基本初等函数图像及性质小结.docx

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基本初等函数图像及性质小结

为高等数学小结的——基本初等函数

1.函数的五个要素：

自变量，因变量，定义域，值域，对应法则

2.函数的四种特性：

有界限，单调性，奇偶性，周期性复习的时候一定要从这四个方面去研究函数。

3.每个函数的图像很重要

. 幂函数   

（a为实数）

定义域：

随a的不同而不同，但无论a取什么值，x^a在

内总有定义。

值域：

随a的不同而不同

有界性：

单调性：

若a>0,函数在

内单调增加；若a<0,函数在

内单调减少。

奇偶性：

要知道这些函数那些事奇函数，那些是偶函数

周期性：

 每种函数的图像

.

. 指数函数

定义域：

值域：

有界性：

单调性：

若a>1函数单调增加；若0

奇偶性：

周期性：

注意：

图形过（0，1）点暨a^0=1直线y=0为函数图形的水平渐近线

今后

用的较多这个函数的图形，性质要记清楚

1、

. 对数函数

1、定义域：

值域：

有界性：

单调性：

a>1时，函数单调增加；0

奇偶性：

周期性：

主要性质：

与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，直线x=0为函数图形的铅直渐近线

e=2.7182……，无理数经常用到以e为底的对数

. 三角函数强调：

图像

正弦函数：

定义域：

值域：

[-1,1]

有界性：

[-1,1]有界函数

单调性：

（-T/2,T/2）单调递增

奇偶性：

奇函数

周期性：

以

为周期的周期函数；

余弦函数：

定义域：

值域：

[-1,1]

有界性：

[-1,1]有界函数

单调性：

奇偶性：

偶函数

周期性：

正切函数：

定义域：

值域：

有界性：

单调性：

奇偶性：

奇函数

周期性：

余切函数：

 ，

定义域：

值域：

有界性：

单调性：

奇偶性：

奇函数

周期性：

 ，

. 反三角函数

反正弦函数：

定义域：

[-1,1]值域：

有界性：

单调性：

单调增加

奇偶性：

奇函数

周期性：

反余弦函数：

---定义域值域：

定义域：

[-1,1]值域：

有界性：

单调性：

单调减少

奇偶性：

周期性：

反正切函数：

---定义域

定义域：

值域：

有界性：

单调性：

单调增加

奇偶性：

奇函数

周期性：

反余切函数

---定义域

定义域：

值域：

有界性：

单调性：

单调减少；

奇偶性：

周期性：

以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。

（1）指数式与对数式的性质

 由此可知

，今后常用关系式

，

如：

（2）常用三角公式

积化和差

sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2

cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2

cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2

sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2

和差化积

sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

函数周期性：

R）的函数的周期为T=2π/ω0,x形如y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）（A,ω,φ为常数,A

　　周期函数性质：

（1）若T（≠0）是f（X）的周期，则-T也是f（X）的周期。

（2）若T（≠0）是f（X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（X）的周期。

　　（3）若T1与T2都是f（X）的周期，则T1±T2也是f（X）的周期。

　　（4）若f（X）有最小正周期T*，那么f（X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

　　（5）T*是f（X）的最小正周期，且T1、T2分别是f（X）的两个周期，则（Q是有理数集）

　　（6）若T1、T2是f（X）的两个周期，且是无理数，则f（X）不存在最小正周期。

　　（7）周期函数f（X）的定义域M必定是双方无界的集合。

其他周期函数（非三角函数）

　　Dirchlet函数

　　D（X）=

　　{1X为有理数时

　　{0X为无理数时

　　复指数函数：

y=e^（jwt）,其中j为虚数单位，w为任意实数，t为自变量。

　　重要推论

　　1，若有f（x）的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|

　　2，若有f（X）的2个对称中心（a,0）（b,0）则T=2|a-b|

　　3,若有f（x）的1个对称轴x=a,和1个对称中心（b,0），则T=4|a-b|