关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论 1.docx
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关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论1
椭圆、双曲线的对偶性质结论
1.
(1)椭圆中,PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
证明:
延长F2H至M,交PF1于M ∵PT平分∠MPF2 ,
又F2H⊥PT,∴
又,∴.
∴H轨迹是以长轴为直径的圆,除长轴端点.
(2)双曲线中,PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆,除去实轴的两个端点.
证明:
延长F1H到M,交PF2于M,则,
又,∴
又H、O为MF1、F1F2中点,
∴OH
∴H点的轨迹是以实轴为直径的圆,除去实轴的两个端点.
2.
(1)椭圆中,以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
证明:
设PQ中点S,作PM⊥l于M,SA⊥l于A,QN⊥l于N
∴以PQ为直径的圆必与对应准线相离.
(2)双曲线中,以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
证明:
PB为焦点弦,S为PQ中点,作于C
于M,于D
则
∴
∴以PQ为直径的圆必与对应准线相离.
注:
抛物线中,以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相切.
3.
(1)椭圆中,椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
证明:
如图,设以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1,圆心为O1,
由椭圆定义知
∴ ∴⊙O、⊙O1相内切
(2)双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).
证明:
以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1,圆心为O1;以MF1为直径的圆的半径为r2,圆心为O2,
由双曲线定义知
∴,
∴圆O1与圆O外切
又
∴,
∴圆O2与圆O内切
4.
(1)设A1、A2为椭圆的左、右顶点,则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆,必与A1A2所在的直线切于A2(或A1).
证明:
设旁切圆切轴于,切于M,F1P于N,
则
∴
∴与A2重合.
(2)设A1、A2为双曲线的左、右顶点,则△PF1F2的内切圆,必与A1A2所在的直线切于A2(或A1).
证明:
设切x轴于点,与切于M,PF2切于N
∵
∵|PM|=|PN|,|MF1|,|NF2|=
∴
又
∴,∴重合.
注:
可知,圆心在直线或直线上.
5.
(1)椭圆(a>b>o)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时,A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
证明:
设交点,,
∵ ,
∴
又
∴,即轨迹方程为
(2)双曲线(a>0,b>0)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
证明:
设交点
∵ ,
∴
又,
∴ 即
*6.
(1)若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.
证明:
求导可得:
∴,
∴切线方程:
∴
(2)若在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程是.
证明:
求导可得:
,切线方程
7.
(1)若在椭圆外,则过P0作椭圆的两条切线,切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
证明:
设,,则过点切线分别为
∵在上 ∴,
∴过P1,P2方程
(2)若在双曲线(a>0,b>0)外,则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
证明:
设,则过切线分别为,
∵在上 ∴,
∴过方程
8.
(1)AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则.
证明:
设 则
又 ∴
(2)AB是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则.
证明:
设,则,
又,∴
9.
(1)若在椭圆内,则被P0所平分的中点弦的方程是.
证明:
设中点弦交椭圆一个定点为A,则另一个为B
∴① , ②
①-②得:
又
∴弦AB方程为
证明二:
由第9题得:
,
∴弦AB方程为
(2)若在双曲线(a>0,b>0)内,则被P0所平分的中点弦的方程是.
证明:
设中点弦交双曲线一个交点A,则另一个B
∴
又K弦,
∴方程为
10.
(1)若在椭圆内,则过P0的弦中点的轨迹方程是.
证明:
设弦交椭圆于,中点.
∴ 即.
(2)若在双曲线(a>0,b>0)内,则过P0的弦中点的轨迹方程是.
证明:
设弦与双曲线交于,中点
,
即
11.
(1)过椭圆(a>0,b>0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).
证明:
设两直线与椭圆交于点.
由题意得①=②
∴,
展开
③-④得:
(定值)
(2)过双曲线(a>0,b>o)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).
证明:
设两直线与双曲线交于点,则
由题意得①=-②
∴
展开
③-④(定值)
12.
(1)椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则椭圆的焦点三角形的面积为;;.
证明:
设,,则.
由余弦定理,
.
,
∴
(2)双曲线(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上异于顶点任意一点,则双曲线的焦点三角形的面积为;;.
证明:
设,
,
,
∴
13.
(1)若P为椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,,则.
证明:
设. , ①
又
②
由①、②得:
(2)若P为双曲线(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,,,则(或).
证明:
设P在左支,,
①
②
由①、②得:
同理,P在右支时,
14.
(1)椭圆(a>b>0)的焦半径公式:
.(,,).
证明:
椭圆上点M到左右准线距离,,∴
(2)双曲线(a>0,b>o)的焦半径公式:
(,,
.
当时,取“+”;当时,取“-”.
证明:
若M在右支,则M到左准线距离,,
若M在左支,则,,
15.
(1)P为椭圆(a>b>0)上任一点,F1、F2为左、右焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立.
证明:
若A、F2、P不共线,
在△APF2中
∴,
当A、P、F2共线时取等号.
(2)P为双曲线(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为左、右焦点,A为双曲线内一定点,则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时,等号成立.
证明:
若A、P、F2不共线,
在中
∴
当且仅当P和A、F2在y同侧且共线时,,
此时
16.
(1)椭圆(a>b>0)上存在两点关于直线:
对称的充要条件是.
分析:
该问题等价于在椭圆上找两点,过这两点直线,斜率为,其中垂线为 则。
证明:
设方程为 即,中点为
得
代入,
又△>0,∴
注:
还可以用点差法.
(2)双曲线(a>0,b>0)上存在两点关于直线:
对称的充要条件是.
证明:
该问题等价于在双曲线找两点,过这两点直线,斜率为,其中垂线为,则
设方程为 代入,
得
,中点为,
则可以写成代入
得,即
其中代入①,得
17.
(1)P是椭圆(a>b>0)上一点,则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是.
证明:
,,
∴
又,∴
(2)P是双曲线(a>0,b>0)上一点,则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是.
证明:
设,双曲线方程为,
设焦半径为C,,焦点,,
∴,即
18.
(1)已知椭圆(a>b>0)和(),一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点,则│AB│=|CD│.
证明:
设直线方程为,
视作的特殊情况.
弦中点坐标 与无关.
而 ∴与无关.∴线段中点重合.
(2)已知双曲线(a>0,b>0)和(),一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点,则│AB│=|CD│.
证明:
设直线方程为,代入双曲线方程
视作的特殊情况
弦中点坐标与无关
∴与无关,∴、的中点同为T,且
∴
19.
(1)已知椭圆(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.
证明:
设A为B为
∴
∵
(2)已知双曲线(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或.
证明:
设A为,B为,由点差法得:
①
又有:
,由①得,∴
显然或
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