b=0,又因为很容易判定d=9,所以b=0是不可能的。
通过试乘,除数取113时,则113×8=904,积的首位数字大于8,不符合要求,而除数取111时,则111×9=999,不是四位数,也不符合要求,所以除数只能是112。
如果本题要求把所有缺掉的数字都补上,那也不难,因为求得除数和商数后,除法竖式就成为已知。
例3下列乘法竖式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同的数字,请你用合适的数字代替汉字,使乘法竖式成立。
分析与解:
显然,本题应从先确定“大”与“山”所表示的数字入手。
因为被乘数的最高位数字“大”与乘数“山”的积仍然是“山”,所以“大”表示1。
因为被乘数的个位数字“山”与乘数“山”的积的个位数字为1,所以只能是“山”表示9。
因为被乘数的百位数字“好”,与乘数9相乘时没有进位,“好”又不能再表示1,所以“好”表示0。
因为被乘数的十位数字“河”与乘数9相乘,积的个位数字是0,而被乘数的个位数字9与乘数9相乘时,向十位进8,所以“河”表示8。
所以本题的解是
例4下列加法竖式中,不同的字母代表不同的数字,相同的字母代表相同的数字,请你用合适的数字代替字母,使加法竖式成立。
分析与解:
从加数与和的个位数字入手。
因为Y+N+N=Y,所以N=5或N=0,但N=5时,加数的十位数字T+E+E的和就不可能得T,所以只能是N=0,同时判定E=5。
因为加数的百位数字相加,必须向千位进1或2,且千位还必须向万位进1,所以表示0=9,同时判定I=1。
因为加数百位数字的和要向千位进2,所以它在22至28之间,可判定T=7或T=8。
若T=7,则R=8,X=3,这时,只剩数字2、4、6还没有取用,它们要代替S、F、Y,但是S只能比F大1,所以出现矛盾,即T不能是7。
当T=8时,则R=6或R=7,而R=6时,X=3,乃出现矛盾,所以只能取R
=7,这时,X=4,所剩数字为2、3、6,取S=3,F=2,Y=6,就全部完成数字代替字母的解题过程,题目给出的加法竖式是
(本题是美国数学月刊上的一个数字趣题。
其中三个加数与和,正好是英文的四个数词40、10、10、60)
下列加法竖式,是一个和例4类似的数字趣题,其中三个加数与和,也正好是英文的四个数词,它们是5、2、1、8,请同学们自己动手解这道题。
例5下列算式中的O代表奇数,X代表偶数。
请你用适当的数字代替O和X,使算式成立。
分析与解:
从被乘数、乘数和部分积入手,因为被乘数OXX与乘数个位数字X相乘,部分积是一个四位数,并且它的个位数字是偶数。
因为188×8=1504,其
千位数字是1;所以被乘数O××中的百位数字O要大于1;因为用O乘以乘数×
×的十位数字X得数不大于8,所以被乘数O××中的O只能是3,而乘数××中的十位数字×只能是2。
在此条件下可以进行试乘,按要求被乘数3××乘以乘数的十位数字2,应该得×O×。
从试乘中得知,被乘数3××只能取306,308,326,
346,348,而这些数再乘以偶数4或6,都不能得到×O××,而乘以8时,只有其中的346、348可以得到×O××,但是由于346×28=9688,不符合最后得积
OO××的要求,所以本题只有唯一解
例6下列的算式中,相同的汉字代表同一个数字,不同的汉字代表不同的数字,如果它们都成立。
迎迎×春春=杯迎迎杯①数数×学学=数赛赛数②春春×春春=迎迎赛赛③
那么,迎+春+杯+数+学+赛=?
(1988年北京市迎春杯数学竞赛试题)
分析与解:
因为③中的乘数相同,所以试乘过程中的情况最少,经试乘得88×88
=7744,所以,春=8,迎=7,赛=4,再代入①得77×88=6776,所以,杯=6。
再分析②,被乘数是“数数”,而乘积的个位数字也是“数”,这就是说,除去8、7、4三个数,剩余的1、2、3、5、9中,只有5能满足这个要求,所以,数=5;而且“学”必须是奇数,从1、3、9三个奇数中试乘结果知,学=9,即;
55×99=5445。
所以
迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39
例7有人把中国古代趣词中的名言佳句与“虫食算”结合起来,制作了一些风格优异的小品,下面就是其中的一例。
年年×岁岁=花相似①岁岁÷年年=人÷不同②
上面的两个算式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字,试解出这两道算式。
分析与解:
由②得
“岁岁”<“年年”;而由两个相同数字组成的两位数是11,22,33,…,
99,显然“岁岁”不能是11,因为如果是11,乘积的个位数应该是“年”,这不符合题目要求。
如果“岁岁”是33,因为“岁岁”<“年年”,“年年”最小也
应该是44,但是44×33=1452,与①中积是三位数矛盾,而55×22=1210,也与①中积是三位数矛盾,所以“年年”只能是33或44。
取“年年”为33,则33
×22=726,仍不符合题目要求(想想为什么?
),所以“年年”只能是44,故所求的两道算式是:
44×22=968
22÷44=5÷10
习题四
1.将1-9这九个数字,填入下列各题的□内,使等式成立。
(3)□□×□=□□□=□×□□
2.补全下列各残缺的算式:
3.下式中的A,应代表什么数字?
4.下面算式中的a、b、c,应代表什么数字?
5.把下面式子里的“奇”和“偶”,分别换成奇数和偶数,使等式成立。
6.把下面式子里的“质”换成质数,使等式成立。
7.下面两个算式中的不同汉字代表不同的数字,请你将它们改成数字的算式。
8.下面题中的a、b、c、d表示互不相同的数字。
试求出使两个算式都成立的a、b、c、d所表示的数字。
9.下面乘式中的“趣味数字”四个字代表四个互不相同的数字,每个“□”中可以填0-9中的任何一个数字,但最高位不能填0,试确定算式中的每个数字。
10.题中三个英语单词CROSS、ROADS、DANGER的词意是“通过”、“十字路口”、“危险”,用这三个单词正好能写成下面的加法算式。
已知O代表数字2,
S代表数字3,并且要求不同字母代表不同数字,问O、S之外的字母代表什么数字时算式成立?
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