学年最新高中数学北师大版必修一25《第2课时函数的奇偶性》同步测试.docx
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学年最新高中数学北师大版必修一25《第2课时函数的奇偶性》同步测试
第二章 §5 第2课时函数的奇偶性
一、选择题
1.下列说法中不正确的是( )
A.图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B.奇函数的图像一定过原点
C.偶函数的图像若不经过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数个
D.图像关于y轴呈轴对称的函数一定是偶函数
[答案] B
[解析] ∵奇函数的图像不一定过原点,如y=
,故应选B.
2.已知函数f(x)=x4,则其图像( )
A.关于x轴对称B.关于y轴对称
C.关于原点对称D.关于直线y=x对称
[答案] B
[解析] ∵f(-x)=x4=f(x),
∴函数f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称.
3.下列表示具有奇偶性的函数的图像可能是( )
[答案] B
4.(2014·新课标Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数
[答案] C
[解析] 本题考查复合函数的奇偶性.函数f(x)是奇函数,则函数|f(x)|是偶函数,所以选项A得到的函数是奇函数;选项B、D是偶函数;所以选C,一个奇函数和一个偶函数的积在其公共的定义域内是奇函数.
5.函数f(x)=
+x-1,若f(a)=2,则f(-a)=( )
A.-2B.2
C.1D.-4
[答案] D
[解析] 令g(x)=
+x,则g(x)为奇函数.
∵f(a)=g(a)-1=2,∴g(a)=3.
∴f(-a)=g(-a)-1=-g(a)-1=-4,故选D.
6.设f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增加的,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是( )
A.{x|-3
B.{x|x<-3或0 C.{x|x<-3或x>3} D.{x|-3 [答案] B [解析] x>0时f(3)=-f(-3)=0, 又∵f(x)在(0,+∞)内是增加的, ∴x∈(0,3)时f(x)<0, 又∵f(x)为奇函数.当x<0时,只有x∈(-∞,-3)时,f(x)<0,故选B. 二、填空题 7.已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,则f(-2)、f (1)、f(-3)的大小关系是____________. [答案] f (1) [解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(-2)=f (2),f(-3)=f(3), ∵f(x)在[0,+∞)上是增加的,且1<2<3, ∴f (1) (2) (1) 8.下列函数中是奇函数的序号是________. ①y=- ;②f(x)=x2;③y=2x+1;④f(x)=-3,x∈[-1,2]. [答案] ① [解析] y=- 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-f(x),所以是奇函数;f(x)=x2的定义域为R,且f(-x)=f(x),所以是偶函数;y=2x+1的定义域为R,图像既不关于原点对称,也不关于y轴对称是非奇非偶函数;f(x)=-3x,x∈[-1,2],定义域不关于原点对称,不具备奇偶性. 三、解答题 9.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x2; (2)f(x)=0; (3)f(x)=(1+x)3-3(1+x2)+2; (4)f(x)= ; (5)f(x)= . [解析] (1)函数的定义域为R,它关于原点对称, 但f(-x)=-x3+x2与-f(x)和f(x)都不相等, 所以f(x)=x3+x2为非奇非偶函数. (2)函数的定义域为R,它关于原点对称, 因为f(-x)=0,f(x)=0, 即f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)同时成立. 所以f(x)=0既是奇函数又是偶函数. (3)函数的定义域为R, f(x)=(1+x)3-3(1+x2)+2=x3+3x, f(-x)=-x3-3x=-f(x).故f(x)是奇函数. (4)定义域为{x∈R,x≠0},而当x>0时,-x<0, f(-x)=-x(1-x)=-f(x); 当x<0时,-x>0,f(-x)=-x(1+x)=-f(x); ∴f(-x)=-f(x).故f(x)是奇函数. (5)解法1: 函数的定义域为实数集R,且 f(-x)+f(x)= + = = =0, ∴f(-x)=-f(x),故f(x)在R上是奇函数. 解法2: 当x≠0时,f(x)≠0,此时 = = = = =-1, 即f(-x)=-f(x).当x=0时,f(-0)=0=-f(0). ∴f(x)在R上为奇函数. 10.已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减少的,若f(a)≥f (2),求实数a的取值范围. [解析] 解法1: 因为y=f(x)在R上为偶函数,且在(-∞,0]上是减少的, 所以y=f(x)在[0,+∞)上为增加的. ①当a≥0时,因为f(a)≥f (2),所以a≥2. ②当a≤0时,因为f(x)为偶函数, 所以f (2)=f(-2). 又因为f(a)≥f (2),所以f(a)≥f(-2). 而f(x)在(-∞,0]上为减少的,所以a≤-2. 由①②可得a≤-2或a≥2. 解法2: 因为f(x)在R上为偶函数且在(-∞,0]上为减少的, 所以y=f(x)在[0,+∞)上是增加的. 因此由f(|a|)=f(a)≥f (2)得|a|≥2,解得a≤-2或a≥2. 即a的取值范围为a≤-2或a≥2. 一、选择题 1.(2014·湖南高考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f (1)+g (1)=( ) A.-3B.-1 C.1D.3 [答案] C [解析] ∵f(x)-g(x)=x3+x2+1, ∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,① 又∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1,② 由①②得f(x)=x2+1,g(x)=-x3, ∴f (1)=2,g (1)=-1,∴f (1)+g (1)=1. 2.已知定义域为R的函数f(x)在(2,+∞)上是增加的,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论不成立的是( ) A.f(0)>f (1)B.f(0)>f (2) C.f (1)>f (2)D.f (1)>f(3) [答案] D [解析] ∵函数y=f(x+2)为偶函数, 令g(x)=f(x+2), ∴g(-x)=f(-x+2)=g(x)=f(x+2), ∴f(x+2)=f(2-x), ∴函数f(x)的图像关于直线x=2对称, 又∵函数f(x)在(2,+∞)上是增加的, ∴在(-∞,2)上为减函数,利用距对称轴x=2的远近可知, f(0)>f (1),f(0)>f (2),f (1)>f (2),f (1)=f(3). 二、填空题 3.已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=2x2-1,那么f(-1)=________. [答案] -1 [解析] ∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f (1)=-(2×12-1)=-1. 4.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),又知当0 [答案] -0.5 [解析] ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2) =f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5) =-f(-0.5+2)=f(-0.5), 又f(x)为奇函数,∴f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 三、解答题 5.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若f(1-m) [分析] 已知条件较多,充分利用已知条件: f(1-m) [解析] 因为f(x)在[-2,2]上为偶函数,f(1-m) 所以 即 解得 6. (1)函数y=f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增加的,试比较f(- )与f (1)的大小; (2)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的表达式. [解析] (1)∵-1<- ,且函数y=f(x)在(-∞,0]上是增加的, ∴f(-1) ). 又∵y=f(x)是偶函数, ∴f(-1)=f (1).∴f (1) ). (2)由f(x)+g(x)=x2+x-2,① 得f(-x)+g(-x)=x2-x-2. ∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(x)-g(x)=x2-x-2.② ①+②得2f(x)=2x2-4,∴f(x)=x2-2. ①-②得2g(x)=2x,∴g(x)=x. 7.已知函数f(x)= (a、b、c∈Z)是奇函数,并且f (1)=2,f (2)<3,求a、b、c. [分析] 根据定义,应使f(x)+f(-x)=0对定义域内的任意x恒成立的式子即为恒等式. [解析] ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即 =- , ∴ =0, 即 =0. ∵ax2+1不恒为0,∴c=0. 又∵f (1)=2, ∴ =2.∴a+1=2b. 又∵f (2)<3,∴ <3. 将2b=a+1代入上式 <3,得 <0.
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