牛顿的微积分高数.docx
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牛顿的微积分高数
第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法
130 130
§3-6 常用积分公式表·例题和点评
⑴
dkxkxc=+ò (k为常数)
⑵1
1
d
(1)1
xxxcm
mmm+¹-=
++ò 特别,
2
1
1dxcx
x
=-
+ò,
3
22d3
xxxc=
+ò
1d2xxcx
=+ò
⑶
1
dln||xxcx=+ò
⑷dlnx
x
aaxca
=
+ò, 特别,
edexxxc=+ò
⑸sindcosxxxc=-+ò
⑹cosdsinxxxc=+ò ⑺
2
2
1
dcscdcotsinxxxxcx==-+òò
⑻
2
2
1
dsecdtancosxxxxcx==+òò
⑼22
1darcsin(0)x
xcaa
ax=+>-ò,特别,2
1darcsin1xxcx
=+-ò
⑽2
2
1
1darctan
(0)xxcaa
a
a
x=
+>+ò,特别,
21
darctan1xxcx
=++ò
⑾2
2
1
1dln
(0)2axxcaa
ax
a
x+=
+>--ò
或
2
2
1
1dln
(0)2xaxcaa
xa
x
a-=
+>+-ò
⑿
tandlncosxxxc=-+ò ⒀cotdlnsinxxxc=+ò
⒁lncsccot1cscddlntansin2xxc
xxxx
cxì-+ï
=
=í+ïî
ò
ò
⒂plnsectan1
secddlntancos24xxcxxxxcxì++ï=
=æö
í++ç÷ïèøîò
ò
历史老照片不能说的秘密慈禧军阀明末清初文革晚清
§3-6 常用积分公式·例题和点评 131
131
⒃(0)
2
2
1daxxa
>==±ò
22
lnxxac+
±+
⒄
2
(0)
22
22
darcsin22aa
xxaxxaxca
>-==
+
-+ò
⒅
22
dxax±ò
2
(0)
2
2
22
ln2
2
axa
xa
xxa
c>==
±±
+±+
⒆2
2
2
2
sincose
sindesincose
cosde
ax
ax
ax
ax
abxbbxbxxc
ab
bbxabx
bxxc
ab-ì=+ïï+í+ï=+ï+î
òò
⒇
12
22221
2
1
23d()2
(1)()2
(1)n
nn
nx
nxca
xnaaxnaI
I---==
+
++-+-ò(递推公式)
跟我做练习
(一般情形下,都是先做恒等变换或用某一个积分法,最后套用某一个积分公式) 例24 含根式++2
axbxc的积分 ⑴2
2
45d
(2)1d
(2)xxxxx-+=
-+-ò
ò
[套用公式⒅]
2
2
21
(2)1ln
(2)
(2)12
2
xxxx-=
-++
-+-+
⑵[]
22
145d(24)445d2
xxxxxxxx-+=
-+-+òò
22
2
145d(45)2
45d2
xxxxxxx=-+-++-+ò
ò
=(请你写出答案)
⑶
2
2
11
dd
(2)45
(2)1
xxxxx=
--+-+ò
ò
2ln
(2)
(2)1xxéù=-+
-+ëû
[套用公式⒃]
⑷
2
2
1(24)4dd2
45
45
xxxxxxxx-+=
-+-+ò
ò
22
2
1d(45)12
d2
45
45
xxxxxxx-+=
+-+-+ò
ò
=(请你写出答案)
⑸
2
22
54d3
(2)d
(2)xxxxx+-=
---ò
ò
2
22
3
22arcsin
3
(2)2
3
2
xxx--=
+
--
[套用公式⒄]
第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法
132 132
⑹[]22
154d(42)454d2
xxxxxxxx+-=
--+--ò
ò
22
2
154d(54)2
54d2
xxxxxxx=-
+-+-++-ò
ò
=(请你写出答案)
⑺
2
2
2
dd
(2)543
(2)
xxxx
x-=
=+---ò
ò
[套用公式⑼]2arcsin
3
x-=
⑻
[]2
2
(42)4dd12
5454xx
xxxx
xx
--=
-+-+-ò
ò
2
2
2
1d(54)d2
2
5454xxxxx
xx
+-=
+-+-+-ò
ò
=(请你写出答案)
例25 求原函数4
1
d1xx
+ò.
解 因为
)21)(21()2()1
(2)21(12
2
2
222
4
2
4
xxxxxxx
xx
x
+-
++
=-+=-++=+
所以令
4
221121
21
AxBCxDxxxxx++=
+
++
+-
+为待定常数)
DCBA,,,(
()()
222
2
()(21)()(21)
21
21
AxBxxCxDxxx
xx
x+-+++++=
+
+-
+
从恒等式1)12)(()12)((2
2º++
+++-
+xxDxCxxBAx(两端分子相等),可得方程组
ïïî
ïï
í
ì
=+=+++-=++-=+(三次项系数)
(二次项系数)(一次项系数)常数项0022022)(1CADCBADCBADB
解这个方程组(在草纸上做),得2
1,2
21,2
1,2
21=
-
==
=
DCBA. 因此,
4
1
d1xx
+ò2
2
1
1
1
12
2
22
22
dd21
21
xxxxx
xx
x+
-
+
=
+
++-+òò
右端的第一个积分为
§3-6 常用积分公式·例题和点评 133
133
2
22
2
1
11(22)2
1(22)d11
222
ddd4
21
42
21
42
21
21
xxxxxxxx
xxxx
xx
x+
+++
=
=
+
+++
++
+++òò
òò
22
22
1
d(21)11
d4
42
21
2122xxxxxx++=
+
+
+æ
öæö++ç÷ç÷
èøè
øò
ò(套用积分公式)
211ln(21)arctan(21)42
22
xxx=
+
++
+
类似地,右端的第二个积分为
22
1111222
dln(21)arctan(21)21
42
22
xxxxxxx-
+
=-
-
++
--+ò
所以
4
1
d1xx
+ò22
12111ln
arctan(21)arctan(21)42212222
xxxxxx++=
+
++
--+
2
2
212112lnarctan
142
21
22
xxxx
xx++=+--
+(见下注)
【注】根据tantantan()1tantanababab
++=
-×,则
22
(21)(21)222tanarctan(21)arctan(21)2
(1)11(21)(21)xxxx
xxxxxx++-éù++-===
ëû---+- 因此,
2
2arctan(21)arctan(21)arctan
1xxxx
++-=-
例26 求
d(01)1cosx
x
ee<<-ò. [关于
d(01)1cosx
xee<<+ò,见例17]
解 令tan2
xt=(半角替换),则
2
2
2
2
2
22coscos
sin
2cos
111222
sec
1tan
2
2
xxxxxx=-=-=
-=
-+22
11tt-=
+
2
2
dd(2arctan)d1xttt==
+
于是,
2
2
2
2
d12
dd2
11cos1
(1)
(1)11xt
tt
xtt
teeee=
=--+-++-+òòò2
2d111t
t
ee
e
=
-+++ò
第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法
134 134
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