北航机械优化大作业.docx
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北航机械优化大作业.docx
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北航机械优化大作业
现代机械优化设计
大作业
学院名称
机械工程及自动化学院
专业名称
航空宇航制造工程
学号
姓名
2014年1月
目录
一、机械优化设计作业要求1
二、优化设计算法简述(必做)3
2.1、一维搜索优化方法3
2.1.1、确定初始区间的进退法4
2.1.2、格点法7
2.1.3、二次插值7
2.2、多维无约束优化方法13
2.2.1、梯度法13
2.2.2、牛顿法(原始牛顿法和阻尼牛顿法)16
2.2.3、DFP变尺度法20
2.3、多维有约束优化方法22
2.3.1、约束坐标轮换法22
2.3.2、可行方向法23
2.3.3、惩罚函数法(内、外罚函数法和混合罚函数法)25
三、题目二(选作)31
3.1、优化设计在数字化设计中的作用31
3.2、机械优化设计的应用发展前景35
一、机械优化设计作业要求
一、简述学过的优化算法(一维,多维无约束,多维有约束)的选择方法及应用原则。
(必做)
二、下面任选其一:
1、结合实际应用论述机械最优化设计在数字化设计技术中的作用与应用发展前景。
2、应用多维有约束优化方法解决实际问题的范例及论述。
3、用高级语言编写有约束多维优化方法的通用程序,给出流程图和输入条件,并叙述程序设计的使用特点、应用范围和算例。
4、结合实际应用论述利用现有软件的求解优化问题过程、选择方法和优化结果分析。
二、优化设计算法简述(必做)
简述学过的优化算法(一维,多维无约束,多维有约束)的选择方法及应用原则。
(必做)
2.1、一维搜索优化方法
实际优化问题中一维问题是很少的,大多数问题都是多维的,但一维问题是优化中最简单、最基本的方法,它是解多维问题的基础。
数值迭代方法是从一个初始点X(0)出发,按要求确定一个最优搜索方向,多维问题各种算法主要区别在于采取不同的规则来确定搜索方向,当搜索方向一定,就是在这个方向上找出最优的步长,求出极小点。
也就是说在迭代过程中,点X(k)及方向S(k)已确定,则从X(k)出发,沿方向S(k)求目标函数f(X)的极小点,表达式为
当搜索方向一定后,目标函数成了λk的一元函数,成了如图2.1所示的在直线上求函数的极小点,这种运算过程称为一维搜索,也称为线性搜索。
图2.1一维搜索示意
可见,要研究多元函数的优化设计问题,首先要研究一维优化搜索方法。
大多数多维问题可以是一系列一维问题的搜索,一维搜索一般分成两大步骤:
①确定初始搜索区间;②确定最优的步长因子。
一维优化方法可分为两类:
一类是直接法,这类方法是按某种规律取若干点计算其函数值,然后通过函数值的直接比较来最后确定最优解。
另一类是间接法,这类方法需要利用函数的导数,故也称解析法,常用的有牛顿法和二次插值法等。
2.1.1、确定初始区间的进退法
在讨论一维搜索时,首先保证搜索区间函数具有单峰性,也就是在区间[a,b]中,函数是凸函数,具有高—低—高或低—高—低的特性,在区间[a,b]上有惟一的极小值或极大值。
下面介绍用进退法来确定函数极值点所在搜索区间[a,b]的算法。
设给定初始点a0和初始步长h。
步骤如下:
①a1=a0,a2=a1+h,计算f(a1)和f(a2)。
②比较f(a1)和f(a2)的函数值大小。
a、若f(a1)≥f(a2),如图2.2实曲线Ⅰ所示,说明极小点在a1的右方,应作前进运算,即加大步长,令a3=a2+2h,并且计算f(a3)。
若f(a2)≤f(a3),则区间[a,b]=[a1,a1+3h],否则,将步长再加倍,重复上述运算,直至函数值达到两头大中间小的情况。
图2.2进退法确定搜索区间
b、若f(a1)<f(a2),如图2.2虚线Ⅱ所示,说明极小点必在a1的左方,此时应作后退运算,即从点a0出发,反方向搜索,令h=-h,取试点a3=a1-h,并计算f(a3)。
若f(a3)≥f(a1),则[a,b]=[a1-h,a1+h],否则加倍步长继续后退,直至函数出现大一小一大为止。
进退法确定搜索区间的程序框图如图2.3所示。
该方法思想简单,思路明确,但是如果初始步长h取得过大有可能出现不收敛的情况,为了保证收敛和所确定的区间较小,同时,考虑到在多维寻优时,给出的初值点一般靠近函数的最优点,区间确定的初始步长值一般应给出较小的值,如取收敛精度的10倍左右等。
图2.3进退法确定搜索区间的程序框图
2.1.2、格点法
格点法是一种思路极为简单的一维求优法。
设函数f(x)的初始搜索区间[a,b],在此区间内取n个内等分点x1,x2……xn,并计算函数值y1,y2……yn并比较取出最小ym=min(yi,i=1,2…n)。
并取xm左右两相邻点xm-1,xm+1为新区间,判断xm+1-xm-1<精度值。
成立,则:
xm→x*,ym→y*;不成立,则(xm-1,xm+1)作为新的初始区间继续进行。
速度取决于区间缩短率,区间缩短率=新区间/旧区间。
格点法每次区间缩短时取内分点数为n,则λ=2/(n+1)。
N越多,λ越小,区间缩短越快,但计算次数越多。
2.1.3、二次插值
二次插值法又称抛物线法。
它的基本思路是:
在寻求目标函数
f(x)极小点的搜索区间内,取三个点的函数值来构造一个二次插值多项式p(x),用它的极小点近似地作为原目标函数的极小点。
若近似程度不满足精度要求时,可以反复使用此法,随着区间的缩短,二次插值多项式的极小点就逼近原目标函数的极小点。
设原目标函数在x1,x2,x3三个点的函数值为f1,f2,f3,满足x1<x2<x3,f(x1)>f(x2)>f(x3)。
图2.4所示为二次插值法原理。
图2.4二次插值法原理
利用x1,x2,x3三点作二次多项式p(x)=a0+a1x+a2x2。
式中,a0、a1、a2均为待定系数。
在插值点上,多项式满足以下三个方程就可解出三个未知数a0,a1,a2。
进而求得极小值
计算xm点的函数值f(xm),比较f(xm)与f(x2)d的大小,取较小者所在对应的点作为新x2,以此点左右两邻点分别取做新的x1和x3,得新的区间[x1,x3]。
在实际操作中,会出现一下4种情况:
迭代过程:
①定初始搜索区间,定出初始插值结点。
2用公式计算p(x)的极值点xm和f(xm)。
3终止判断(相继两次插值函数极值点之间的距离小于某一个预定的精度、函数下降准则)。
二次插值法充分利用了函数的性态,如目标函数本身就具有良好的性质(如二次、三次曲线等),能够很快地收敛,但可靠性与其他方法相比显得较差一些,而且程序较复杂,适用于多维优化的一维搜索迭代。
二次插值流程图如下:
+
2.2、多维无约束优化方法
无约束优化问题的数学模型为
minf(X),X∈Rn
在工程实际中,尽管所有优化设计问题几乎都是有约束的,但约束优化问题可以转化为无约束优化问题来求解。
因此,无约束最优化方法是优化设计中极为重要的和基本的内容,所以人们对它的研究十分重视。
无约束优化问题的算法很多,主要分为两类:
一类是直接法,即不用导数信息的算法,它只需进行函数值的计算与比较,来确定迭代方向和步长,如坐标轮换法、共轭方向法和鲍威尔法;另一类是间接法,即使用导数信息的算法,它需要利用函数的一阶或二阶偏导数矩阵,来确定迭代方向和步长,如梯度法、牛顿法和变尺度法。
2.2.1、梯度法
在迭代过程的某一点Xk处,函数的最速下降方向是目标函数的负梯度方向-▽f(Xk),梯度法就是利用这一性质,将n维无约束极小化问题转化为一系列沿目标函数负梯度方向进行一维搜索寻优的一种方法,即是在每一迭代点Xk,选取搜索方向Sk为负梯度方向:
或
再沿Sk进行一维搜索,以确定步长因子αk,找到新的设计点Xk+1=Xk+αkSk。
梯度法的迭代公式可写成:
或
按照上述迭代公式进行若干次一维搜索,每次迭代的初始点取上次迭代的终点,即可使迭代点逐渐逼近目标函数的极小点。
图2.5描述了用梯度法优化二维问题时逼近极小点的过程。
其中,X0为初始点,Xm为极小点。
图2.5等值线是椭圆(a)和圆(b)的情况下梯度法的迭代过程
梯度法流程图如下:
梯度法的特点:
梯度法每次迭代都是沿迭代点函数值下降最快的方向搜索,因而梯度法又称为最速下降法。
其实,这种方法搜索路线常常很曲折,收敛速度较慢。
从图2.5可以看到,对于等值线为圆的优化问题,梯度法一次迭代就可达到极小点;当等值线不是圆时,负梯度方向不再指向圆心(实线),迭代次数增加,偏心越严重,迭代次数越多,形成“锯齿现象”。
而且,在搜索开始时步长较大,愈接近极小点步长愈小,最后收敛的速度极其缓慢。
因此,对于比较复杂的优化问题,梯度法不具有实用价值。
但由于梯度法在迭代开始时函数值下降得较快,因而常用于其他方法中作初始迭代法。
梯度法的优点是迭代过程简单,对初始点X0的要求不高,虽要计算导数,但只要求一阶偏导,存储单元较少。
梯度法的缺点是收敛慢。
2.2.2、牛顿法(原始牛顿法和阻尼牛顿法)
牛顿法是梯度法的进一步发展,其基本思想是求目标函数f(X)的极小值时,先将f(X)在点X附近作泰勒(Taylor)展开,取其二次近似函数式,然后求出这个二次函数的极小点,并以该极小点作为原目标函数的近似极小点;若此值不满足精度要求,则以此近
似极小点作为下一次迭代的初始点,继续以上过程,迭代下去,直至所求出的近似极小点满足精度要求为止。
(1)原始牛顿法
基本思想:
假定f(x)为一般目标函数,且具有连续的一、二阶偏导数,现在X(k)邻域内用一个二次函数Ф(X)来近似代替原目标函数f(x),并求Ф(X)的极小点XФ作为对原目标函数f(x)求优的下一个迭代点X(k+1),重复上述迭代,使迭代点逐步逼近原目标函数f(x)的极小点Xm。
将目标函数f(x)对X(k)作Taylor展开,并略去高于二次的项,即
式中:
▽f(X(k))—函数f(x)在X(k)的梯度,也可用gK表示
▽2f(X(k))—函数f(x)在X(k)的海赛矩阵,n×n阶对称方阵,用HK表示
则二次函数可写为
求Ф(X)的极小点XФ
按原始牛顿法的基本思想是取XФ作为下一个迭代点X(k+1),则有原始牛顿法的迭代公式
由上述迭代公式可以看出,牛顿法的搜索方向为
,该方向称牛顿方向。
另外式中没有步长因子α(k),或者说步长恒等子1,所以原始牛顿法是一种定步长的迭代过程。
原始牛顿法的特点:
(1)是一种具有二次收敛性的算法。
对于二次函数,迭代一次即可到最优点;对于非二次函数,若函数的二次性态较强或迭代点已进入最优点的邻域。
则其牧敛速度也是很快的。
(2)由于迭代式中没有步长日子因子α(k),或者说步长恒取1,采用原始牛顿法在迭代过程中有时函数值有所增大。
原始牛顿法不能保证函数值稳定下降。
在严重的情况下甚至可能造成点列的发散而导致计算的夫败。
初始点愈远离极小点.愈易于出现上斜现象。
因此,该算法对初始点的选取有严格要求.造成这一现象的原因主要在于步长恒取α(k)=1。
(2)阻尼牛顿法
阻尼牛顿法是在牛顿法的基础上进行修正得到的,故也称修正牛顿法。
阻尼牛顿法迭代公式为:
阻尼牛顿法能保证每次迭代函数值都有所下降。
它既保持了牛顿法收敛快的特性,又不要求初始点选得很好,因此在实际应用中是比较成功的。
阻尼牛顿法又称广义牛顿法。
阻尼牛顿法的流程图如下:
牛顿法不仅利用了函数的一阶导数信息,还利用了函数的二阶导数信息,故其收敛速度较梯度法快得多。
但是牛顿法要计算黑赛矩阵及其逆矩阵,计算量存储量均很大,且都以维数n2比例增加,维数高时这个问题更加突出。
n(变量较多时)因次较高,海赛矩阵是奇异矩阵,逆矩阵不存在,不能使用牛顿法。
2.2.3、DFP变尺度法
DFP变尺度法的基本思想与梯度法和牛顿法有著密切的联系。
梯度法的搜索方向为负梯度,构造简单,只需计算函数的一阶偏导数,计算工作量小,当迭代点远离最优点时对突破函数的非二次性极为有利,但是当迭代点接近最优点时收敛速度极慢。
牛顿法的搜索方向是牛顿方向,牛顿方向需计算梯度、海赛矩阵及其逆阵.计算工作量大为增加,但它具有二次收敛性,当迭代点接近最优点时收敛速度极快。
综上所述从两种方法各自的优缺点出发,提出如下的DFP变尺度法的基本思想。
将迭代公式写成下面的形式:
式中Ak是在迭代过程中逐步产生的一个n×n阶对称方阵,若在初始点取取A0=E,按梯度法进行迭代。
以后随着迭代过程的进行,不断的修正构造矩阵AK,使它逐步地逼近函数在迭代点X(k)处的海赛矩阵之逆阵。
当迭代点逼近最优点时,迭代方向就趋于牛顿方向。
这样,就综合了梯度法和牛顿法的优点,从而形成了一种更为有效的新的算法。
实现上述DFP变尺度法的基本思想,关键在于如何产生这一构造矩阵AK。
DFP算法的迭代修正矩阵是
这个修正矩阵公式说明,DFP变尺度法将迭代过程中所有的函数信息和一阶导数信息收集积累起来,以逐渐形成二阶导数矩阵的信息。
DFP变尺度法的特点:
在迭代开始时,一般令A0=I,此时DFP变尺度法的迭代公式就是梯度法的迭代公式;而当变尺度矩阵逼近[H(XK)]-1时,变尺度法迭代公式也逼近牛顿法的迭代公式。
因而,DFP变尺度法的最初的几步迭代,与梯度法类似,函数值的下降是较快的;而在最后的几步迭代,与牛顿法相近,可较快地收敛到极小点。
因此DFP变尺度法能够克服梯度法收敛慢的缺点,但却保留了梯度法在最初几步函数值下降快的优点;同时,DFP变尺度法避免了计算海赛矩阵及其逆矩阵,从而克服了牛顿法计算量大的缺点,但却有较快的收敛速度。
所以,在目标函数的梯度容易计算的情况下,DFP变尺度法是一种很有效的方法。
由于在计算DFP变尺度矩阵的公式中,其分母含有近似矩阵Ak,计算中容易引起数值不稳定,甚至可能得到奇异矩阵Ak。
所以,为提高实际运算稳定性,通常将进行n次(n为目标函数的维数)迭代作为一个循环,将变尺度矩阵重置n维单位矩阵I,并以一个循环的终点作为起点,进行下一轮的迭代。
适用条件:
容易求出f(x)的梯度n>100时此方法最好。
2.3、多维有约束优化方法
前面讲了常用的无约束优化方法,这些方法是优化方法中最基本、最核心的方法,但机械设计中的优化问题大多数属于有约束问题。
有约束问题的研究还不断完善及深入。
常用的约束直接优化方法有:
随机试验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法、线性逼近法、梯度投影法、简约梯度法和广义简约梯度法等。
直接法要符合两个条件:
可行性和适应性。
约束优化问题的间接法对于不等式约束问题和等式约束问题均有效,其基本思想是按照一定的原则构造一个包含原目标函数和约束条件的新目标函数,将新目标函数的解作为原目标函数的解,即将约束优化问题转换成无约束优化问题求解,这样就可采用研究较为成熟的各种无约束方法求解。
属于间接法的约束优化方法有:
消元法、拉格朗日乘子法和惩罚函数法。
2.3.1、约束坐标轮换法
坐标轮换法属于直接法。
它即可用于无约束优化问题的求解,又可经过适当的处理用于约束优化问题的求解。
此方法构思简单,易于理解和掌握。
坐标轮换法的基本特征是将迭代方向S取为一系列按序号排列的坐标轴方向,通常都用单位坐标矢量ei作为这种迭代的方向矢量,则坐标轮换法所取的迭代方向就依次为e1,e2,……en。
对于n维优化问题,当n个坐标轴方向依次取过一次以后,称为完成了一轮迭代。
如果尚未达到预定的精度要求,则进行下一轮迭代,再次取ei(i=1,2,3,…,n)作为迭代方向。
2.3.2、可行方向法
可行方向法是求解大型约束优化问题的主要方法之一,其收敛速度快,效果较好,但程序较复杂。
它解决具有不等式约束优化问题,也是用梯度法求解约束非线性最优问题的直接方法之一。
数学模型为
求minF(X)X∈D⊂Rn
s.t.gu(X)≥0u=1,2,…,p
基本思想:
从任一可行点X(k)出发,寻找一个恰当的方向S(k)和一个合适的步长因子α(k),于是产生新的迭代点为
X(k+1)=X(k)+α(k)S(k)
使其满足
gu(X)≥0u=1,2,…,p
F(X(k+1))<F(X(k))
(1)可行方向法求优过程的基本要求
1)可行方向
搜索方向必须是可行的,即从一个初始可行点出发,沿着搜索方向进行一维搜索后,得到的新点必须仍然是可行点。
2)下降方向
沿着某一可行方向搜索,必须使目标函数值下降,而且下降得愈快愈好,对某一点来说,负梯度方向为最速下降方向。
(2)可行方向法的搜索路线
1)如果X(k)点是在可行域内部,则下一迭代仍沿X(k)点的负梯度-▽f(Xk)方向进行一维搜索α(k)为最优步长,其迭代式为X(k+1)=X(k)-α(k)S(k)直至迭代点落在约束边界上或越出某约束边界为止。
2)当迭代点在约束边界上或在外回到约束边界上的点,则下一次不再采用负梯度为探索方向,而采用一个适用可行方向S(k),若取α(k)是在S(k)方向上的一个适当大小的步长,则有X(k+1)=X(k)+α(k)S(k)。
(3)可行下降方向的产生方法
在第2)种情况时可行下降方向是怎样产生的,方法有:
1随机法,
2线性规划法,
3投影法。
(4)适用可行方向的数学条件
1)适用性条件:
探索方向S(k)满足适用条件是目标函数f(x)沿该方向是下降的,若用方向导数的概念来描述即X(k)点的目标函数f(x)沿S(k)的方向导数应小于零。
2)可行性条件
是指沿该方向一定有可行点存在,即由X(k)点出发,沿S(k)方向,取适当步长α(k),则X(k+1)=X(k)+α(k)S(k),x(k+1)必在可行域内。
(5)最有利适用可行方向的确定
线性规划法
此法对线性和非线性都适用,但不包括等式约束条件。
此法是将具有一阶连续偏导数的原目标函数和约束条件在x(k)点用Toglor展开或展开线性近似函数,并用这些线性近似函数代替非线性目标函数和约束函数,使问题线性化。
(6)步长因子的确定
1)最优步长法,
2)试验步长因子的确定。
2.3.3、惩罚函数法(内、外罚函数法和混合罚函数法)
惩罚函数法的基本思想是,根据约束特性构造惩罚函数,并将其加到目标函数中去,将约束非线性规划问题转化为一系列无约束极值子问题,然后按无约束优化方法来求解。
这种“惩罚”策略,给予无约束极值问题求解过程中企图违反约束的那些迭代点以很大的目标函数值,而子问题的目的是极小化目标函数,这样迫使无约束子问题的极小点趋向于满足约束条件。
重复地产生和求解一系列这样的子问题,它们的解在极限情况下趋向原问题的约束极小值。
根据惩罚函数形式的不同,惩罚函数又可分为内罚函数法、外罚函数法和混合罚函数法。
(1)内罚函数法
内罚函数法的主要特点是将惩罚函数定义在可行域的内部,这样,每一迭代点都是在可行域内部移动的,从而从可行域内部逐渐逼近原约束优化间题的解。
内罚函数可构造为
式中,惩罚因子γk是一个递减的正值数列,即
且
内罚函数对企图从内部穿越可行域的点施以惩罚。
设计点离边界越近,惩罚越大。
对边界上的点干脆施加无穷大的惩罚,就好像在可行域的边界上设置很高的障碍,从而保障迭代点一直在可行域内而又趋向于约束最优点。
由上述分析可知,内罚函数法只可用来求解不等式约束优化问题,而不能求解等式约束优化问题,否则将会因为设计点满足约束条件而使所构造的罚函数值变为无穷大。
此外,由于内罚函数初始点必须在可行域内,故在计算方面比外罚函数法要复杂一点。
内罚函数法的特点是,收敛过程的各个迭代点,对应于一系列逐步得到改善的可行设
计方案,设计者可以对这一系列方案作进一步的分析比较,以得到满意的设计方案。
为此,许多工程优化设计者经常使用它。
几个参数的选择:
(1)初始点X
(1)的确定:
由于内点法的搜索是在可行域内进行,所以初始点应严格满足全部约束条件。
(2)初始罚因子r
(1):
直接给r
(1)=1~50,或r
(1)=
。
(3)递减系数的选择:
一般C=0.1~0.5。
终止准则:
(1)相邻两次惩罚函数无约束最优点间距离足够小;
(2)相邻两次惩罚函数值相对变化足够小。
(2)外罚函数法
内点法的初始点必须在可行域内,对于多维约束条件有时有一定困难,故用外点法。
也就是说内点法将惩罚函数定义于可行域内且求解无约束问题的搜索点总是保持在可行域内,而外点法的特点是将惩罚函数定义于可行域外,且求解无约束问题的搜索点是从可行域外部
逼近原目标函数的最优解。
外罚函数法既可用来求解不等式约束优化问题,又可用来求解等式约束优化问题。
考虑不等式约束优化问题:
构造一般形式的外罚函数为
式中,惩罚项
的含义说明如下:
(1)当X在可行域内和约束边界上时,满足所有约束条件,即gu(X)≥0(u=1,2,…,m),无论γk取何值,必定有
(2)当X违反某一约束条件,必定有
(3)γk是惩罚因子,是一个递增的正值数列,即
而且
随着迭代次数的增加,γk值越来越大,迫使所求迭代点向原间题的最优点靠拢。
考虑具有等式约束的优化问题:
构造外罚函数为
此式表示,当X满足所有的等式约束,即当
时,惩罚项为
相反,若X不满足某一等式约束条件,即当hj(X)≠0时,[hj(X)]2>0,惩罚项为
且随着罚因子γk的增大而增大。
外点惩罚函数法与内点惩罚函数法的比较:
(1)外点惩罚函数法既可用来求解不等式约束优化问题又可用来求解等式约束优化问题;而内点惩罚函数法只能用来求解不等式约束优化问题。
(2)使用外点惩罚函数法时,初始点以及以后的迭代所产生的点的轨迹可以位干可行域内,也可以位于可行域外。
(3)外点惩罚函数法求解的极小点序列位于可行域外逐渐向边界逼近,但最终仍然为非可行点,为了使最终迭代点能落人可行域,必须设量约束容差带;而内点惩罚函数法求解的极小点序列位于可行域内向边界逼近。
(3)混合罚函数法
混合罚函数法在一定程度上综合了内点法和外点法的优点,克服了某些缺点,此法可处理等式和不等式约束的优化问题,初始点可任选;除最优解外,在某些情况下可以得到若干个可行解。
惩罚函数是由原目标函数和包含约束函数的惩罚项组成。
由于一般约束优化问题的约束条件包含不等式约束与等式约束两部分,因此,惩罚项也应有对应的两部分组成。
对应等式约束部分的只有外点法一种形式,而对应不等式约束部分的有外点法成内点法形式。
按照对不等式约束处理的方式不同,混合法惩罚函数又具有两种形式。
1)内点形式混合法
不等式约束部分按内点法形式处理的混合法,其惩罚函数形式为
为了统一用惩罚因子r(k),取
,则上式写成
式中惩罚因子r(k)按内点法形式,令r(k)>0,取
初始点X(0)必须是满足全部不等式约束条件的可行点,初始惩罚因子r(0),递减系数C均按内点惩罚函数法选取。
2)外点形式混合法
不等式约束部分按外点法形式处理的混合法,其惩罚函数形式为
式中惩罚因子r(k)按外点法形式,令r(k)>0,取
初始点X(0)可在设计空间Rn内任意选取,初始惩罚因子r(0),递增系数C均按外点惩罚函数法选取。
从解决问题的范围和惩罚函数的构造方式来看,内点法、外点法可以看作是混合法的特殊情况。
约束流程图为右图。
三、题目二(选作)
结合实际应用论述机械最优化设计在数字化设计技术中的作用与应用发展前景。
3.1、优化设计在
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