届上海市浦东新区高三下学期二模考试理科数学试题.docx
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届上海市浦东新区高三下学期二模考试理科数学试题
上海市浦东新区高考预测(二模)
数学(理)试卷
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.已知全集
,若集合
,则
=__
___
2.双曲线
的渐近线方程为
.
3.函数
的最大值为__5_____
4.已知直线
和
,若
,则
.
5.函数
的反函数为
,如果函数
的图像过点
,那么函数
的图像一定过点___
___.
6.已知数列
为等差数列,若
,
,则
的前
项的和
__
___.
7.一个与球心距离为
的平面截球所得的圆的面积为
,则球的体积为__
__.
8.(理)一名工人维护甲、乙两台独立的机床,在一小时内,甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8,则一小时内有机床需要维护的概率为_____0.98
9.设
,
的二项展开式中含
项的系数为7,则
__
__.
10.(理)在平面直角坐标系
中,若直线
(
为参数)过椭圆
(
为参数)的右顶点,则常数
=_3__.
11.(理)已知随机变量
的分布列如右表,若
,则
=__1.
x
1
2
3
4
n
0.2
0.3
m
12.在
中,角
所对的边长
的面积为
外接圆半径
,则
的周长为_____
__
13.抛物线
的焦点为F,点
为该抛物线上的动点,又点
,则
的最小值为
.
14.(理)已知函数
的定义域为
,值域为集合
的非空真子集,设点
,
,
,
的外接圆圆心为M,且
,则满足条件的函数
有_12_个.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.“
”是“
”的( A )
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
16.(理)已知
,
,
是虚数单位.若复数
是实数,则
的最小值为(D)
(A)0(B)
(C)5(D)
17.能够把椭圆
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”,下列函数不是椭圆的“可分函数”为(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
18.(理)方程
的解的个数为(B)
(A)2(B)4(C)6(D)8
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第
(1)小题满分6分,第
(2)小题满分6分.
(理)如图,在直三棱柱
中,
,
,
,
、
、
分别是
、
、
的中点.
(1)求异面直线
与
所成角的大小;
(2)求点
到平面
之间的距离.
解:
(1)设
的中点为
,连接
,则
,且
,所以
或其补角即为异面直线
与
所成的角。
…………………………………………3分
连接ME,在
中,
………………………………5分
所以异面直线
与
所成的角为
。
……………………………………6分
(2)
,
,
以点
为坐标原点,分别以
、
、
所在直线为
轴,如图建立空间直角坐标系
,则:
,
………………8分
设平面
的一个法向量为
则
所以平面
的一个法向量为
.…10分
又
,
所以点
到平面
的距离
.………………………12分
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第
(1)小题满分6分,第
(2)小题满分8分.
如图,ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事,两艘海事搜救船在
处同时出发,沿直线
、
向前联合搜索,且
(其中点
、
分别在边
、
上),搜索区域为平面四边形
围成的海平面.设
,搜索区域的面积为
.
(1)试建立
与
的关系式,并指出
的取值范围;
(2)求
的最大值,并求此时
的值.
解:
(1)
……………………………………………………2分
……………………………………………4分
…………………………………6分
(2)令
…………………………………………………………8分
……………10分
,(当且仅当
时,即
,等号成立)…12分
当
时,搜索区域面积
的最大值为
(平方海里)
此时,
…………………………………………………………14分
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第
(1)小题满分6分,第
(2)小题满分8分.
(理)已知定义在R上的函数
,对任意实数
都有
,且
.
(1)若对任意正整数
,有
,求
、
的值,并证明
为等比数列;
(2)设对任意正整数
,有
.若不等式
对任意不小于2的正整数
都成立,求实数
的取值范围.
解:
(1)令
,得
,
则
,
…………………………………………………………1分
令
,得
,
则
,
……………………………………………………2分
令
,得
,
即
,……………………………………………………4分
则
,
所以,数列
是等比数列,公比
,首项
.………………………6分
(2)令
,得
,即
则
是等差数列,公差为2,首项
,
故
,………………………………………………8分
.…………………………………………………………………9分
设
,则
,
所以
是递增数列,
,…………………………11分
从而
,即
………………………………………12分
则
,解得
.………………………………………………14分
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第
(1)小题满分4分,第
(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.
(理)已知中心在原点
,左焦点为
的椭圆
的左顶点为
,上顶点为
,
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)过点
作直线
,使其交椭圆
于
、
两点,交直线
于
点.问:
是否存在这样的直线
,使
是
、
的等比中项?
若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
(3)若椭圆
方程为:
(
),椭圆
方程为:
(
,且
),则称椭圆
是椭圆
的
倍相似椭圆.已知
是椭圆
的
倍相似椭圆,若直线
与两椭圆
、
交于四点(依次为
、
、
、
),且
,试研究动点
的轨迹方程.
解:
(1)设椭圆
方程为:
(
),
所以直线
方程为:
………………………………………………1分
∴
到直线
距离为
……2分
又
,解得:
,
………………………………………………3分
故:
椭圆
方程为:
.…………………………………………………4分
(2)当直线
与
轴重合时,
,而
,所以
若存在直线
,使
是
、
的等比中项,
则可设直线
方程为:
…………………………………………………5分
代人椭圆
的方程,得:
即:
∴
记
,
,
∴
,
………7分
∵
,即
,∴
∴
,解得:
,符合
,所以
……………9分
故存在直线
,使
是
、
的等比中项,其方程为
,即:
…………………………………10分
(3)椭圆
的
倍相似椭圆
的方程为:
………………………………11分
设
、
、
、
各点坐标依次为
、
、
、
将
代人椭圆
方程,得:
∴
(*)
此时:
,
…………………………13分
将
代人椭圆
方程,得:
∴
,
………14分
∴
,可得线段
、
中点相同,所以
由
,所以
,可得:
∴
(满足(*)式).
故:
动点
的轨迹方程为
.……………………………………16分
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第
(1)小题满分4分,第
(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.
(理)定义区间
,
,
,
的长度均为
,其中
.
(1)已知函数
的定义域为
,值域为
,写出区间
长度的最大值与最小值.
(2)已知函数
的定义域为实数集
满足
(
是
的非空真子集).集合
求
的值域所在区间长度的总和.
(3)定义函数
,判断函数
在区间
上是否有零点,并求不等式
解集区间的长度总和.
解:
(1)
,
解得
或
,…………………1分
,解得
,…………………2分
画图可得:
区间
长度的最大值为
,
最小值为
.………………………………4分
(2)
…………………………………………………………6分
当
,
,……………………………………………7分
当
,
,……………………………………………………………8分
所以
时,
………………………………………………9分
所以值域区间长度总和为
。
……………………………………………………………10分
(3)由于当
时,取
,
,
取
,
,
所以方程
在区间
内有一个解…………………………………12分
考虑函数
,由于当
时,
,故在区间
内,不存在使
的实数
;
对于集
中的任一个
,由于当
时,
取
,
,取
,
又因为函数
在区间
内单调递减,
所以方程
在区间
内各有一个解;
依次记这
个解为
,
从而不等式
的解集是
,故得所有区间长度的总和为
………①……………………………………………15分
对
进行同分处理,分子记为
如将
展开,其最高项系数为
,设
……
又有
…………
对比
中
的
系数,
可得:
……………………………………………18分
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