平面几何100题20.docx
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平面几何100题20.docx
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平面几何100题20
61.设ω是△ABC的外接圆,ΓA是与线段AB、AC相切且与ω内切的圆,ΓB是与线段BA、
BC相切且与ω内切的圆,ΓC是与线段CA、CB相切且与ω内切的圆.设过B、C且与ΓA相切的圆(不同于ω)切ΓA于X,过C、A且与ΓB相切的圆(不同于ω)切ΓB于Y,过A、
B且与ΓC相切的圆(不同于ω)切ΓC于Z.证明:
AX、BY、CZ三线共点.
62.设⊙I是△ABC的内切圆,⊙u、⊙v、⊙w分别是过点B和点C且与⊙I相切的圆、过点
A和点C且与⊙I相切的圆、过点B和点A且与⊙I相切的圆.设P、Q、R、S、T、U分别是⊙w与BC、⊙v与BC、⊙v与AB、⊙u与AB、⊙u与CA、⊙w与AC的交点(均不同于A、B、C).I1、I2分别是△ARQ、△BST的内心,类似定义I3、I4、I5、I6.IA是△AST∠
SAT内的旁心,类似定义IB、IC.求证∶△IAI2I3、△IBI6I1、△ICI4I5的欧拉线共点.
63.以凸四边形ABCD为边长向外作正方形AE1E2B、BF1F2C、CG1G2D、DH1H2A.连接AF1、
BG1、CH1、DE1交出四边形A'B'C'D',连接DF2、AG2、BH2、CE2交出四边形A''B''C''D''.证明∶A'A''、B'B''、C'C''、D'D''交出的四边形是正方形.
64.圆内接四边形ABCD中,直线AC、BD交于E,直线AB、CD交于F,直线BC、DA交于G.设△ABE的外接圆与直线CB交于B、P两点,△ADE的外接圆与直线CD交于D、
Q两点.设直线FP、GQ交于点M,证明∶AM⊥AC.
65.设⊙X、⊙Y、⊙Z分别为△ABC∠BAC、∠ABC、∠BCA内的旁切圆,D、E、F、G、H、
I分别是⊙Z与AC、⊙Z与BC、⊙X与AB、⊙X与AC、⊙Y与BC、⊙Y与AB的切点.FD、
GI交于J,IE、HF交于K,EG、DH交于L,设M、N、O、P、Q、R分别是KL、LJ、JK、
BC、CA、AB的中点.证明∶直线MP、NQ、OR三线共点.
66.已知凸六边形ABCDEF既有外接圆又有内切圆,记△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、
△EFA、△FAB的内切圆分别为ωb、ωc、ωd、ωe、ωf、ωa.lAB表示ωb、ωa的另一条外公切线(不为AB),类似定义lBC、lCD、lDE、lEF、lFA.设lFA与lAB的交点为A1,类似定义B1、C1、
D1、E1、F1.若六边形A1B1C1D1E1F1为凸六边形,证明:
该六边形的对角线共点.
67.已知圆弧Γ1、Γ2、Γ3均过点A、C,且在直线AC同侧,Γ2在Γ1与Γ3之间,B是线段
AC上一点,由B引三条射线h1、h2、h3,与Γ1、Γ2、Γ3在直线AC的同侧,且h2在h1与
h3之间.设hi与Γj(i,j=1,2,3)的交点为Vij.由线段VijVil、VkjVkl及弧VijVkj、弧VilVkl构成的曲边四边形记为VijVkjVklVil,若存在一个圆与其两条线段和两条弧均相切,则称这个圆为这个曲边四边形的内切圆.证明:
若曲边四边形V11V21V22V12、V12V22V23V13、V21V31V32V22均有内切圆,则曲边四边形V22V32V33V23也有内切圆.
68.设△ABC的内心为I,⊙I分别切边BC,CA,AB于点D、E、F,设AI与DE、DF交于点M、N,以MN为直径的圆交BC于P、Q.已知△APQ的外接圆与⊙I切于R,△ABC的外接圆与九点圆切于Fe,设RFe与DE、DF分别交于点M'、N'.以M'N'为直径的圆交BC于点P'、Q'.证明:
△AP'Q'的外接圆与⊙I的根轴平分线段BC.
69.设I是△ABC的内心,∠BAC、∠ABC、∠BCA的内角平分线分别交对边于点D、E、F.记
H是△DEF垂心.证明:
IH与△ABC的欧拉线平行.
70.设⊙O、⊙P、⊙Q分别是△ABC∠BAC、∠CBA、∠ACB内的旁切圆,G、H、I、J、K、
L分别是⊙P与AB、⊙Q与AC、⊙Q与BC、⊙O与AB、⊙O与AC、⊙P与BC的切点.证明∶△JKD、△LGE、△HIF、△ABC的欧拉线共点.
71.△ABC中,O为外心,K为△ABC九点圆圆心关于△ABC的等角共轭点.K在BC、CA、
AB上的射影分别为D、E、F,H是△DEF垂心.证明:
O、K、H共线.
72.已知H、I分别为△ABC垂心、内心,D、E、F分别在射线AH、BH、CH上,且AD=BE=CF=2r,
这里r是△ABC的内切圆半径.证明:
I也为△DEF内心.
73.已知B、I1、I2、C是⊙M上顺次四点,BI1与CI2交于A,△I1I2M的外接圆与AB、AC
再次交于M1、M2,点O'满足M1O'∥CI1,M2O'∥BI2.X、Y为△ABC的一组等角共轭点,
D、E分别在AB、AC上使得XD∥CI1、XE∥BI2,N为△BMC外接圆弧BC(不含M)的中点,XN与△BMC外接圆的另一个交点为F.证明:
X、Y、O'共线当且仅当△DEF外接圆与
△I1I2M的外接圆相切.
74.设△ABC∠BAC内的旁切圆切AB、AC于G、F,∠ABC内的旁切圆⊙P切AB、AC于E、
N,∠ACB内的旁切圆⊙Q切AB、AC于M、D.直线DE、MN分别交⊙Q于H、J,交⊙P
于I、K.HC、BI交于X,JF、KG交于Y,证明∶∠BAX=∠CAY.
75.△ABC的内切圆⊙I切BC于D,连接AD交⊙I于J,K在JD上且DK=AJ,若BJ⊥CJ,证明:
I、K关于△JBC等角共轭.
76.O为△ABC外心,BC、CA上的旁切圆切点分别是X、Y,AX、BY交于点N.圆Γ1切BA、
CA延长线于E、D使得AD=AE=BC,类似地定义Γ2、Γ3.⊙U为与Γ1、Γ2、Γ3均外切的圆,证明:
N、O、U共线.
77.△ABC内切圆⊙I切BC于D,∠ACB内的旁切圆⊙P分别切BC、AB、CA于E、F、G,
∠ABC内的旁切圆⊙Q分别切BC、CA、AB于H、J、K,CF与⊙P交于F、M两点,BJ与
⊙Q交于J、N两点.证明:
MJ、NF、AD共点.
78.P为圆外切四边形ABCD内任意一点,AP、DP分别交BC于N、M.证明:
△APD、△MPN、
△ABN、△CDM四个三角形的内心共圆.
79.设⊙I是△ABC的内切圆,△BCD外接圆⊙O1、△CAE外接圆⊙O2、△ABF外接圆⊙O3分别与⊙I内切于点D、E、F.GH与ST、JK与NP、LM与QR分别是⊙O2与⊙O3、⊙O1与⊙O2、⊙O3与⊙O1的外公切线(L、N、R、K在⊙O1上,P、H、J、S在⊙O2上,G、Q、
T、M在⊙O3上,GH、TS与A分别在BC的同侧、异侧,LM、RQ与B分别在AC的同侧、异侧,JK、YM与C分别在AB的同侧、异侧).设△GHF、△JKE、△LMD外接圆分别为
ω1、ω2、ω3,X、Y、Z分别是ω2与ω3、ω1与ω3、ω1与ω2的交点且X、A在BC异侧,Y、
C在BA异侧,Z、B在AC异侧.证明∶S△KSX•S△MNY•S△HQZ=S△LTX•S△GPY•S△RJZ.
80.圆外切四边形ABCD中两点P、Q满足∠DPA+∠BPC=∠DQA+∠BQC,I1、I2、I3、I4、I11、
I22、I33、I44分别是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA、△QAB、△QBC、△QCD、△QDA的内心.证明:
I1、I2、I3、I4共圆当且仅当I11、I22、I33、I44共圆.
81.△ABC的内切圆分别切AC、AB于E、F.P、Q分别为边AC、AB上的旁切圆切点.点M
为BC中点,PQ、EF交于R.设△ABC九点圆与内切圆切于K,证明:
M、R、K共线.
82.凸四边形ABCD中,△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的内心分别为ID、IA、IB、IC,∠
BAC与∠BDC的角平分线交于点E,∠ABD与∠ACD的角平分线交于点F,线段IDIA、IBIC、
EF的中点分别为X、Y、Z.证明:
X、Y、Z三点共线.
83.设ω1、ω2分别是过A、C且与△ABC内切圆内切于J的圆与过B、A且与△ABC内切圆内切于K的圆.设Q、R分别是ω1、ω2与BC的交点,ω1与AB交于P,ω2与AC交于S,X是△CSR∠C内的旁心,Y是△BPQ∠B内的旁心,M是△BSR的内心,N是△CPQ的内心.证明:
四边形XYMN是矩形.
84.设圆Γ过B,C且与△ABC的内切圆⊙I内切于点J,延长AJ交BC于K,交Γ于L.证明:
(KB/KC)2=(LB/LC)3.
85.⊙I、⊙J、⊙K与⊙O外切于X、Y、Z,EH、FL、MG分别是⊙I与⊙K、⊙I与⊙J、⊙J与⊙K的外公切线且均与⊙O相交,并且E、F、G、H、L、M均为切点.HG与ML、EF与
HG、EF与ML分别交于点U、V、W.证明:
YW·XV·ZU=WX·VZ·UY.
86.设I、O分别是△ABC的内心、外心,U、V分别为⊙O与⊙I的外位似中心与内位似中心,设E、F、Y、Z分别是BI与AC、CI与AB、BO与AC、CO与AB的交点.证明:
U、E、F共线的充要条件是V、Y、Z共线.
87.设P、Q是△ABC的一对等角共轭点且△ABC的重心G与P、Q共线.D、E、F分别是AP
与BC、BP与AC、CP与AB的交点,AQ、BQ、CQ分别与△ABC外接圆再次交于点X、Y、
Z,证明:
△ADX、△BEY、△CFZ外接圆有公共的根轴.
88.给定△ABC,证明:
在△ABC所在平面内存在唯一的一点P,使得△ABC、△PAB、
△PBC、△PCA的欧拉线互相平行.
89.设N为△ABC的九点圆圆心,N在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F,R为N
关于△DEF的等角共轭点,X是△AEF的九点圆圆心.证明:
RX垂直于BC.
90.设O、Ia、Ib、Ic分别是△ABC的外心、∠BAC内的旁心、∠ABC内的旁心、∠BCA内的旁心.设与⊙Ib、⊙Ic外切且与⊙O内切的圆与⊙O切于X,类似定义Y、Z.证明:
AX、
BY、CZ三线共点.
91.O为△ABC外心,P、Q为△ABC的一对等角共轭点.设D、E、F分别为AP与BC、
BP与CA、CP与AB的交点.设一条与OQ垂直的直线分别与BC、CA、AB交于点X、
Y、Z.证明:
△ADX外接圆、△BEY外接圆、△CFZ外接圆有一条公共的根轴.
92.设I、O分别为△ABC的内心、外心,D、E、F分别为AI与BC、BI与AC、CI与
AB的交点.设ωa为与AB、AC相切且与⊙O内切的圆,过E,F作ωa的切线(不同于直线
AB、AC)交于D1,X为ωa与⊙O切点,类似定义E1、F1、Y、Z.证明:
XD1、YE1、ZF1、OI四线共点.
93.设P为△ABC内一点,D、E、F分别是AP与BC、BP与AC、CP与AB的交点.设
△DEF外接圆与直线BC另一个交点为X,O为△ABC外心,T为△DEF垂心,X'为X
关于直线EF的对称点.证明:
AX'、BC、OT三线共点.
94.给定△ABC及与一点P,设AP与BC、BP与CA、CP与AB的交点分别为D、E、F.证明:
存在两点U、V使得V是U关于△ABC的等角共轭点,也是U关于△DEF的等角共轭点.
95.△ABC的垂心为H,AH与BC交点为D.U、V为线段BC上两点使得∠BHU=∠CHV,
PQ、RS为△ABC外接圆的两条弦且分别过U、V.证明:
△ADP、△ADQ、△ADR、△
ADS四个三角形的垂心共圆.
96.△ABC的内心、外心、垂心分别是I、O、H.P为直线OI上一点,Pa、Pb、Pc分别是P在BC、CA、AB上的射影.设AI、BI、CI与⊙O再次交于D、E、F,设D'、E'、F'分别为D关于Pa、E关于Pb、F关于Pc的对称点.证明:
D'、E'、F'、H四点共圆.
97.△ABC外心为O,P为△ABC所在平面内一点,D、E、F分别为P在BC、AC、AB上的射影,AP、BP、CP与⊙O再次交于点X、Y、Z.X'、Y'、Z'分别是X关于OD、Y关于OE、Z关于OF的对称点.证明:
AX'、BY'、CZ'三线共点.
98.△ABC外心为O,共轭重心为K,D与A在直线BC同侧且△BCD为正三角形,J是AD中垂线与BC交点,AJ与⊙O再次交于T.证明:
T关于△ABC的西姆松线平行于OK.
99.P为△ABC内一点,D、E、F分别是AP与BC、BP与AC、CP与AB交点,X、Y、Z分别是P在BC、CA、AB上的射影.P关于△ABC的等角共轭点Q,O为△ABC外心,r为⊙O半径.R在射线OQ上且OP·OQ=r2.△DEF外接圆与△XYZ外接圆有两个不同的交点T1、T2.l1、
l2分别为T1、T2关于△DEF的西姆松线,直线l3、l4使得l3∥l1且T1到l3的距离为T1到l1
距离的两倍,l4∥l2且T2到l4的距离等于T2到l2距离的两倍(T1在l1、l3的同侧,T2在l2、
l4的同侧).证明:
l3、l4一条过P,一条过R.
100.已知⊙O上顺次五点A、B、C、D、E,设ω1为与BC、AC相切且与⊙O内切的圆,ω2为与AD、BE相切且与⊙O内切的圆,ω3为与AD、BE相切且与⊙O外切的圆.证明:
C向
ω3所作的一条切线与ω1与ω2的一条公切线平行.
1'.已知⊙O1与△ABC的AB、BC边相切且与△ABC的外接圆内切于E,⊙O2与△ABC的AC、
BC边相切且与△ABC的外接圆内切于F,连接EO2、FO1交于X.证明:
AX平分∠BAC.
2'.一直线交△X1X2X3三边所在直线X2X3、X3X1、X1X2于A1、A2、A3.分别过A1、A2、A3作
X2X3、X3X1、X1X2的垂线,三垂线交成△Y1Y2Y3.证明:
直线A1A2A3平分△X1X2X3垂心和△
Y1Y2Y3垂心的连线段.
3'.设H为锐角△ABC的垂心,M为BC中点,⊙I1、⊙I2分别为△ABH、△ACH的内切圆.证明:
⊙I1、⊙I2除AH外的另一条内公切线过M.
4'.设△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于D、E、F.记D关于EF、E关于FD、F关于DE
的对称点分别为D’、E’、F’,V为△ABC的九点圆心.证明:
V在△D’E’F’的欧拉线上.
5'.△ABC内接与⊙O,H是△ABC的垂心,E、F分别是H关于直线AC、AB的对称点.OE与
AC交于M,OF与AB交于N,作平行四边形ABDC,设X、Y、Z分别是H在MN、ND、MD边上的射影.证明:
△XYZ的外接圆与△ABC的九点圆相切.
6'.已知⊙I为△ABC的内切圆,⊙U过B、C两点,⊙V与边AB、AC相切且与⊙U内切,l为平行于BC且与⊙I相切的直线(l不与BC重合),L为⊙U上任意一点,过L作⊙I的切线交l于E、F.证明:
△EFL的外接圆与⊙V相切.
7'.设K是△ABC的共轭重心,P是△ABC内任意一点,P在BC、CA、AB的射影分别为X、
Y、Z,G为△XYZ的重心,D在ABC的外接圆上且满足D关于△ABC的西姆松线与直线
KP平行.设直线AD、BC交于E;直线BD、AC交于F;直线EF、AB交于J.证明:
J、K、
G共线.
8'.设H、I分别为△ABC的垂心、内心,AB、AC上的旁切圆切点分别为F、E,线段BE与
CF相交于N.设HN中点为M,J在射线MI上满足JM·IM=MH²,直线IN与BC交于D,
G在线段BC上且满足BG=CD.证明:
GI=GJ.
9'.已知四边形ABCD为圆外切四边形,AC、BD的中垂线相交于P,设I1、I2、I3、I4分别为
△ABP、△BCP、△CDP、△DAP的内心.证明:
I1、I2、I3、I4四点共圆.
10'.设四边形ABCD内接于⊙U,⊙V与线段AC、BD相切(与线段BC相交)且与⊙U内切于T,F为劣弧BC上任意一点,⊙P与线段AF、BC相切(与线段AB相交)且与⊙U内切.设M是⊙P与BC的切点,延长DM交⊙U于E.⊙Q与线段DE、BC相切(与线段CD相交)且与⊙U内切,⊙R与直线BF、CE相切且与⊙U外切于X.设N是⊙Q与BC的切点.证明:
M、N、T、X四点共圆.
11'.△ABC内切圆⊙I分别与AB、AC、BC相切于点D、E、F,M为AI与BC的交点,P、
Q分别为I在DM、EM上的射影,X为BP与CQ的交点,L为线段AX上一点,过L作⊙I切线分别交BC于S、T.证明:
∠LAF=|∠XSC-∠XTB|.
12'.已知△ABC,⊙U过B、C两点,⊙V与线段AB、AC相切且与⊙U内切于T,设D、E分别AC、AB与⊙U的另一个交点,X在劣弧BC上,M、N分别是XD、XE与BC的交点,设⊙I1、⊙I2分别为△BXM、△CXN的内切圆,L为直线BC、XT的交点.证明:
L为⊙I1、
⊙I2的外位似中心.
13'.设△ABC∠A、∠B、∠C内的旁切圆分别是ΓA、ΓB、ΓC,ΓB与ΓC的外公切线(非直线BC)、ΓA与ΓB的外公切线(非直线AB)、ΓA与ΓC的外公切线(非直线AC)分别为
la、lb、lc.设AB与lb、CA与lc、BC与lc.AB与la、CA与la、BC与lb分别交于点A1、A2、
B1、B2、C1、C2.设△ABC的内心、重心分别为I、G,证明∶△A1B1C1外接圆与△A2B2C2外接圆的根轴为直线GI.
14'.已知△ABC满足AB>AC,D在线段AB上,E在线段CA延长线上,满足AD=AE.设I为
△ABC的内心,X为以A为圆心,AD为半径的圆与在BC上分比为(BD·ID)/(CE·IE)的阿波罗尼斯圆靠近I的交点.X在BC、CA、AB上的射影分别为M、N、L,J为△MNL的外心.证明:
IJ∥BC.
15'.直线l过△ABC的外心O,l1、l2、l3分别为l关于直线AB、AC、BC的对称直线.证明:
l1、
l2、l3交出的三角形的外接圆与⊙O正交.
16'.给定△ABC,证明∶其所在平面内存在一点P具有下述性质∶设直线AP与BC、BP与
CA、CP与AB分别交于点D、E、F,则AD=BE=CF.
17'.设H为△ABC的垂心,⊙I分别与线段BC、CA、AB切于D、E、F,X、Y、Z分别为
AD、BE、CF中点,P为△XYZ的外心.证明:
P、I、H三点共线.
18'.给定凸四边形ABCD,P为其所在平面内任意一点,点E、F、G、H、I、J分别在边AB、
BC、CD、DA、AC、BD上满足∠PHA=∠PEA=∠PFB=∠PGC=∠PIA=∠PJB(有向角),设GE、FH、IJ的中点分别为M、N、L.证明:
△MNL的形状与P点无关.
19'.设△ABC的外接圆、内切圆分别为ω、Γ,ΓA是与AB、AC相切且与圆ω内切的圆,类似定义ΓB、ΓC.设Q是Γ、ΓA、ΓC的根心,R是Γ、ΓA、ΓB的根心,P是Γ、ΓC、
ΓB的根心.设D、E、F分别为边BC、CA、AB中点,△DEF内切圆在DE、DF、EF上的切点分别为X、Y、Z.已知FX、EY、DZ共点于T,AP、BQ、CR共点于K.设G、I分别为△ABC的重心和内心,IG、TK相交于M.证明:
IM=3GM.
20'.P、Q为△ABC的一组等角共轭点,O是△ABC的外心,D、E、F分别为P在边BC、
CA、AB的射影,若△AEF、△BFD、△CDE的欧拉线共点于T.证明:
P关于T的对称点R
在OQ上.
21'.给定△ABC,求证:
其所在平面内存在满足下述性质的一点P:
设D、E、F分别是直线
AP与BC、BP与CA、CP与AB的交点,则△DEF的垂心和△ABC的垂心重合.
22'.设⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,过I作△BIC外接圆切线交AB于Y,交
AC于Z,过A的直线l与⊙O的另一个交点为X,P为直线l上一点,过P作⊙I的两条切线分别交BC于E、F.设△XEF的外接圆与⊙O的另外一个交点为T.证明:
△TYZ的外接圆与
⊙O相切.
23'.设D、E、F分别为△ABC顶点A、B、C在对边上的射影,P为△ABC所在平面内一点,
P在直线BC、CA、AB的射影分别为X、Y、Z,K为△ABC的九点圆心关于△ABC的等角共轭点.证明:
△XYZ的欧拉线平分PK的充要条件是P在△DEF的纽堡曲线上.(对于一个三角形而言,其所在平面内满足下述性质的点的轨迹称为该三角形的纽堡曲线:
该点与其关于
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