高中数学选修11圆锥曲线.docx

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高中数学选修11圆锥曲线

2019-2020年高中数学选修1-1圆锥曲线

一、考纲要求

1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线.

2.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质，并根据并给的条件画圆锥曲线，了解圆锥曲线的一些实际应用.

3.理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法.

4.了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法.

二、知识结构

1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x,y）=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

点与曲线的关系若曲线C的方程是f（x,y）=0，则点P0（x0,y0）在曲线C上f（x0,y0）=0；

点P0（x0,y0）不在曲线C上f（x0,y0）≠0

两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1（x,y）=0,f2（x,y）=0,则

点P0（x0,y0）是C1，C2的交点

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

2.圆

圆的定义

点集：

｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

圆的方程

（1）标准方程

圆心在c（a,b），半径为r的圆方程是

（x-a）2+（y-b）2=r2

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是

x2+y2=r2

（2）一般方程

当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0

叫做圆的一般方程，圆心为（-,-，半径是.配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为

（x+）2+（y+）2=

当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点

（-,-）;

当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系已知圆心C（a,b）,半径为r,点M的坐标为（x0,y0），则

｜MC｜＜r点M在圆C内，

｜MC｜=r点M在圆C上，

｜MC｜＞r点M在圆C内，

其中｜MC｜=.

（3）直线和圆的位置关系

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系

直线与圆相交有两个公共点

直线与圆相切有一个公共点

直线与圆相离没有公共点

②直线和圆的位置关系的判定

（i）判别式法

（ii）利用圆心C（a,b）到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r的大小关系来判定.

3.椭圆、双曲线和抛物线

椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.

曲线

性质

椭圆

双曲线

抛物线

轨迹条件

点集：

（{M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a＝

点集：

{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.

点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.

圆形

标准方程

=1（a＞b＞0）

=1（a＞0,b＞0）

y2=2px（p＞0）

顶点

A1（-a,0）,A2（a,0）;

B1（0,-b）,B2（0,b）

A1（0,-a）,A2（0,a）

O（0,0）

轴

对称轴x=0,y=0

长轴长：

2a

短轴长：

2b

对称轴x=0,y=0

实轴长：

2a

虚轴长：

2b

对称轴y=

焦点

F1（-c,0）,F2（c,0）

焦点在长轴上

F1（-c,0）,F2（c,0）

焦点在实轴上

F（，0）焦点对称轴上

焦距

｜F1F2｜=2c，c=

｜F1F2｜=2c,c=

准线

x=±准线垂直于长轴，且在椭圆外.

x=±准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.

x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

离心率

e=,0＜e＜1

e=,e＞1

e=1

4.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e（e＞0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F（c,0）称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆

当e=1时，轨迹为抛物线

当e＞1时，轨迹为双曲线

5.坐标变换

坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.

坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y），在新坐标系x′O′y′中的坐标是（x′,y′）.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是（h,k），则

（1）或

（2）

公式

（1）或

（2）叫做平移（或移轴）公式.

中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程

中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程见下表.

方程

焦点

焦线

对称轴

椭

圆

（±c+h,k）

x=±+h

x=h

y=k

（h,±c+k）

y=±+k

x=h

y=k

双曲线

（±c+h,k）

y=±+k

x=h

y=k

（h,±c+k）

y=±+k

x=h

y=k

抛物线

（y-k）2=2p（x-h）

（+h,k）

x=-+h

y=k

（y-k）2=-2p（x-h）

（-+h,k）

x=+h

y=k

（x-h）2=2p（y-k）

（h,+k）

y=-+k

x=h

（x-h）2=-2p（y-k）

（h,-+k）

y=+k

x=h

三、知识点、能力点提示

（一）曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点

说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简.特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.

例1如果实数x、y满足等式（x-2）2+y2＝３，求y/x的最大值.

解：

此题有多种解法，但用待定参数，转化为求曲线的交点问题可使解题过程更为简捷.

设＝k，则y=kx.要使k的值最大，只须直线y＝kx在第一象限与圆相切，而圆心（2，0）到直线y=kx的距离为.

，解得k＝（-舍去）.

（二）充要条件

说明充分条件、必要条件、充要条件是高考考查的重要内容.要掌握好这几种条件，关键在于要对命题之间的关系很清楚.

例2直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）

A.一条直线不相交B.两条直线不相交

C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交

解：

把“直线与平面平行”作为甲命题，在四个选项中选出一个是甲命题的充要条件的命题。

因为直线与平面平行的定义是直线与平面无交点，而A、B、D三个选项都不能保证此条件，只有C能保证，故选C

（三）圆的标准方程和一般方程

说明求圆的方程主要是求出其圆心与半径.还要掌握一般方程与标准方程的互化，以及圆与其他曲线之间的关系，特别是圆与直线之间的关系.

例3圆A：

（x+1）2+（y+1）2=1，

圆B：

（x-1）2+（y-1）2=4，则有两圆的公切线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

解：

要判断两圆公切线的条数，只需要判断出此两圆的位置关系，而不必求出其切线方程.∵A圆圆心是C1（-1,-1），B圆圆心是C2（1，1），∴｜C1C2｜＝2，r1＝1，r2＝2.

r1+r2＞｜C1C2｜即圆A与圆B相离，则此两圆有4条公切线.故选D.

（四）椭圆及其标准方程，焦点、焦距，椭圆的几何性质：

范围、对称性、顶点、长袖、短轴、离心率、准线，椭圆的画法

说明天体的运行轨道基本都是椭圆，所以掌握椭圆的基本概念是很有必要的.考试说明中明确要求，要会求椭圆的标准方程和椭圆的有关元素.

例4椭圆的中点在原点，焦点在x轴上，椭圆的离心率e=,椭圆各点到直线x-y++=0的最短距离为1，求此椭圆的方程。

解因为e==，所以a=-2b.

设M（2bcosθ，bsinθ）为椭圆上任一点，则M到直线x-y++＝0的距离为

d=.

而d的最小值为1。

＝１，则b＝1，故所求椭圆方程为+y2＝1.

（五）双曲线及其标准方程，焦点、焦距，双曲线的几何性质：

范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线，双曲线的画法，等边双曲线

说明根据已知条件会求双曲线的标准方程，以及双曲线的有关元素.这里与椭圆不同的是实轴、虚轴和渐近线.

例5已知双曲线＝1（＜θ＜π）过点

A（4，4）.

（1）求实轴、虚轴的长；

（2）求离心率；

（3）求顶点坐标；

（4）求点A的焦半径.

解：

因为双曲线过点A（4，4），所以

＝1，tg2+tgθ-２＝0，tgθ＝-2，（tgθ=1舍去，因为＜θ＜π）

∴双曲线方程为-＝1.

从而a=2,b=4,c=2.

（1）实轴长2a=4，虚轴长2b＝8.

（2）离心率e＝＝.

（3）顶点为（0，2），（0，-2）.

（4）焦点F1（0，-2），F2（0，2）.

｜AF1｜＝

＝2（+1），

｜AF2｜＝

＝2（-1）.

（六）抛物线及其标准方程，焦点、准线、抛物线的几何性质：

范围、对称性、顶点、离心率，抛物线的画法

说明这部分内容要注意与初中讲的抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）的关系，以及抛物线与双曲线一支的区别，y=ax2+bx+c的对称轴平行于y轴（或就是y轴），双曲线有渐近线，抛物线无渐近线.

例6如图，过抛物线y2=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求

（1）MN与x轴交点的坐标；

（2）求MN中点的轨迹方程。

解

（1）设点M的坐标为（m,2）,点N的坐标为（n,-2），

由已知，OM2+ON2＝MN2，

则m2+4m+n2+4n=（m-n）2+（2+2）2，mn＝16。

直线MN:

当y=0时，x=＝4

所以MN与x轴交点的坐标为（4，0）。

（2）又因设弦MN的中点为P（x,y）,MJ

y2＝m+n-2=2x-8

故弦MN的中点轨迹为y2=2x-8

（七）坐标轴的平移，利用坐标的平移化简圆锥曲线方程

说明坐标轴的平移变换是化简曲线方程的一种重要方法.掌握平移坐标轴的关键在于正确理解新旧坐标系之间的关系.同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标，同一条曲线在不同的坐标中有不同的方程.

例7方程x2+4y2+6x-8y+1=0的对称中心是（）

A.（-3，-1）B.（-3，1）

C.（3，-1）D.（3，1）

解：

将原方程配方后化为=1，∴对称中心是（-3，1）.故选B.

例8求椭圆9x2+4y2-36x+8y+4=0的焦点坐标、长轴与短轴的长、离心率及准线方程.

解：

将原方程配方后化成

=1.

令.得到新方程为＝1.

∴a=3,b=2,c==.

即长轴长2a=6，短轴长2b=4，离心率e＝＝.在新坐标系中，焦点为（0，），（0，-），

准线为y′＝±＝±

由平移公式，得在原坐标系中

焦点为：

（2，-3）、（2，--3），

准线为：

y=±-3.

（八）综合例题赏析

例9设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（）

A.丙是甲的充分条件，但不是必要条件

B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C.丙是甲的充要条件

D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

解“甲是乙的必要条件”，即“甲乙”，“丙是乙的充分不必要条件”，即“丙乙，且丙乙”。

因丙乙甲

即丙是甲的充分不必要条件

故应选A.

例10已知直线x=a（a＞0）和圆（x-1）2+y2=4相切，那么a的值是（）

A.5B.4C.3D.2

解：

r=2，圆心（1，0），a＞0，∴a＝３

应选C.

例11设圆满足：

①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成的两段弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l∶x-2y=0的距离最小的圆的方程

解：

设所求圆的圆心P（a,b）半径r

由题设知，P到x,y轴的距离分别为｜b｜,｜a｜,且圆P截x轴的弦所对圆心角为90°，故其弦长为r,有r2=2b2

由“圆P截y轴所得弦长为2”有r2=a2+1

∴2b2-a2=1

P（a,b）到直线x-2y=0的距离为

d=,得

5d2=｜a-2b｜2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2（a2+b2）

2b2-a2=1

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1从而d取得最小值

由此有解得或

又由r2=2b2,得r2=2.

∴所求圆方程是（x-1）2+（y-1）2=2,或（x+1）2+（y+1）2=2

例12已知圆满足：

①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l∶x-2y=0的距离为，求该圆的方程

解设已知圆的圆心P（a,b），半径为r，由题设已知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角是90°，从而圆P截x轴所得弦长为r，又点P到x,y轴的距离分别为｜b｜,｜a｜圆P截y轴所得弦长为2。

r2=a2+1

（1）

由已知有，点P到直线x-2y=0的距离为，即

d=

（2）

由圆P截y轴的弦长为2，易知｜b｜=1（3）

（2）、（3）联立，可得或代入

（1）又得r=2

于是所求圆的方程为（x+1）2+（y+1）2或（x-1）2+（y-1）2＝2

例13设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1.若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是.

解：

例14设直线2x-y-=0与y轴的交点为P，点P把圆（x+1）2+y2＝25的直径分为两段，则其长度之比是（）

A.或B.或C.或D.或

解：

如右图

圆（x+1）2+y2＝25的圆心坐标是（-1,0），半径r=5。

直线l：

2x-3-＝0与y轴的交点P的坐标是（0，-）。

设点P在直径AB上，所求即

｜PA｜∶｜PB｜。

由于｜O′P｜＝｜＝2

则｜PA｜∶｜PB｜＝（r+2）∶（r-2）＝7∶3或

｜PA｜∶｜PB｜＝（r-2）∶（r+2）＝3∶7或

故应选A。

例15设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为C，直线1过（a,0）,（0,b）两点，已知原点到直线1的距离为c，则双曲线的离心率为（）

A.2.B.C.D.

解：

∵直线1过（a,0），（0,b）,

∴1的方程为=1,

即bx+ay-ab=0

∵原点（0，0）到1的距离为c，由点到直线的距离公式，得c=又0＜a＜b,双曲线中c2=a2+b2,

∴

整理得a2-4ab+b2=0,b=a.

∴c2=a2+b2=4a2,c=2a,e==2.

应选A.

例16设F1和F2为双曲线-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°.则△F1PF2的面积是（）

A.1B.C.2D.

解：

由已知可得，F1（-，0），F2（，0）

∴｜F1F2｜=2,｜F1F2｜2=20

由∠F1PF2=90°,

得20=｜F１F２｜２＝｜PF1｜２+｜PF２｜２①

由双曲线定义得︳PF1︳-︳PF２︳=2a=4，平方得

｜PF1｜2+｜PF2｜2-2｜PF1｜·︳PF1｜=16②

①-②得2｜PF1｜·｜PF2｜=4

∴S△F1PF2=｜PF1｜·｜PF2｜

应选A.

例17双曲线-x2=1的两个焦点坐标是.

解：

（0，），（0，-）

例18如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是（）

A.B.C.D.2

解：

由题设知a=2,c=3.

∴e.

应选C.

例19已知点（-2，3）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离是5，则p=.

解：

y2=2px的焦点坐标是（，0），

∴5=

解出p=4.

例20直线l过抛物线y2=a（x+1）（a＞0）的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=.

解：

设抛物线焦参数为p，则a=2p（p＞0）.

l是过焦点的直线且垂直于x轴即垂直于抛物线y2=a（x+1）的对称轴.

∴l被抛物线截得的线段即正焦弦长.

∴4=2p=a，即a=4.

例21如果三角形的顶点分别是O（0，0），A（0，15），B（-8，0），那么它的内切圆方程是。

解：

设内切圆心为O′，则O′到x、y轴等距，其距离即内切圆半径r，又O′在第四象限木，所以O′（r,-r）。

直线AB的方程是＝18x-15y-120＝0

即±17r＝23r-120，解得r＝3（已舍负值）。

例22焦点在（-1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（）

A.y2=8（x+1）B.y2=-8（x+1）

C.y2=8（x-1）D.y2=-8（x-1）

解：

设抛物线焦参数为p，则焦点和顶点的距离是，即==2，得p=4.

又抛物线顶点坐标为（1，0），焦点是（-1，0），

∴y2=-8（x-1）为所求.

应选D.

例23圆x2+y2-2x＝0和圆x2+y2-4x＝0的位置关系是（）

A.相离B.外切C.相交D.内切

解C1∶（x-1）2+y2＝1,O1（1,0）,r1＝1

C2∶x2+（y-2）2＝4,O2（0,2）,r2＝2

因｜O1O2｜＝＜r1+r2＝3,且＞｜r1-r2｜＝1,

则两圆相交

应选C。

例24设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.

（1）写出曲线C1的方程；

（2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称；

（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明S=-t且t≠0.

解：

（1）曲线C1的方程为

y=（x-t）3-（x-t）+s

（2）在曲线C上任取点B1（x1，y1），设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有，，

∴x1=t-x2，y1=s-y2

代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：

S-y2=（t-t2）3-（t-x2），

即y2=（x2-t）2-（x2-t）+s，

可知点B（x2-y2）在曲线C1上

反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上，

∴曲线C与C1关于点A对称.

（3）∵曲线C与C1有且仅有一个公共点，

∴方程组，有且仅有一组解.

消去y，整理得

3tx2-3t2x+（t3-t-S）=0，

这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根

∴t≠0，并且其根的判别式

Δ=9t4-12t（t3-t-S）=0.

即

∴S=-t且t≠0

例25设圆满足：

①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成的两段弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l∶x-2y＝0的距离最小的圆的方程。

解设所求圆的圆心为P（a,b）半径为r

由题设知，P到x,y轴的距离分别为｜b｜,｜a｜，且圆P截x轴的弦所对圆心角为90°，故其弦长为r，有r2＝2b2

由“圆P截y轴所得弦长为2”有r2＝a2+1

则2b2-a2＝1

P（a,b）到直线x-2y＝0的距离为

d＝,得

5d2＝｜a-2b｜2＝a2+4b2-4ab≥a2+4ab≥a2+4b2-2（a2+b2）2b2-a2＝1

当且仅当a＝b时上式等号成立，此时5d2＝1从而d取得最小值

由此有解得或

又由r2＝2b2，得r2＝2。

故所求圆方程是（x-1）2+（y-1）2＝2或（x+1）2+（y+1）2＝2

例26已知椭圆=1，直线L∶=1，P是L上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

解：

如图.

由题设知Q不在原点，设P、R、Q的坐标分别为（xP，yP）、（xR，yR）、（x，y）其中x，y不同时为零.

当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组；

解得

由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组：

③，解得④

当点P在y轴上时，经检验①—④也成立.

∵│OQ│·│OP│=│OR│2

∴·，

将

（1）—（4）代入上式，化简整理得

.

因x与xP同号或y与yP同号，以及③、④知2x+3y＞0，

∴点Q的轨迹方程为=1.其中（x，y不同时为零）

点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆.

解法二：

由题设知点Q不在原点.

设P、R、Q的坐标分别为（xP，yP），（xR，yR），（x,y）其中x，y不同时为零.

设OP写x轴正方向的夹角为α，则有

xP=│OP│cosα，yP=│OP│sinα；

xR=│OR│cosα，yR=│OP│sinα；

x=│OQ│cosα，y=│OQ│sinα；

又│OP│·│OQ│=│OR│2，可得

①②

∵点P在直线l上，点R在椭圆上，

∴，将

（1）、

（2）代入，得

=1.（其中x，y不同时为零）.

∴Q点的轨迹是以（1，1）为中心，长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆（去掉坐标原点）.

例27已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点、焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0）和点B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线的方程.

解法一：

如图.

由题意可设抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，所以可设l的方程y=kx（k≠0）①

设A′、B′分别是A、B关于l的对称点，则有，

A′A⊥l，直线AA′的方程为

y=-（x+1）.②

由①、②联立得AA′与l的交点M的坐标为（-，-）.

由M为AA′的中点，得点A′的坐标为，

xA′=2（-）+1=，

yA′=2（）+0=-③

同理可得点B的坐标为（，）.

∵A′、B′均在抛物线y2=2px（R＞0）上，

∴（-）2=2p·，知k≠±1，p=.

同理（）2=2p·，得p=.

∴，

整理得k2-k-1=0.

解得k1=，k2=.

但当k=时，xA′=-＜0，与A′在抛物线y2=2px上矛盾，故舍去.

把k=代入p=.

∴直线方程为y=x，抛物线方程为y2=x.

解法二：

设点A、B关于直线l的对称点A′（x1，y1）、B′（x2，y2），则有

│OA′│=│OA│=1，│OB′│=│OB│=8

设x轴正向到OB′的转角为α，则有

x2=8cosα，y2=8sinα①

∵A′，B′是A，B关于直线l的对称点，

又∠BOA是直角，

∴∠B′OA′为直角，得

x1=cos（α-）=sinα，y1=sin（α-）=-cosα②

由题意知，x1＞0