初三数学总复习总结.docx
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初三数学总复习总结
综合问题
(二)
综合题是知识、方法、能力综合型试题,新课改下的中考综合题更为突显创新能力.综合题是中考数学试题的精华部分,具有知识容量大、解题方法活、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求学生具有一定的创新意识和创新能力等特点.中考的区分度和选拔功能主要靠这类题型来完成预设目标.
一、中考综合题类型(翟老师辅导)
1.直角坐标系与函数问题:
涉及图形(图象)的平移与变换(全等、相似、等积);
2.配伍问题:
涉及统计、不等式、函数(方案设计);
3.函数与方程的根以及不等式:
在这几个知识的相互结合中,方程的根是沟通关系的主线(包括整数根);
4.圆与解直角三角形问题:
利用圆的知识可以隐含直角,形成与直角三角形结合的问题,其中包括阴影部分的面积,以及图形面积问题(不能排除直线形问题);
5.寻求规律问题:
这个问题涉及的范围较宽泛,例如与数或代数式结合、与最值问题、不等方程(整数解)问题、与图形结合等;
6.图形的变换问题:
这是唯一一个可以独立形成综合题问题的知识点.
二、解综合题常用的思想方法
1.转化思想、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、统计思想等.
2.配方法、换元法、待定系数法、综合法、分析法、面积法等.
三、解综合题的能力要求
1.阅读理解力、对条件的全面分析、转译和改造的能力.
2.化复杂为单一、综合为基本,善于联想与转化的能力.
3.捕捉信息的敏感性、善于处理信息、加工信息的能力.
4.恰当地分离与重组是解综合题的重要手段和能力要求.
四、综合题举例
(一)直角坐标系(或网格)中图形(图象)的平移与变换问题
注意:
代数:
点的坐标变化;几何:
图形(图象)静与动结合,变化中的不变量.
例1某学习小组在讨论“变化”的鱼时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)
则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点是()
(A)(-2a,-2b)(B)(-a,-2b)(C)(-2b,-2a)(D)(-2a,-b)
[解析]答案为A.观察和寻求规律,再取几个特殊对应点进行验证.
[立意]本题以小组学习为背景,让考生也参与到小组的学习过程中来,在直角坐标系中研究位似变换,利用位似变换性质研究点的坐标的变换.主要考查了对字母表示数、位似变换的认识,对应的思想以及由特殊到一般的抽象概括能力.
例2在直角坐标系中,△ABC的三个顶点的位置如图所示,现将△ABC平移使得点A移至图中的点A′的位置.
(1)在直角坐标系中,画出平移后所得△A′B′C′(其中B′、C′分别是B、C的对应点).
(2)计算:
对应点的横坐标的差:
,
,
;
对应点的纵坐标的差:
,
,
.
(3)从
(2)的计算中,你发现了什么规律?
请你把发现的规律用文字表述出来.
(4)根据上述规律,若将△ABC平移使得点A移至A″(2,-2),那么相应的点B″、C″(其中B″、C″分别是B、C的对应点)的坐标分别是、.
[解析]
(1)图略.
(2)5,5,5;1,1,1.
(3)对应点的横坐标的差都相等;对应点的纵坐标的差都相等(保持不变).(符号语言翻译成文字语言)
(4)(4,-3),(6,0).(应用能力
1,
-3)
[立意]本题
(1)、
(2)问取材于课本基础题(各种版本的教材都有这类问题),起点较低,为学生所熟悉,同时由于设计了第(3)(4)问,较好地体现出不同的思维层次.设置的四个小问题一环扣一环,蕴涵了解决一个一般数学问题所需要处理的各个环节,在图形变化中寻找对应点坐标之差的规律先作图,再通过观察、计算等得出猜想,验证(一般应取特殊点进行验证),最后可将这一结论推广应用.(对于思维层次比较低的同学可通过画图来帮助完成计算)
整个题目从大方向上看考查了学生进行合情推理的能力,从具体问题看,考查了学生坐标表示、计算、归纳结论、文字表达、运用规律进行迁移等方面的能力.
例3如图,平面直角坐标系中,△ABC为等边三角形,其中点A、B、C的坐标分别为
、
、
.现以
轴为对称轴作△ABC的对称图形,得△A1B1C1,再以
轴为对称轴作△A1B1C1的对称图形,得△A2B2C2.
(1)直接写出点C1、C2的坐标;
(2)能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置?
你若认为能,请作出肯定的回答,并直接写出所旋转的度数;你若认为不能,请作出否定的回答(不必说明理由);
(3)设当△ABC的位置发生变化时,△A2B2C2、△A1B1C1与△
之间的对称关系始终保持不变.①当△
向上平移多少个单位时,△A1B1C1与△A2B2C2完全重合?
并直接写出此时点C的坐标;②将△ABC绕点
顺时针旋转α(0α180),使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合,此时α的值为多少?
点C的坐标又是什么?
[解析]“直接写出”不需要写出解题过程.
(1)点C1、C2的坐标分别为
、
.
(2)能通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置,所旋转的度数为
;
(3)①当△ABC向上平移2个单位时,△A1B1C1与△A2B2C2完全重合,此时点
的坐标为
(如图1);②当
,△A1B1C1与△A2B2C2完全重合,此时点
的坐标为
(如图2).(分析:
①根据△A1B1C1与△A2B2C2完全重合,则对应点的横、纵坐标相等,又△A1B1C1与△A2B2C2对应点的纵坐标互为相反数,而C1(0,y1)与C2(0,y2)是对应点,所以y1=y2且y1+y2=0,因此得y1=y2=0;②由△A1B1C1与△A2B2C2完全重合,则C1与C2必重合,而△ABC与△A2B2C2成中心对称,△ABC必须旋转到使点C在x轴上,因此α=180,C
).
[立意]本题以图形与变换、图形与坐标、连续两次轴对称变换与中心对称的关系等有关知识以及空间想象能力作为考查对象,通过图形的运动将平移、旋转、坐标等知识有机地结合在一起,并进一步在运动变化中研究图形坐标的变化,设问层层递进,使得不同水平的学生都有机会表达自己对问题的理解.教学中可以运用几何画板软件对动态图形中规律性的东西进行总结,由直观到抽象给学生的印象深刻,但考试时不能借助工具,这类问题应怎样思考、能否进行操作要注意总结.
例4
已知反比例函数
的图象经过点
,若一次函数
的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B(2,m),求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标.
函数复习时付老师已提到考点等.
例5如图,直线
与x轴、y轴分别交于A、B两点,将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1.(有改动)
(1)求直线A1B1的解析式;
(2)求经过A、A1、B1的抛物线的解析式.
[解析]
(1)将直线AB绕点O旋转后,A、B的对应点分别为
A1、B1.求得A1(0,1)、B1(2,0),从而直线A1B1的解析式
为
.
(2)
.
[立意]例3和例4中函数图象平移、旋转的变换,是通过点的变换实现的,此两题对函数图象变换与坐标变换进行综合,主要考查对函数图象变换的理解水平以及用待定系数法求函数解析式的掌握水平以及运算能力等,解决问题的关键是抓住对应点坐标的变换.
(二)三个一次、三个二次综合问题
注意:
方程的根、函数三种表示法及函数性质、利用图象分析不等关系;在函数思想统领下以方程的根为切入点来研究问题.
例1小明、小亮、小丽、小东四人共同探讨代数式
的值的情况.他们从不同侧面进行了研究,其探究的结论如下,其中错误的是()(有改动)
(A)小明认为只有当x=2时,
的值为1
(B)小亮认为找不到实数x,使
的值为0
(C)小丽发现
的值随x的变化而变化,因此认为没有最小值
(D)小东发现当x取大于2的实数时,
的值随x的增大而增大,因此认为没有最大值
[解析]答案为C.选用直接法求解.
[立意]本题以同学间合作学习的面貌出现,考查学生代数式求值、一元二次方程、二次函数等相关知识以及配方法、数形结合思想的掌握状况,力图渗透合作学习的新课程理念,反映同学学习过程的一个侧面.
例2已知一次函数y=ax+b(a、b是常数),x与y的部分对应值如下表:
x
-2
-1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
-2
-4
那么方程ax+b=0的解是;不等式ax+b>0的解集是.
[解析]由表格直接可得方程ax+b=0的解是x=1;求出解析式y=-2x+2,由不等式-2x+2>0,得ax+b>0的解集是x<1.
也可由两点画出一次函数的图象,再由表格确定一元一次方程的解,由图象确定一元一次不等式的解.
[立意]本题以一次函数为素材,以表格形式给出自变量与因变量的对应关系,着重考查对函数与方程、不等式之间的关系的理解水平.
例3根据下列表格的对应值:
x
3.23
3.24
3.25
3.26
-0.06
-0.02
0.03
0.09
判断方程
(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是()
(A)3<x<3.23 (B)3.23<x<3.24
(C)3.24<x<3.25 (D)3.25<x<3.26
[解析]答案为C.考虑二次函数
,通过表格提供的信息,大致分析出图象的开口方向、变化趋势,由数想形,当函数值的正负符号有变化时,图象才能穿过x轴,从而可确定方程相应有一个根,因此可判断出正确答案是C.
[立意]本题以二次函数为素材,以表格形式给出自变量与因变量的对应关系,着重考查对二次函数与一元二次方程之间的关系的理解水平以及通过函数值符号的变化估计解的范围的估值思想方法.此题与例1有联系,将例1中一次函数换成二次函数,把确定一次方程的解改为确定解的范围.
例4如图,直线l1、l2相交于点A,根据图象解答下列问题:
(1)求出直线l2的函数关系式;
(2)当x在何范围时,两个函数的函数值都大于0?
[解析]
(1)
(2)由
解得x>
.
[立意]此题直接以图象形式呈现,同时结合图象提供的信息来确定函数的解析式,在此基础上进一步设置不等问题,把函数与不等式组等知识结合起来,重点考查一次函数、一元一次不等式组等相关知识,由函数图象获取信息的能力等。
上面四道试题虽然表现形式有些不同,但本质上都是考查函数、方程、不等式之间的关系.函数、方程、不等式之间的关系是“数与代数”中的重要内容,用函数的观点来看待方程与不等式的解,不仅形象直观,而且可以更深刻地把握他们之间的内在联系,这种着眼于研究不同内容之间的联系是一种重要的数学方法与学习方法.教学过程中,要让学生深刻地理解这一联系.
另一方面,将类似的试题放在一起进行比较也是十分有益的.比如例2和例3虽然有相近之处,但也有较大差别:
后者包含了用图象求方程近似值的方法,前者无.学生认清了异同,理解上就进了一步.
例5毕业考试题22题也是此类问题.见毕业考试卷.
(三)寻求数式规律的综合问题
注意:
代数式、等式、方程(整数解)、点的坐标等呈现出的数式规律、图形运动变化形成的数式规律问题等.从05年全国课改卷来看,很多试卷此类题是以大题的形式出现.
例1在数学活动中,小明为了求
的值(结果用n表示).设计如图1所示的几何图形.
(1)请你利用这个几何图形求
的值为;
(2)请你利用图2,再设计一个能求
的几何图形.
图1图2
[解析]
(1)
(
).
(2)比如:
[立意]本题所选用的命题素材和试题背景学生比较熟悉,老题考出了新意,以图形分割和数列求和结合的形式呈现,为有效考查学生在经历观察、分析、归纳的数学探究过程中发现其中的分割规律和其对应的面积比提供了必要的载体.图1中给出了两种方式的分割,对第
(2)问的解答给出了暗示,分割方法多样,关键是利用中点等分面积.此题力图考查学生观察、归纳等思维能力、对题目中给出的方法的理解运用的迁移能力,以及数形结合的思想方法.
例2如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,定点M叫做对称中心.此时,M是线段PQ的中点.
如图,在直角坐标系中,△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为(1,0)、(0,1)、(0,0).点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称:
点P1与点P2关于点A对称,点P2与点P3关于点B对称,点P3与P4关于点O对称,点P4与点P5关于点A对称,点P5与点P6关于点B对称,点P6与点P7关于点O对称,….对称中心分别是A、B,O,A,B,O,…,且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是(1,1),试求出点P2、P7、P100的坐标.
[解析]P1(1,1)P2(1,-1)P3(-1,3)P4(1,-3)
P5(1,3)P6(-1,-3)P7(1,1)P8(1,-1)
发现规律,P7回到P1位置,点的坐标以6为周期循环,P100与P4的坐标相同.
因此P2(1,-1),P7(1,1),P100(1,-3).
[立意]本题将点的对称性、点的坐标与周期性有机地结合起来,是一道有新意的探索循环规律的题目,情景读来易懂,完成求点P2、P7、P100的坐标的不同难度层次,体现了从特殊到一般再到特殊的认识过程,能够较好地考查学生的探究创新能力,同时也考查了阅读理解能力.
例3已知正方形ABCD的边长AB=k(k是正整数),正△PAE的顶点P在正方形内,顶点E在边AB上,且AE=1.将△PAE在正方形内按图1中所示的方式,沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次,使顶点P第一次回到原来的起始位置.
(1)如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上,那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动.图2是k=1时,△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图.请你探索:
若k=1,则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=时,顶点P第一次回到原来的起始位置.
(2)若k=2,则n=时,顶点P第一次回到原来的起始位置;若k=3,则n=时,顶点P第一次回到原来的起始位置.
(3)请你猜测:
使顶点P第一次回到原来起始位置的n值与k之间的关系(请用含k的代数式表示n)
[解析]
(1)12次.分析:
当正△PAE翻动到AB与AE重合时,顶点P才能回到原来的起始位置.从初始位置,连续翻动三次点P落在正方形内,每连续三次翻动后与正方形重合的边依次为DA,DC,BC,AB,即连续翻动3×4次点P回到起始位置.利用展开的直线更为直观,等边三角形的顶点依次为A,E,P反复循环,标记字母,很容易发现结论。
因此当n=12时,顶点P第一次回到原来的起始位置.
(2)24次;12次.
(3)当k是3的倍数时,n=4k;当k不是3的倍数时,n=12k.
[立意]此题通过图形的翻转创设了一个探索规律的情景,考查了学生的空间想象能力,分类讨论思想、运动变化观点的掌握情况以及合情推理的能力,有利于引导学生掌握数学思想方法的精髓,问题具有一定难度和较好的区分度.
例4观察下列各等式:
依照以上各等式成立的规律,在括号中填入适当的数,使等式
成立.
说明:
此题为2004年海淀中考题(考试说明、复习指导选用),多种方法都可以求解,可以说是以分式方程为载体的探究规律试题.
例5观察一列等式
32+42=52,
52+122=132,
72+242=252,
92+402=412…
请写出第5个这样的式子————.
你发现了这些等式所共有的规律了吗?
请你
用含n的式子来表示这个规律———.
说明:
此题是总复习第一讲陈老师所举的例子.也可以结合几何背景,注意到平方关系,联想到用勾股数.
例6毕业考试题21题(方程整数解问题)也都与探究规律有关.
(四)方案决策、方案设计问题
注意结合点:
主要是方程、不等式、函数、概率与实际应用问题综合.
例1某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞.现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算,本次购买机器所耗资金不能超过34万元.
(1)按该公司要求可以有几种购买方案?
(2)若该公司够进的6台机器的日生产能力不低于380个,那么为了节约资金应选择哪种购买方案?
甲
乙
价格(万元/台)
7
5
每台日产量(个)
100
60
[解析]
(1)设购买甲种机器x台(x为自然数),则购买乙种机器(6-x)台.
依题意得,7x+5(6-x)≤34,解得x≤2,x可取0,1,2三值.
所以该公司按要求可以有以下三种购买方案:
方案一:
不购买甲种机器,购买乙种机器6台;
方案二:
购买甲种机器1台,购买乙种机器5台;
方案三:
购买甲种机器2台,购买乙种机器4台.
(2)按方案一购买机器,所耗资金为6×5=30(万元),新购买机器日生产量为6×60=360(个);
按方案二购买机器,所耗资金为1×7+5×5=32(万元),新购买机器日生产量为1×100+5×60=400(个);
按方案三购买机器,所耗资金为2×7+4×5=34(万元),新购买机器日生产量为2×100+4×60=440(个);
因此选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求,又比方案三节约2万元资金,故应选方案二.
[立意]本题是一道以表格信息给出的常见的方案决策题,改换了老题背景.主要考查学生阅读理解能力、获取相关问题信息的能力、建模能力、以及解决实际问题的能力.
例2甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球,球拍一副定价60元,乒乓球每盒定价10元.今年世界乒乓球锦标赛期间,两家商店都搞促销活动:
甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球;乙商店规定所有商店品9折优惠.某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍,乒乓球若干盒(不少于4盒).
设该校要买乒乓球x盒,所需商品在甲商店购买需用y1元,在乙商店购买需用y2元.
(1)请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围);
(2)对x的取值情况进行分析,试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜;
(3)若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球,在不考虑其他因素的情况下,请你设计一个最省钱的购买方案.
[解析]
(1)由题意知,在甲商店购买2副乒乓球拍可获赠4盒乒乓球,因此还需再购买(x-4)盒乒乓球.所以y1=10(x-4)+60×2,y1=10x+80.
因为乙商店规定所有商品9折优惠,所以y2=0.9(10x+60×2),y2=90x+108.
(2)假设y1>y2,即10x+80>90x+108,得x>28.
所以购买乒乓球盒数超过28盒时,在乙商店购买所需商店比较便宜.
当x=28时,y1=y2=360.所以购买28盒乒乓球时,在甲商店购买所需商品和乙商店购买所需商品同样便宜.
从而可知购买乒乓球盒数少于28盒时,在甲商店购买商品比较便宜.
(3)若所需商品全部在一个商店购买,由
(2)知购买2副球拍20盒乒乓球时,在甲商店购买比在乙商店购买便宜,在甲商店购买需10×20+80=280元.
若所需商品在两个商店购买,可以到甲商店购买2副球拍,需2×60=120元,同时获赠4盒乒乓球;到乙商店购买16盒乒乓球,需要16×10×90%=144元,共需120+144=264元.
因为264<280,所以最佳的购买方案是:
到甲商店购买2副乒乓球拍,获赠4盒乒乓球,到乙商店购买16盒乒乓球.
[立意]本题是一道函数、方程、不等式综合应用题.第
(1)问要建立对应函数关系式,第
(2)问要分析列出不等式,第(3)问要通过综合对比方案作出选择,多角度考查学生综合分析问题和解决问题的能力.
例3两人要去某风景区游玩,每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度,也不知道汽车开过来的顺序,两人采用了不同的乘车方案:
甲无论如何总是上开来的第一辆车,而乙则总是先观察后上车,当第一辆车开过来时,他不上车,而是仔细观察车的舒适状况.如果第二辆车的状况比第一辆好,他就上第二辆车;如果第二辆车不比第一辆好,他就上第三辆车.
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等,请尝试解决下列问题:
(1)三辆车按出现的先后顺序共有几种不同的可能?
(2)你认为甲、乙两人采用的方案,哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大?
为什么?
[解析]
(1)用A、B、C分别表示三辆车的舒适程度上、中、下三等,对车辆出现的先后顺序作出规定:
按照从左到右的顺序依次写出先、后出现的车辆.所有可能的情形为:
ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA,共计6种可能.
(2)提示:
由于不知道任何信息,所以只能假定6种出现的可能性相同,我们来研究各种可能的顺序之下,甲、乙两人分别会上哪一辆汽车.能使甲乘坐上等车的所有情形是ABC、ACB;能使乙乘坐上等车的所有情形是BAC、BCA、CAB.因为6种情形出现的可能性相等,所以甲坐上等车的概率是
,乙坐上等车的概率是
.所以乙采取的方案坐上等车的可能性大.
也可用列表法解题:
由于不知道任何信息,所以只能假定6种出现的可能性相同,我们来研究各种可能的顺序之下,甲乙二人分别会上哪一辆汽车:
顺序
甲
乙
上、中、下
上
下
上、下、中
上
中
中、上、下
中
上
中、下、上
中
上
下、上、中
下
上
下、中、上
下
中
于是不难得出,甲乘上、中、下三辆的概率都是
;而乙乘上等车的概率是
,乘中等车的概率是
,乘中等车的概率是
.所以乙采取的方案坐上等车的可能性大.
[立意]本题立意新颖,以乘车问题创设问题情景,利用概率知识来解决决策问题体现出两个重要价值:
(1)学习数学要养成一种理性思维的习惯,遇到一个问题,不能单单凭经验决策,也不能凭直觉决策,而应当增加理性的分析与计算,本题就蕴含了这一思想,将数学的理性精神通过中考试题对学生形成潜移默化的影响;(3)本题的设计回避了对问题解决的思路作出任何暗示,需要学生根据实际问题的分析来发现其中所隐含的数学模型,这是一种做数学的要求,也是考查能力的有效做法.
(五)代数与统计综合问题
选例:
统计与方程结合、统计与不等式结合.
例1“西气东输”工程为武汉送来了清洁的能源,自2004年12月26日天然气在关山调压站点火通气以来,武汉市很多家庭停用原来的管道人工煤气,改用天然气.小王在某月中连续七天在同一时刻对他家的天然气表示数作了记录,如下表所示:
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
气表示数(m3)
108
108.7
109.5
110.3
110.8
111.4
112
请你利用所学统计知识解决下列问题:
(1)目前居民用天然气的价格为2.3元/m3,每月按30天计算.请问:
小王家平均每月所需天然气的燃气费约多少元?
(2)居民用管道人工煤气的价格为1.1元/m3,如果使用两种燃气完成同样的事情所需要的管道人工煤气的体积约是天然气体积的2.5倍.在
(1)的条件下,请问:
小王家每月使用天然气与使
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