北师大版七下数学第四章.docx
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北师大版七下数学第四章
第四章三角形
第一节认识三角形
(1)
【学习目标】
1.认识三角形的定义及相关概念和表示方法
2.理解并能运用三角形的内角和定理.
3.掌握三角形的分类.
4.掌握直角三角形的表示方法及内角的性质.
一、学习准备
1.观察下面的屋顶框架
(1)这些三角形有什么共同的特点?
都有条边,内角,个顶点。
2.多边形的概念:
由若干条不在上的线段相连组成的封闭平面图形。
3.
(1).什么叫做三角形?
解:
由不在同一直线上的线段首尾相接所组成的图形叫做三角形。
(2).如何表示三角形?
解:
三角形可用符号“△”表示,
如右图三角形记作:
(3).三角形的边可以怎么表示?
解:
如图三角形中三边可表示为AB,BC,AC,顶点A所
对的边BC也可表示为a,顶点B所对的边表示为b,
顶点C所对的边AB表示。
4.如果我说三角形有三要素,你能猜出是哪三要素吗?
解:
角:
三角形中有个角:
∠A,,∠C
顶点:
三角形中有个顶点,顶点,顶点B,顶点
边:
三角形中三边AB,,AC
5.三角形的分类(按角分类)
按三角形内角的大小把三角形分为三类
二、合作探究
1.如图1,已知∠A=50°,求:
∠1+∠2+∠3+∠4.
2.如图2,已知AB∥CD,∠B=52°,∠AOB=72°,求∠OCD和∠ODE的度数。
三、能力提升
1.如图3,
(1).图中一共有个三角形,它们分别是;
(2).以AB为边的三角形共有个,它们分别是;
(3).以
A为内角的三角形有个,它们分别是;
2.在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=7:
3:
5,求∠A、∠B、∠C的度数。
3.如图4,AC∥DE,∠EBD=64°,∠C=58°,∠A=80°,求:
∠E和∠EBA的度数。
四、小结反思
1、本课知识
1.由不在同一直线上的线段首尾相接所组成的图形叫做三角形
2.按三角形内角的大小把三角形分为:
三角形、三角形、三角形。
3.三角形有三要素:
、、。
第一节认识三角形
(2)
【学习目标】
1.了解等腰三角形和等边三角形的概念
2.掌握并能运用三角形三边的关系的性质.
一、学习准备
1.三角形的分类(按边分类)
2.两边之和大于第三边。
两边之差小于第三边。
第三边大于两边之,小于两边之。
二、合作探究
1.有两根长度分别为4cm和9cm的木棒,用长度为3cm的木棒与它们首尾相连能摆成三角形吗?
为什么?
用长度为13cm的木棒呢?
如要找根木棒与与已知的两根木棒首尾相连成一个三角形,那么那根木棒的长度范围是多少?
解:
取长度为3cm的木棒时,由于+=7<9,出现了两边之和第三边的情况,所以它们不能摆成三角形。
取长度为13cm的木棒时,由于+=13,出现了两边之和第三边的情况,所以它们也不能摆成三角形。
三、形成提升
1.△ABC三边分别为4,6,x,则x的取值范围是()
A.3 2.等腰三角形一边长9cm,另一边长4cm,则它的第三边是 3.已知三角形三边满足a>b>c且b=7,c=5,则a的取值范围是 4.一个等腰三角形的两边长分别为25和12,则第三边长为。 5.等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm,第三边为奇数,求第三边长. 6.已知一个三角形两边相等,周长为56cm,两边之比为3: 2,求这个三角形各边的长. 四、小结反思 1.有相等的三角形叫等腰三角形;有三边都相等的三角形式三角形,也叫正三角形。 2.两边之和大于第三边;两边之差小于第三边;第三边大于两边之,小于两边之。 第一节认识三角形(3) 【学习目标】 1.理解三角形的中线、三角形的角平分线的概念。 2.掌握三角形的中线、三角形的角平分线的性质。 一、学习准备 1.三角形的“中线”: 在三角形中,连接一个顶点与它对边的线段,叫做这个三角形的. 归纳: 三角形的三条交于一点,这点称为三角形的。 2.三角形的角平分线: 在三角形中,一个内角的与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间 的叫三角形的角平分线。 (注意: “三角形的角平分线”是一条线段) 归纳: 三角形的三条角平分线线交于一点。 二、合作探究 1.在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,BD是△ABC的角平分线,DE平分∠BDC,请问图中有几个角等于36°, 有几个角等于72°? 2.在△ABC中,AB=AC,周长为16cm,AD为BC边上的中线,且BD=3cm,求AB. 三、能力提升 1.在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,中线BD把△ABC的周长分成15cm和6cm,试求BC的长。 2.如图,在△ABC中,∠A=62°,∠B=74°,CD是∠ACD的角平分线,点E在AC上,且DE//BC.求∠EDC的度数。 四、小结反思 1.三角形的“中线”: 在三角形中,连接一个顶点与它对边的线段,叫做这个三角形的.三角形的三条交于一点,这点称为三角形的。 2.三角形的角平分线: 在三角形中,一个内角的与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的叫三角形的角平分线。 三角形的三条角平分线线交于一点。 (三角形的角平分线”是一条) 第一节认识三角形(4) 【学习目标】 1.理解三角形的高线的概念。 2.掌握三角形的高线的性质。 一、学习准备 1.角形的高 从三角形的一个向它的对边所在直线作,顶点和垂足之间的叫做三角形的高线,简称三角形的高. 2.锐角三角形的三条高(如图1) 发现: 锐角三角形的三条高在三角形的交于点. 3.直角三角形的三条高(如图2) 发现: 直角三角形的三条高交于顶点 4.钝角三角形的三条高(如图3) 发现: 钝角三角形的三条高不交于一点,但它们所在交于一点. 归纳: 三角形的三条高所在的交于一点。 二、合作探究 1.如图所示: 在△ABC中,∠A: ∠ABC: ∠ACB=3: 4: 5,BD、CE分别是边AC、AB上的高,BD、CE相交于点H,求∠BHC的度数。 三、形成提升 1.三角形两边上的高的交点,恰好是三角形的一个顶点,则此三角形是 2.如图,在△ABC中,BC边上的高是,AB边上的高是; 在△ABC中,BE边上的高是,EC边上的高是;在⊿ACD中, AC边上的高是,CD边上的高是。 3.如图,在△ABC中,AD、AE分别是高和角平分线,若∠B=35°,∠C=55°,求∠CAD和∠EAD的度数. 四、小结反思 1、本课知识 1.三角形的高: 从三角形的一个向它的对边所在直线作,顶点和垂足之间的 叫做三角形的高线,简称三角形的高. 2.三角形的三条高所在的交于一点 第二节图形的全等 【学习目标】 1.理解图形全等的概念和特征。 2.、知道全等三角形的概念及全等三角形的对应元素。 3.知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等。 4.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。 一、学习准备 模块二合作探究 1.能够完全重合的两个图形称为图形。 归纳: 如果两个图形全等,它们的形状和大小一定都相同 2.能够完全重合的两个三角形叫做表示方法: △ABC≌△DEF 例: 你能找到图中的对应边和对应角吗? 对应边和对应角有什么特征? 解: 对应边: 和、和、和 对应角: 和、和、和 发现对应边,对应角 归纳: 全等三角形的性质: 全等三角形的相等,相等。 注意: 要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 3.全等三角形对应边上的高,对应边上的中线也。 二、合作探究 1.如图,已知△ABC≌△ADE. (1).写出它们的对应边和对应角. (2).证明: ∠EAC=∠BAD. 解: (1).对应边: 和、和、和 对应角: 和、和、和 (2).证明: 三、形成提升 1.下列说法正确的是() A.同一底片的两张相片一定全等;B.周长相等的两个图形一定全等; C.全等的两个图形面积一定;D.以上说法都不对 2.下列图中的两个三角形是全等三角形,请依次说出它们的对应边、对应角。 (1).△≌△; 对应边: 对应角: 3.如图,⊿ABD≌⊿ACE,你能说明BE=DC吗? 模块、小结反思 1.能够完全重合的两个图形称为图形。 2.如果两个图形全等,它们的和一定都相同 3.全等三角形的性质: 全等三角形的相等,相等。 第三节探索全等三角形的条件 (1) 【学习目标】 1.探索三角形全等条件的。 2.初步掌握证明三角形全等的判定方法。 3.比较熟练的利用三角形全等的判定方法解决简单问题。 4.了解三角形稳定性性质 一、学习准备 三角形全等的判定方法1: 三边分别的两个三角形全等,简称为“边边边”或“SSS”。 通常写成下面的格式: 在△ABC与△DEF中, ∵ ∴△ABC≌△DEF(SSS) 二、合作探究 1.如图,已知AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证: △ABC≌△DEF。 证明: 在△ABC与△DEF中, AB=DE() ∵AC=() BE=CF(已知) ∴△ABC≌() 三、形成提升 1.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点. 求证: △ABD与△ADC全等。 2.如图,AD=AC,BD=BC,∠D=55°,求∠C的度数。 3.如图,已知AB=DC,AC=DB,试说明: ∠A=∠D. 四、小结反思 1.三边分别的两个三角形全等,简称为“边边边”或“”。 第三节探索全等三角形的条件 (2) 【学习目标】 1、掌握证明三角形全等的判定方法。 2、能规范书写全等三角形证明步骤。 一、学习准备 1.三角形全等的判定方法2: 两角及其分别的两个三角形全等,简写为“角边角”或“ASA”。 通常写成下面的格式: 在△ABC与△DEF中, ∵ ∴△ABC≌() 2.三角形全等的判定方法3: 两角分别且其中一组等角的相等的两个三角形,简写成“角角边”或“AAS”。 通常写成下面的格式: 在△ABC与△DEF中, ∵ ∴≌△DEF() 归纳: ①两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或“ASA” ②两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS” 二、合作探究 1.如图,已知,∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD,求证: △ABC≌△ADE 解: ∵∠1=∠2(已知) ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC 即∠BAC=∠DAE 在△ABC和△ADC中 ∴△ABC≌() 三、能力提升 1、已知: 点D在AB上,点E在AC上,BE、CD相交于O,AD=AE,∠B=∠C,求证: BD=CE 2.如图,已知⊿ABE≌⊿ACD,且BF=CF,试说明⊿FEC与⊿FDB全等。 四、小结反思 1.两角及其分别相等的两个三角形全等,简写为“”或“ASA” 2.分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形,简写成“角角边”或“”。 第三节探索全等三角形的条件(3) 【学习目标】 1、掌握证明三角形全等的判定方法。 2、能规范书写全等三角形证明步骤。 一、学习准备 1.三角形全等的判定方法4: 两边及其分别的两个三角形全等,简写成“”或“SAS”。 通常写成下面的格式: 在△ABC与△DEF中, ∵ ∴△ABC≌△DEF(SAS) 二、合作探究 1.如图: 在△ABE和△ACF中,AB=AC,BF=CE. 求证: (1).AF=AE (2).△ABE≌△ACF 三、形成提升 1.在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线。 那么BD与CD相等吗? 为什么? 2.如图,AB=DB,BC=BE,∠1=∠2,求证: △ABE≌△DBC 3.如图,已知点E、F在BC上,且BE=CF,AB=CD,∠B=∠C,求证: AF=DE 四、小结反思 1.两边及其一边所对的角对应相等,两个三角形全等。 2.三角形全等的判定方法4: 两边及其分别的两个三角形全等,简写成“”或“SAS”。 第四节用尺规作三角形 【学习目标】 在给出的两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下,能够利用尺规作出三角形。 一、学习准备 (1).回忆判定全等三角形的方法有、、、。 (2).尺规作图时,用画直线、射线和线段,用画弧或圆. 二、教材精读 1.已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形. 已知: 线段a,c,∠α。 求作: ΔABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α。 2.已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形. 已知: 线段∠α,∠β,线段c。 求作: ΔABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c。 二、合作探究 1.已知∠α和∠β、线段a,用尺规作一个三角形,使其一个内角等于∠α,另一个内角等于∠β,且∠α的对边等于a。 三、能力提升 1、已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形,第一步应为() A、作一条线段等于已知线段; B、作一个角等于已知角; C、作两条线段等于已知三角形的边,并使其夹角等于已知角 D、先作一个角等于已知角,或先作一条线段等于已知线段 2、用尺规作图,不能作出唯一三角形的是() A、已知两角和夹边;B、已知两边和夹角; C、已知两边和其中一边的对角;D、已知两角和其中一角的对边。 3、已知∠α和线段 ,求作⊿ABC,使∠A=∠α,∠B=2∠α,AB=2a。 第五节三角形全等测距离 【学习目标】 1.能利用三角形全等解决实际问题,体会数学与实际生活的联系。 2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。 一、学习准备 1.小明在上周末游览风景区时,看到了一个美的池塘,他想知道最远两点A、B之间的距离,但是他没有船,不能直接去测。 手里只有一根绳子和一把尺子,他怎样才能测出A、B之间的距离呢? 把你的设计方案在图上画出来,并与你的同伴交流你的方案,看看谁是方案更便捷。 方案一: 在能够到达A、B的空地上取一适当点C,连接AC,并延长AC到D,使CD=AC,连接BC,并延长BC到E,使CE=BC,连接ED。 则只要测ED的长就可以知道AB的长了 理由: 在△ACB与△DCE中, AC=CD ∠BCA=∠ECD BC=CE AB=DE(全等三角形的相等) 二、合作探究 1.1805年,法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战,德军在莱茵河北岸Q处,如图所示,因不知河宽,法军大炮很难瞄准敌兵营,聪明的拿破仑站在南岸的点O处,调整好自己的帽子,使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德军营Q处,然后他一步一步后退,一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处,让士兵丈量他所站位置B与O点的距离,并下令按这个距离炮轰敌兵营,试问: 法军能命中目标吗? 请说明理由,用帽舌边缘视线法还可以怎样测量,也能测出河岸两边OQ的距离? 三、能力提升 1.如图,某人要测量河中浅滩B和对岸A的距离,先在岸边定出点C,使C、A、B在一直线上,再依AC的垂直方向在岸边画线段CD,取它的中点O,又画DF垂直CD,观测得E、O、B在一直线上,同时F、O、A也 在一直线上,那么EF的长就是AB的距离,为什么? 四、小结反思 1.三角形全等的判定方法1: 三边分别______的两个三角形,简称为“边边边”或“”。 2.三角形全等的判定方法2: 两角及其分别的两个三角形全等,简写为“”或“ASA”。 3.三角形全等的判定方法3: 两角分别且其中一组等角的相等的两个三角形,简写成“角角边”或“”。 4.三角形全等的判定方法4: 两边及其分别的两个三角形全等,简写成“”或“SAS” 第三章三角形回顾与思考 基本概念 1、三角形的三种重要线段: 三条_______线、三条_______线、三条_______线. (1).三角形的角平分线不同于一个角的平分线,前者是一条_________,后者是一条_________.三角形的高线是_________,而线段的垂线是_________(填“线段”或“射线”或“直线”) (2).三角形的三条角平分线相较于_________一点,三条中线相较于_________一点,三角形的三条高线也相较于一点,但锐角三角形的交点在三角形的_________,直角三角形的交点在三角形的_________,钝角三角形的交点在三角形的_________.(填“形内”或“形外”) 2、三角形的性质: (1).边的性质: 三角形的任意两边之和_________第三边,三角形的任意两边之差_________之差. (2).角的性质: 三角形的三个内角之和等于_________;一个外角_________与它不相邻的两个内角的和,一个外角__________任何一个与它不相邻的内角,_________三角形的两个锐角互余. (3).稳定性: 即三边的长度确定后,三角形的形状保持不变. 3、三角形的分类: (1).按边分: _________三角形和_________三角形. (2).按角分: _________三角形和_________三角形和_________三角形. 基本性质与判定 1、全等三角形的性质: 全等三角形的对应边_________,对应角_________. 2、全等三角形的判定: 一般三角形有: ________、________、________、________共4种.
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- 北师大 版七下 数学 第四
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