江苏专用版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用32导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书文.docx
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江苏专用版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用32导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书文
第2课时 导数与函数的极值、最值
题型一 用导数解决函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1
(1)(2016·淮安模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是________.
(2)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是________.
①函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f
(1);
②函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(1);
③函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f(-2);
④函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(2).
答案
(1)③
(2)④
解析
(1)由f′(x)图象可知,x=0是函数f(x)的极大值点,x=2是f(x)的极小值点.
(2)由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;
当-2 当1 当x>2时,f′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值. 命题点2 求函数的极值 例2 设a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a. (1)求f(x)的极值; (2)是否存在实数a,使得方程f(x)=0恰好有两个实数根? 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)令f′(x)=-3x2+3=0, 得x1=-1,x2=1. 又因为当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0; 当x∈(-1,1)时,f′(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 所以f(x)的极小值为f(-1)=a-2, f(x)的极大值为f (1)=a+2. (2)因为f(x)在(-∞,-1)上单调递减, 且当x→-∞时,f(x)→+∞; 又f(x)在(1,+∞)上单调递减, 且当x→+∞时,f(x)→-∞; 而a+2>a-2,即函数的极大值大于极小值, 所以当极大值等于0时,有极小值小于0, 此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点, 即方程f(x)=0恰好有两个实数根, 所以a+2=0,a=-2,如图1.当极小值等于0时,有极大值大于0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰好有两个实数根,所以a-2=0,a=2.如图2. 综上,当a=2或a=-2时方程恰好有两个实数根. 命题点3 已知极值求参数 例3 (1)若函数f(x)=在x=1处取极值,则a=________. (2)(2016·南京学情调研)已知函数f(x)=x3+x2-2ax+1,若函数f(x)在(1,2)上有极值,则实数a的取值范围为________. 答案 (1)3 (2)(,4) 解析 (1)∵f′(x)=()′ ==, 又∵函数f(x)在x=1处取极值, ∴f′ (1)=0. ∴1+2×1-a=0, ∴a=3.验证知a=3符合题意. (2)方法一 令f′(x)=x2+2x-2a=0, 得x1=-1-,x2=-1+, 因为x1∉(1,2),因此则需1 即1<-1+<2, 即4<1+2a<9,所以 故实数a的取值范围为(,4). 方法二 f′(x)=x2+2x-2a的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x=-1,则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数,因此解得 故实数a的取值范围为(,4). 思维升华 (1)求函数f(x)极值的步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数f′(x); ③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; ④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值. (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. (1)函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是______________. (2)函数y=2x-的极大值是________. 答案 (1)x=1或-1或0 (2)-3 解析 (1)∵f(x)=x4-2x2+3, ∴由f′(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0,得 x=0或x=1或x=-1. 又当x<-1时,f′(x)<0, 当-1 当0 当x>1时,f′(x)>0, ∴x=0,1,-1都是f(x)的极值点. (2)y′=2+,令y′=0,得x=-1. 当x>0或x<-1时,y′>0;当-1 ∴当x=-1时,y取极大值-3. 题型二 用导数求函数的最值 例4 已知a∈R,函数f(x)=+lnx-1. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线方程; (2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值. 解 (1)当a=1时,f(x)=+lnx-1,x∈(0,+∞), 所以f′(x)=-+=,x∈(0,+∞). 因此f′ (2)=,即曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线斜率为. 又f (2)=ln2-, 所以曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线方程为y-(ln2-)=(x-2),即x-4y+4ln2-4=0. (2)因为f(x)=+lnx-1, 所以f′(x)=-+=,x∈(0,e]. 令f′(x)=0,得x=a. ①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值. 所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna. ③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减, 所以当x=e时,函数f(x)取得最小值. 综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当0 当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为. 思维升华 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b); (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意的x∈[-1,2],都有f(x)>a,则实数a的取值范围是________________. 答案 (-∞,) 解析 由题意知,f′(x)=3x2-x-2, 令f′(x)=0,得3x2-x-2=0, 解得x=1或x=-, 又f (1)=,f(-)=, f(-1)=,f (2)=7, 故f(x)min=,∴a<. 题型三 函数极值和最值的综合问题 例5 已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值. 解 (1)f′(x)= =. 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点且f′(x)与g(x)符号相同. 又因为a>0,所以当-3 当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0, 所以f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞). (2)由 (1)知,x=-3是f(x)的极小值点, 所以有 解得a=1,b=5,c=5, 所以f(x)=. 因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值, 故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者,而f(-5)==5e5>5=f(0), 所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5. 思维升华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值. 若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是________. 答案 [-3,0) 解析 由题意,得f′(x)=x2+2x=x(x+2), 故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数, 在(-2,0)上是减函数,作出其图象如图所示, 令x3+x2-=-,得x=0或x=-3, 则结合图象可知,解得a∈[-3,0). 3.利用导数求函数的最值 典例 (16分)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f′(x)>0,f′(x)<0的解区间,并注意定义域. (2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中,由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类讨论. 规范解答 解 (1)f′(x)=-a(x>0), ①当a≤0时,f′(x)=-a>0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).[2分] ②当a>0时,令f′(x)=-a=0,可得x=, 当0 当x>时,f′(x)=<0, 故函数f(x)的单调递增区间为, 单调递减区间为.[6分] 综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为, 单调递减区间为.[7分] (2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f (2)=ln2-2a.[9分] ②当≥2,即0 (1)=-a. [11分] ③当1<<2,即 (2)-f (1)=ln2-a,
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