中考数学复习第六单元圆圆中的证明与计算巩固集训试题.docx
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中考数学复习第六单元圆圆中的证明与计算巩固集训试题
第六单元 圆
圆中的证明与计算巩固集训
(建议答题时间:
:
60分钟)
1.如图,⊙O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的最大面积是( )
A.
B.
C.
D.
第1题图
2.如图,四边形ABCD的面积为20,直线AB,BC,CD,DA都与⊙O相切,AB=4,CD=6,则⊙O的半径为( )
第2题图
A.4B.3C.2D.1
3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以OB为直径画⊙M,过点D作⊙M的切线,切点为N,分别交AC、BC于点E、F,已知AE=5,CE=3,则DF的长是( )
A.3B.4C.4.8D.5
第3题图
4.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O直径,AD=6,则DC=________.
第4题图
5.如图,已知半圆O的直径AB=4,沿它的一条弦EF折叠,若折叠后的圆弧与直径AB相切,则折痕EF的最小值为________,最大值为________.
第5题图
6.(2018原创)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=3,点D是射线BA上的动点,过点D作DE⊥AB交射线BC于点E,以DE为直径作⊙O,当点D从点B向射线BA方向运动时,⊙O恰好与直线AC相切,则此时⊙O的半径为________________.
第6题图
7.(2017德州)如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点.以AC为直径的⊙O交AB于点E.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的长.
第7题图
8.(2017郴州)如图,AB是⊙O的弦,BC切⊙O于点B,AD⊥BC,垂足为D,OA是⊙O的半径,且OA=3.
(1)求证:
AB平分∠OAD;
(2)若点E是优弧
上一点,且∠AEB=60°,求扇形OAB的面积.(计算结果保留π)
第8题图
9.(2017黔东南州)如图,已知直线PT与⊙O相切于点T,直线PO与⊙O相交于A,B两点.
(1)求证:
PT2=PA·PB;
(2)若PT=TB=
,求图中阴影部分的面积.
第9题图
10.(2017柳州)如图,已知AO为Rt△ABC的角平分线,∠ACB=90°,
=
,以O为圆心,OC为半径的圆分别交AO,BC于点D,E,连接ED并延长交AC于点F.
(1)求证:
AB是⊙O的切线;
(2)求tan∠CAO的值;
(3)求
的值.
第10题图
11.(人教九上124页13题改编)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC=10,直径AD交BC于M,BE平分∠ABC且交AD于E,DF∥BC且交AC的延长线于F.
(1)求证:
DF是⊙O的切线;
(2)求证:
BD=DE;
(3)若EM=3,tan∠EBD=2,求CF的长.
第11题图
答案
1.D 【解析】连接OA、OB,如解图①,∵OA=OB=1,AB=1,∴△OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠APB=
∠AOB=30°,∵AC⊥AP,∴∠C=60°,∵AB=1,要使△ABC的面积最大,则点C到AB的距离最大,∵∠ACB=60°,∴点C在⊙D上,且∠ADB=120°,如解图②,当点C为优弧AB的中点时,即点C到AB的距离最大,此时△ABC为等边三角形,且面积为
AB2=
,∴△ABC的最大面积为
.
图①
图②
第1题解图
2.C 【解析】如解图,设⊙O与AB、BC、CD、DA分别相切于E、F、G、H,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG,OH,设半径为r,由题意可得AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=(AH+BF)+(DH+CF)=AB+CD=10,∴S四边形ABCD=S△AOB+S△OBC+S△CDO+S△ADO=
(AB+BC+CD+AD)r=20,即
×20r=20,∴r=2.
第2题解图
3.C 【解析】如解图,延长EF,过点B作直线BP平行于AC和EF相交于点P,∵AE=5,EC=3,∴AC=AE+CE=8,∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC=
AC=4,AC⊥BD,∴OE=OC-CE=4-3=1,∵以OB为直径画⊙M,∴AC是⊙M的切线,∵DN也是⊙M的切线,∴EN=OE=1,MN⊥DN,∴∠DNM=∠DOE=90°,∵∠MDN=∠EDO,∴△DMN∽△DEO,∴DM∶DE=MN∶EO,∵MN=BM=OM=
OB,∴DM=OD+OM=3MN,∴DE=3OE=3,∵OE∥BP,∴OD∶OB=DE∶EP,∵OD=OB,∴EP=DE=3,∴BP=2OE=2,∵△EFC∽△PFB,∴EF∶PF=EC∶PB=3∶2,∴EF∶EP=3∶5,∴EF=EP×
=1.8,∴DF=DE+EF=3+1.8=4.8.
第3题解图
4.2
【解析】∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=∠BCD=90°,∵∠BAC=120°,∴∠CAD=120°-90°=30°,∴∠CBD=∠CAD=30°,∴∠BDC=60°∵AB=AC,∴∠ADB=∠ADC,∴∠ADB=
∠BDC=
×60°=30°,∵AD=6,∴在Rt△ABD中,BD=4
,在Rt△BCD中,DC=
BD=
×4
=2
.
5.2
;2
【解析】如解图①,当点F与点B重合时,切点为F,EF最小,则OF=O′F=OE=O′E=2,且OF⊥O′F,∴四边形OFO′E是正方形,∴EF=
=2
;如解图②,当EF∥AB时,切点为O,EF最大,∴O′C=OC=1,∴CE=
,∴EF=2
.
第5题解图
6.
或
【解析】①如解图①,当点O在直线AC左侧时,过点O作OF⊥AC于点F,再过点E作EH⊥OF于点H.在Rt△ABC中,AB=
=
=5,又∵DE⊥AB,∴∠BDE=∠OHE=∠ACB=90°,而OF∥BC,∴∠EOH=∠BED,∴∠A=∠BED=∠EOH,∴△BDE∽△BCA∽△EHO.设⊙O半径为x,则OD=OE=x,∴
=
=
=
,∴OH=
x,BE=
DE=
×2x=
x,∴HE=
x,∴HF=CE=4-
x.当⊙O与直线AC相切时,OD=OF,即x=
x+4-
x,解得x=
,∴此时⊙O的半径为
;②如解图②,当点O在直线AC右侧时,过点O作OG⊥AC交AC于点G,再过点O作OP⊥BE于点P.设DE=2y,同理可得PE=
y,BE=
DE=
×2y=
y,∴OG=CP=
y-
y-4,当⊙O与直线AC相切时,OG=OD,即
y-
y-4=y,解得y=
,∴此时⊙O的半径为
.综上所述,若⊙O恰好与直线AC相切,则⊙O的半径为
或
.
图①
图②
第6题解图
7.
(1)证明:
如解图①,连接OE,CE,
第7题解图①
∵AC是⊙O的直径,
∴∠AEC=∠BEC=90°,
∵D是BC的中点,
∴ED=
BC=DC,
∴∠1=∠2,
∵OE=OC,
∴∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD,
∵∠ACD=90°,
∴∠OED=90°,即OE⊥DE.
又∵E是⊙O上一点,
∴DE是⊙O的切线;
【一题多解】如解图②,连接OE,CE,OD,∵AC是⊙O的直径,
第7题解图②
∴∠AEC=90°,
∵D是BC的中点,∴DE=DC,
∵OE=OC,OD=OD,
∴△OED≌△OCD(SSS),
∴∠OED=∠OCD=90°,
∵OE为⊙O半径,
∴DE是⊙O的切线.
(2)解:
由
(1)知∠BEC=90°,
在Rt△BEC和Rt△BCA中,∠B为公共角,
∴△BEC∽△BCA,
∴
=
,
即BC2=BE·BA,
∵AE∶EB=1∶2,设AE=x,则BE=2x,BA=3x.
又∵BC=6,
∴62=2x·3x,
∴x=
,即AE=
.
8.
(1)证明:
如解图,连接OB,
第8题解图
∵BC切⊙O于点B,
∴OB⊥BC,
又∵AD⊥BC,
∴OB∥AD,
∴∠BAD=∠ABO,
∵OA=OB,
∴∠BAO=∠ABO,
∴∠BAD=∠BAO,即AB平分∠OAD;
(2)解:
∵∠AEB=60°,
∴∠AOB=2∠AEB=120°,
又∵OA=3,
∴S扇形OAB=
=3π.
9.
(1)证明:
如解图,连接OT,∵AB是⊙O的直径,
第9题解图
∴∠ATB=90°,
∴∠TAB+∠TBA=90°,
∵OT=OA,
∴∠OAT=∠OTA,
∵PT与⊙O相切于点T,
∴∠PTO=90°,
∴∠PTA+∠ATO=90°,
∴∠PTA=∠PBT,
∵∠TPA=∠BPT,
∴△TPA∽△BPT,
∴
=
,
∴PT2=PA·PB;
(2)解:
∵PT=
,PT2=PA·PB,∴PA·PB=3,
∵PT=TB,
∴∠B=∠P,
∵∠B=∠PTA,
∴∠P=∠PTA,
∴PA=AT,
设⊙O的半径为r,则
PA(PA+2r)=3,
在Rt△ATB中,AT2+BT2=AB2,即PA2+3=4r2.
解得r=1,PA=AT=1,
∴△ATO为等边三角形,
∴∠AOT=60°,
∴S扇形AOT=
=
,
S△AOT=
S△ATB=
×
AT·TB=
,
∴S阴影=
-
.
10.
(1)证明:
如解图,作OG⊥AB于点G.
第10题解图
∵AO平分∠BAC,∠ACB=90°
∴OC=OG,即OG为⊙O的半径,
又∵OG⊥AB,
∴AB是⊙O的切线;
(2)解:
设AC=4x,BC=3x,⊙O半径为r,则AB=5x,由切线长定理知,AC=AG=4x,故BG=x.
∵tanB=
=
=
,
∴OG=
BG=
x,
∴tan∠CAO=tan∠GAO=
=
;
(3)解:
在Rt△OCA中,AO=
=
x,
∴AD=OA-OD=
(
-1)x.
连接CD,则∠DCF+∠ECD=∠ECD+∠CEF,
∴∠DCF=∠CEF,
又∵∠CEF=∠EDO=∠FDA,
∴∠DCF=∠ADF,
又∵∠FAD=∠DAC,
∴△DFA∽△CDA,
∴
=
,
即
=
,
∴AF=
(
-1)2x,
∴
=
=
=
.
11.
(1)证明:
∵AD为⊙O的直径,∴∠ABD=90°.
∵AB=AC,∴
=
.
∴∠ADB=∠ABC,
又∵∠BAM=∠BAD,
∴△ABM∽△ADB,
∴∠AMB=∠ABD=90°,
∴AD⊥BC,
∵DF∥BC,
∴AD⊥DF,
∵OD是⊙O的半径,
∴DF是⊙O的切线.
(2)证明:
如解图,连接CD,
第11题解图
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=∠ACD=90°,
∵AB=AC,AD=AD,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),
∴BD=CD,
∴
=
,
∴∠BAD=∠DBC.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵∠BED=∠EBA+∠BAE,∠DBE=∠DBC+∠CBE,
∴∠DBE=∠BED,
∴BD=DE.
(3)解:
∵∠BED=∠EBD,
∴tan∠BED=tan∠EBD=2,
∴tan∠EBM=
,
在Rt△BME中,EM=3,tan∠EBM=
,
∴BM=
=6.
在Rt△ABM中,AB=10,BM=6,
由勾股定理得:
AM=8,
∴tan
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