初中三角函数专项练习题及答案解读.docx

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初中三角函数专项练习题及答案解读

初中三角函数专项练习题及答案

（一精心选一选

1、在直角三角形中,各边都扩大2倍,则锐角A的正弦值与余弦值都（

A、缩小2倍

B、扩大2倍

C、不变

D、不能确定

12、在Rt△ABC中,∠C=90

BC=4,sinA=54

则

AC=（

A、3

B、4

C、5

D、6

3、若∠A是锐角,且

sinA=31

则（

A、00<∠A<300

B、300<∠A<450

C、450<∠A<600

D、600<∠A<900

4、若cosA=31,则AAA

Atan2sin4tansin3+-=（

A、74

B、31

C、21

D、0

5、在△ABC中,∠A:

∠B:

∠C=1:

1:

2,则a:

b:

c=（A、1:

1:

2B、1:

1:

2C、1:

1:

3D、1:

1:

22

6、在Rt△ABC中,∠C=900,则下列式子成立的是（A、sinA=sinBB、sinA=cosBC、tanA=tanBD、cosA=tanB

7.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是（

A.sinB=23

B.cosB=23

C.tanB=2

3D.tanB=3

2

8.点（-sin60°,cos60°关于y轴对称的点的坐标是（

A.（32,12

B.（-32,12

C.（-3

2,-12D.（-12,-3

2

9.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣.•某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角为30°,•若这位同学的目高1.6米,则旗杆的高度约为（

A.6.9米

B.8.5米

C.10.3米

D.12.0米

10.王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地,再从B地向正南方向走200m到C地,此时王英同学离A地（

（A350m（B100m

（C150m（D3100m11、如图1,在高楼前D点测得楼顶的仰角为30︒,向高楼前进60米到C点,又测得仰角为

45︒,则该高楼的高度大约为（

A.82米

B.163米

C.52米

D.70米

12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距（.

图1

45︒

30︒

B

A

DC

（A30海里（B40海里（C50海里（D60海里（二细心填一填

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则sinB=_____.

2.在△ABC中,若BC=2,AB=7,AC=3,则cosA=________.

3.在△ABC中,AB=2,AC=2,∠B=30°,则∠BAC的度数是______.

4.如图,如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A'P'B,且BP=2,那么PP'的长为____________.（不取近似值.以下数据供解题使用:

sin15°=624-,cos15°=624+

5.如图,在甲、乙两地之间修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是北

偏东48°.甲、乙两地间同时开工,若干天后,公路准确接通,则乙地所修公路的走向是南偏西___________度.

6.如图,机器人从A点,沿着西南方向,行了个42单位,到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上,则原来A的坐标为___________结果保留根号.

7.求值:

sin260°+cos260°=___________.

第6题图

x

O

A

yB

北

甲

北

乙

第5题图

第4题图

8.在直角三角形ABC中,∠A=0

90,BC=13,AB=12,那么

tanB=___________.

9.根据图中所给的数据,求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m.（可用计算器求,也可用下列参考数据求:

sin43°≈0.6802,sin40°≈0.6428,cos43°≈0.7341,cos40°≈0.7660,tan43°≈0.9325,tan40°

≈

0.8391

10.如图,自动扶梯AB段的长度为20米,倾斜角A为α,高度BC为___________

米（结果用含α的三角比表示.

（1（211.如图2所示,太阳光线与地面成60°角,一棵倾斜的大树与地面成30°

角,•这时测得大树在地面上的影子约为10米,则大树的高约为________米.（•保留两个有效数字,2≈1.41,3≈1.73三、认真答一答

1,计算:

sincoscottantan3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒分析:

可利用特殊角的三角函数值代入直接计算;

α

ACB

第10题图

A

40°

52m

C

D

第9题图

B

43

2计算:

22459044211

（cossin（（︒-︒+-︒+--π

分析:

利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。

注意

分母有理化,

3如图1,在∆ABC中,AD是BC边上的高,tancosBDAC=∠。

（1求证:

AC=BD

（2若sinCBC=

=12

1312,,求AD的长。

图

1

分析:

由于AD是BC边上的高,则有RtADB∆和RtADC∆,这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。

4如图2,已知∆ABC中∠=∠CRt,ACmBAC=∠=,α,求∆ABC的面积（用α的三角函数及m表示

图2

分析:

要求∆ABC的面积,由图只需求出BC。

解应用题,要先看条件,将图形抽象出直角三角形来解.

5.甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底部的俯角为45°,试求两楼的高.

6.从A处观测铁塔顶部的仰角是30°,向前走100米到达B处,观测铁塔的顶部的仰角是45°,求铁塔高.

分析:

求CD,可解RtΔBCD或RtΔACD.

但由条件RtΔBCD和RtΔACD不可解,但AB=100

若设CD为x,我们将AC和BC都用含x的代数式表示再解方程即可.

30

45

D

C

BA

30

450

A

rEDB

C

7、如图,一铁路路基横断面为等腰梯形ABCD,斜坡BC的坡度为3:

2=ι,路基高AE为3m,底CD宽12m,求路基顶AB的宽

BA

D

C

E

8.九年级（1班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度3mCD=,标杆与旗杆的水平距离15mBD=,人的眼睛与地面的高度1.6mEF=,人与标杆CD的水平距离2mDF=,求旗杆AB的高度.

9.如图3,沿AC方向开山修路,为了加快施工速度,要在小山的另一边同时施工。

从AC上的一点B,取∠=︒=ABDBD145500,米,∠=︒D55。

要使A、C、E成一直S线,那么开挖点E离点D的距离是多少?

图3

分析:

在RtBED∆中可用三角函数求得DE长。

E

FD

C

A

H

B

10如图8-5,一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C（灯塔B距离A处较近,两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上,渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点,观测到灯塔B恰好在正北方向上,已知两个灯塔之间的距离是12海里,渔船的速度是16海里/时,又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁,问这条渔船按原来的方向继续航行,有没有触礁的危险?

分析:

本题考查解直角三角形在航海问题中的运用,解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题.

11、如图,A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处,以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF方向移动,距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。

问A城是否会受到这次台风的影响?

为什么?

若A城受到这次台风的影响,那么A城遭受这次台风影响的时间有多长?

图8-4

E

ACB

D

北

东

12.如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带,该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得,从A、D、C三点可看到塔顶端H,可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。

（1请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案。

具体要求如下:

测量数据尽可能少,在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离,用m表示;如果测D、C间距离,用n表示;如果测角,用α、β、γ表示。

（2根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示,测倾器高度忽略不计。

13.人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。

为迅速实验检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问（1需要几小时才能追上?

（点

B为追上时的位置（2确定巡逻艇的追赶方向（精确到01.（如图4

图4

参考数据:

sin..cos..sin..cos..sin..cos..sin..cos..6680919166803939674092316740384668409298684036817060943270603322︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈,,,,

分析:

（1由图可知∆ABO是直角三角形,于是由勾股定理可求。

（2利用三角函数的概念即求。

14.公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠=︒QPN30,点A处有一所中学,AP=160m,一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶,假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受噪声影响,那么,学校是否会受到噪声影响?

如果不受影响,请说明理由;如果受影响,会受影响几分钟?

N

P

AQM

.

15、如图,在某建筑物AC上,挂着“多彩云南”的宣传条幅BC,小明站在点F处,看条幅顶端B,测的仰角为︒30,再往条幅方向前行20米到达点E处,看到条幅顶端B,测的仰角为︒60,求宣传条幅BC的长,（小明的身高不计,结果精确到0.1米

16、一艘轮船自西向东航行,在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上.之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C最近?

（参考数据:

sin21.3°≈9

25,tan21.3°≈2

5,sin63.5°≈9

10,tan63.5°≈2

17、如图,一条小船从港口A出发,沿北偏东40

方向航行20海里后到达B处,然后又沿北偏西30

方向航行10海里后到达C处.问此时小船距港口A多少海里?

（结果精确到1海里

友情提示:

以下数据可以选用:

sin400.6428≈,cos400.7660

≈,

tan400.8391≈,31.732≈.

18、如图10,一枚运载火箭从地面O处发射,当火箭到达A点时,从地面C处的雷达站测得AC的距离是6km,仰角是43

.1s后,火箭到达B点,此时测得BC的距离是6.13km,仰角为45.54

解答下列问题:

AB

C

北

东

C

Q

B

A

P

北

40

30

图10

A

BO

C

（1火箭到达B点时距离发射点有多远（精确到0.01km?

（2火箭从A点到B点的平均速度是多少（精确到0.1km/s?

19、经过江汉平原的沪蓉（上海—成都高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①,一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向,测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处,测得

68=∠ACB.

（1求所测之处江的宽度（.48.268tan,37.068cos,93.068sin≈≈≈

;

（2除（1的测量方案外,请你再设计一种测量江宽的方案,并在图②

中画出图形.

答案

一、选择题

1——5、CAADB6——12、BCABDAB二、填空题

图①

图②

1,3

52,733,30°（点拨:

过点C作AB的垂线CE,构造直角三

角形,利用勾股定理CE

4.62-（点拨:

连结PP',过点B作BD⊥PP',因为∠PBP'=30°,所

以∠PBD=15°,利用sin15°=62

4-,先求出PD,乘以2即得PP'

5.48（点拨:

根据两直线平行,内错角相等判断

6.（0,

4

433+

（点拨:

过点B作BC⊥AO,利用勾股定理或三角函数可分

别求得AC与OC的长

7.1（点拨:

根据公式sin2α+cos2α=1

8.125（点拨:

先根据勾股定理求得AC=5,再根据

tanAC

BAB=

求出结果9.4.86（点拨:

利用正切函数分别求了BD,BC的长

10.20sinα（点拨:

根据sinBC

ABα=

求得sinBCAB=∙α

11.35三,解答题可求得1.-1;2.4

3.解:

（1在RtABD∆中,有tanBAD

BD

=

RtADC∆中,有cos∠=

DACAD

AC

tancosBDAC

ADBDAD

ACACBD=∠∴==,故（2由sinCADAC=

=

12

13

;可设ADxACBDx===1213,由勾股定理求得DCx=5,BCBDDCx=∴+==121812

即x=

23

∴=⨯

=AD122

3

84.解:

由tan∠=

BACBC

AC

∴=∠=∠=∴=∴=

⋅=⋅=BCACBACACmBACBCmSACBCmmmABCtantantantan,αααα∆12121

2

2

5解过D做DE⊥AB于E∵∠MAC=45°∴∠ACB=45°BC=45

在RtΔACB中,BCAB

tgACB=

（4545米=⋅=∴tgBCAB

在RtΔADE中,∠ADE=30°

DE

AE

tgADE=

315334530=⋅=⋅=∴tgDEAE（31545米-=-=∴AEABCD

30

450

A

rEDB

C

答:

甲楼高45米,乙楼高31545-米.6解:

设CD=x

在RtΔBCD中,CD

BC

ctgDBC=

∴BC=x（用x表示BC在RtΔACD中,CD

AC

ctgDAC=

xctgDACCDAC3=⋅=∴∵AC-BC=1001003=-xx10013（=-x

∴13（50+=x

答:

铁塔高13（50+米.

7、解:

过B作BF⊥CD,垂足为FBFAE=∴在等腰梯形ABCD中AD=BCDC∠=∠

3:

2=iBC

AE=3m∴DE=4.5m

AD=BC,DC∠=∠,︒=∠=∠90DEACFB∴∆BCF≅∆ADE∴CF=DE=4.5m∴EF=3m

︒=∠=∠90AEFBFE

∴BF//CD

∴四边形ABFE为平行四边形∴AB=EF=3m

8解:

CDFB⊥,ABFB⊥,CDAB∴∥

CGEAHE∴△∽△CGEGAHEH∴

=,即:

CDEFFD

AHFDBD-=

+31.62

215

AH-∴

=

+,11.9AH∴=11.91.613.5（m

ABAHHBAHEF∴=+=+=+=

9解:

A、C、E成一直线

∠=︒∠=︒∴∠=︒ABDDBED1455590,,

在RtBED∆中,coscosDDE

BD

DEBDD=

∴=⋅,BD=500米,∠=︒D55︒=∴55cos500DE米,

所以E离点D的距离是500cos55o10解:

在Rt△ABD中,7

16284

AD=⨯=（海里,∠BAD=90°-65°45′=24°15′.∵cos24°15′=

ADAB,∴28

30.71cos24150.9118

ADAB==≈'︒（海里.AC=AB+BC=30.71+12=42.71（海里.

E

F

D

C

A

H

B

在Rt△ACE中,sin24°15′=

CE

AC

∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54（海里.∵17.54<18.6,∴有触礁危险。

【答案】有触礁危险,不能继续航行。

11、（1过A作AC⊥BF,垂足为C

︒

=∠∴︒=∠30601ABC

在RT∆ABC中AB=300km

响

城会受到这次台风的影Akm

ACABC∴=∴︒=∠15030

（2

hh

kmkm

thkmvkmDEkm

CDkm

adkmACADAEE,BFkmADD,BF107

1071007107100750200,150200==

∴==∴=∴====使上取在使上取在

答:

A城遭遇这次台风影响10个小时。

12解:

（1在A处放置测倾器,测得点H的仰角为α在B处放置测倾器,测得点H的仰角为β

60º

F

B

A

（在中,2RtHAIAIHIDIHIAIDIm∆==-=tantanα

β

HIm

=

-tantantantanαββα

HGHIIGm

n=+=

-+tantantantanαββα

13解:

设需要t小时才能追上。

则ABtOBt==2426,

（1在RtAOB∆中,OBOAAB222=+,∴=+（（261024222tt则t=1（负值舍去故需要1小时才能追上。

（2在RtAOB∆中

sin.∠=

=≈AOBABOBt

t

242609231∴∠=︒AOB674.即巡逻艇沿北偏东674.︒方向追赶。

14解:

1008030sin1<=︒=∆APAPAPBRt中,在（∴会影响

N

BDPAQM

100

30o

160

（在中

（米

210080602

2

RtABDBD∆=-=

602

361000

6022⨯⨯=∴.（分钟分钟

15解:

∵∠BFC=︒30,∠BEC=︒60,∠BCF=︒90∴∠EBF=∠EBC=︒30∴BE=EF=20在Rt⊿BCE中,

（3.172

3

2060sinmBEBC≈⨯

=︒⋅=答:

宣传条幅BC的长是17.3米。

16解:

过C作AB的垂线,交直线AB于点D,得到Rt△ACD与Rt△BCD.

设BD=x海里,

在Rt△BCD中,tan∠CBD=CDBD

∴CD=x·tan63.5°.

在Rt△ACD中,AD=AB+BD=（60+x海里,tan∠A=CDAD

∴CD=（60+x·tan21.3°.∴x·tan63.5°=（60+x·tan21.3°,即（22605

xx=+.

解得,x=15.

答:

轮船继续向东航行15海里,距离小岛C最近

BC

D

A

17解:

过B点作BEAP⊥,垂足为点E;过C点分别作CDAP⊥,

CFBE⊥,垂足分别为点DF,,则四边形CDEF为矩形.

CDEFDECF∴==,,…………………………3分30QBC∠=,

60CBF∴∠=.

2040ABBAD=∠=,,

cos40200.766015.3AEAB∴=⨯

≈≈;

sin40200.642812.85612.9BEAB=⨯=≈≈.

1060BCCBF=∠=,,

sin60100.8668.668.7CFBC∴=⨯=≈≈;

cos60100.55BFBC==⨯=.

12.957.9CDEFBEBF∴==-=-=.

8.7DECF=≈,

15.38.724.0ADDEAE∴=++=≈.

∴由勾股定理,得222224.07.9638.4125ACADCD=++=≈≈.即此时小船距港口A约25海里18解（1在RtOCB△中,sin45.54OB

CB

=

1分C

Q

B

F

A

E

DP

北

40

30

OB=6.13´sin45.54o≈4.375（km）3分火箭到达B点时距发射点约4.38km

（2）在Rt△OCA中，sin43o=OACA4分1分OA=6´sin43o=4.09（km3分v=（OB-OA¸t=（4.38-4.09¸1≈0.3（km/s5分答：

火箭从A点到B点的平均速度约为0.3km/s19解：

（1）在RtDBAC中，ÐACB=68o，∴AB=AC×tan68o»100´2.48=248（米）答：

所测之处江的宽度约为248米„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（3分）

（2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即可得分