完整版初二奥数题及答案.docx
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完整版初二奥数题及答案
初二数学奥数
1如图,梯形ABCD中,AD//BC,DE^EC,EF//AB交BC于点F,EF=EC,连结DF。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;
⑵若AD=1,BC=3,DC=2,试判断厶DCF的形状;
(3)在条件
(2)下,射线BC上是否存在一点P,使厶PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿B宀C向终点C运动,连接
DM交AC于点N.
(1)如图25—1,当点M在AB边上时,连接BN.
1求证:
△ABNADN;
2若/ABC=60°AM=4,求点M至UAD的距离;
(2)
如图25—2,若/ABC=90°记点M运动所经过的路程为x(6 x为何值时,△ADN为等腰三角形. 3、对于点OM点M沿MO勺方向运动到O左转弯继续运动到N使OMkON,且OMLON,这一过程称为M点关于O点完成一次"左转弯运动”. 正方形ABCD^点P,P点关于A左转弯运动到Pi,Pi关于B左转弯运动到F2,F2关于C左转 弯运动到P3,P3关于D左转弯运动到R,R关于A左转弯运动到F5,……. (1)请你在图中用直尺和圆规在图中确定点Pi的位置; (2)连接PiA、PiB,判断△ABP与厶ADP之间有怎样的关系? 并说明理由。 (3) ⑶以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系,并且已知点B在第二象限,AP两点的 (1)如图1,当Rt△ABC向下平移到Rt△AB1C1的位置时,请你在网格中画出Rt△ABC关于直线QN成轴对称的图形; (2)如图2,在Rt△ABC向下平移的过程中,请你求出y与x的函数关系式,并说明当x分别取何值时,y取得最大值和最小值? 最大值和最小值分别是多少? (3)在Rt△ABC向右平移的过程中,请你说明当x取何值时,y取得最大值和最小值? 最大值和最值分别是多少? 为什么? 5、如图①,△ABC中,AB=AC,/B、/C的平分线交于0点,过0点作EF//BC交AB、AC于E、F. (1)图中有几个等腰三角形? 猜想: EF与BE、CF之间有怎样的关系,并说明理由. ⑵如图②,若ABMAC,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗? 如果有,分别指出它 们•在第 (1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗? ⑶如图③,若△ABC中/B的平分线B0与三角形外角平分线CO交于O,过0点作 0E//BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗? EF与BE、CF关系又如何? 说明你的理由。 6、已知,如图,△ABC中,/BAC=90°,AB=AC,D为AC上一点,且/BDC=124。 ,延长BA到点E,使AE=AD,BD的延长线交CE于点F,求/E的度数。 7、如图,正方形ABCD勺对角线AC,BD交于点0,将一三角尺的直角顶点放在点0处,让 其绕点0旋转,三角尺的直角边与正方形ABCD勺两边交于点E和F。 通过观察或测量0E,0F 的长度,你发现了什么? 试说明理由。 1解: (1证明: TEF=EC,•••/EFC=/ECF,•/EF//AB,/-ZB=/EFC, •••/B=ZECF,•梯形ABCD是等腰梯形; 1 (2)△DCF是等腰直角三角形,证明: TDE=EC,EF=EC,/EF=CD, 2 •••△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角 形是直角三角形) •••梯形ABCD是等腰梯形,•CF=1(BC-AD)=1,•/DC=、2,•••由勾股定理得: 2 DF=1, •••△DCF是等腰直角三角形; (4) 共四种情况: PB=1,PB=2,PB=3-.2,PB=3+..2 •AH=2.•DH=6+2=8. (2)解: ABC=90°,•菱形ABCD是正方形.CAD=45°. 下面分三种情形: (I)若ND=NA,则ZADN=ZNAD=45°. 此时,点M恰好与点B重合,得x=6; (H)若DN=DA,则ZDNA=ZDAN=45°.此时,点M恰好与点C重合,得x=12; (川)若AN=AD=6,则Z1=Z2.•/AD//BC,1=Z4,又Z2=Z3, •Z3=Z4.•CM=CN.•AC=62.•CM=CN=AC-AN=62-6. 故x=12-CM=12-(62-6)=18-62. 综上所述: 当x=6或12或18-62时,△ADN是等腰三角形。 (2)△ABP1◎△ADP,且△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得. 理由如下: 在△ABP1和厶ADP中, 由题意: AB=AD,AP=AP1,ZPAD=ZP1AB, •△ABP1◎△ADP,又ABP1和厶ADP有公共顶点A,且ZPAP1=90 •••△ABPi可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得; (3)点P(1,1)关于点A(0,4)左转弯运动到P1(-3,3), 点P1(-3,3)关于点B(-4,4)左转弯运动到点P2(-5,3), 点P2(-5,3)关于点C(-4,0)左转弯运动到点P3(-1,1), 点P3(-1,1)关于点D(0,0)左转弯运动到点P4(1,1),点P4(1,1)关于点A(0,4)左转弯运动到点P5(-3,3), 点P5与点P1重合,点P6与点P2重合,,点P2009的坐标为(-3,3)点P2010的坐标为(-5,3). 4、解: (1)如图1,△A2B2C2是厶A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形; 则有: MA=x,MB=x+4,MQ=20, y=S梯形QMBC-S^AMQ-SSBC =2x+40(0 由一次函数的性质可知: 当x=0时,y取得最小值,且y最小=40, 当x=16时,y取得最大值,且y最大=2X16+40=72; (3)解法 当厶ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时,此时16Wxw32,PB=20-(x-16)=36-x,PC=PB-4=32-x, •-y=S梯形BAQP-S^CPQ-S^ABC= (4+20)(36-x)-1X20X(32-x)-1X4X4 22 =-2x+104(16 由一次函数的性质可知: 当x=32时,y取得最小值,且y最小=-2X32+104=40;当x=16时,y取得最大值,且y最大=-2X16+104=72. 解法二: 在厶ABC自左向右平移的过程中, △QAC在每一时刻的位置都对应着 (2)中厶QAC某一时刻的位置,使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称. 因此,根据轴对称的性质, 只需考查厶ABC在自上至下平移过程中厶QAC面积的变化情况,便可以知道△ABC在自左向右平移过程中厶QAC面积的变化情况.当x=16时,y取得最大值,且y最大=72,当x=32时,y取得最小值,且y最小=40. 5、解: (1)图中有5个等腰三角形, EF=BE+CF,•••△BEO◎△CFO,且这两个三角形均为等腰三角形,可得EF=EO+FO=BE+CF; (2)还有两个等腰三角形,为△BEO>△CFO, 如下图所示: •••EF//BC,aZ2=/3, 又•••/1=/2,•••/仁/3, •••△BEO为等腰三角形,在△CFO中,同理可证. (3)有等腰三角形: △BEO、△CFO,此时EF=BE-CF, •••如下图所示: OE//BC,•/5=/6, 又/4=/5,•/4=/6,•,△BEO是等腰三角形, 在厶CFO中,同理可证△CFO是等腰三角形, 此时EF=BE-CF, G一 ft^5 6、解: 在△ABD和厶ACE中, •/AB=AC,/DAB=/CAE=90°AD=AE, •••△ABD◎△ACE(SAS), •••/E=/ADB. •••/ADB=180°-/BDC=180°-124°=56° •••/E=56°. 7、解: OE=OF. 证明: 正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O, •OA=OB,/OAB=/OBE=45°,AC丄BD. •••/AOF+/FOB=/EOB+/FOB=90°, •••/AOF=/EOB. 在厶AOF和厶BOE中 /OAB=/OBE,OA=OB,/AOF=/EOB, •△AOF◎△BOE(ASA). •OE=OF.
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