第1讲整式的恒等变形.docx
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第1讲整式的恒等变形
第一讲整式的恒等变形
【专题知识点概述】
把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式,叫做代数式的恒等变形。
代数式的恒等变形是数学的基础知识,它在化简、求值、证明恒等式等问题中,有着广泛的应用。
通过代数式的恒等变形,对学生准确理解有关概念,掌握有关法则,提高运算能力、逻辑推理能力,增强解题的灵活性,都有重要的意义。
整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种,它既是代数式恒等变形的基础,又具有独特的复杂性和技巧性。
整式的恒等变形涉及到的主要内容有:
整式的各种运算性质和法则;各种乘法公式的正、逆应用,变形应用;因式分解的有关知识等。
其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外,有时还用到下面几个:
(1)
(2)
(3)
下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧:
1、运用运算性质和法则
Ø例1.设x、y、z都是整数,且11整除7x+2y-5z,求证:
11整除3x-7y+12z。
Ø例2.已知
,当x=0时,y=-3;当x=-5时,y=9,求x=5时y的值。
Ø例3.若a、b、c都是自然数,且满足
且c-a=19,求d-b的值。
2、灵活应用乘法公式
乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具,我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中,如何灵活巧妙的运用乘法公式。
Ø例4.计算
Ø例5.已知整数a、b、(a-b)都不是3的倍数,试证
是9的倍数。
Ø例6.当
(1)bc+ca+ab;
(2)
Ø例7.试求
。
Ø例8.求证:
本公式在整式的恒等变形中,经常使用的是“若a+b+c=0,则
”和其逆命题。
例如:
设a、b、c为有理数,且a+b+c=0,
.证明对于任何正奇数n,都有
。
3.配方法
配方法是一种重要的数学方法,配方法在恒等变形中应用十分广泛。
在配方时,还常常要用到拆项或者补项的技巧。
Ø例9.证明:
当a、b取任意有理数时,多项式
的值总是正数。
Ø例10.若
。
Ø例11.已知a、b、c、d为四边形的四条边,且
求证:
此四边形是菱形。
Ø例12.解方程
。
Ø例13.若a、b、c、d是整数,且
,求证mn可以表示成两个整数的平方和。
4、应用因式分解
应用因式分解来进行整式的恒等变形,也是一种常用的方法。
Ø例14.在三角形ABC中,
(a、b、c是三角形的三条边),求证:
a+c=2b。
Ø例15.已知
,试求(a-b)(b-c)(c-a)的值。
Ø例16.已知
,求适合等式
的整数a、b、c的值。
Ø例17.解方程
。
5、代换法
所谓代换法,就是用字母替代或者等量替换的方法,有时应用的换元法就是其中的一种。
Ø例18.已知a、b、c、d适合
。
求证:
。
Ø例19.证明:
Ø例20.已知
,求证x、y、z中至少有一个等于1。
Ø例21.证明:
Ø例22.设
是x的一次式的完全立方式,求证3mr=
Ø例23.已知
。
求证:
Ø例24.设
,证明:
Ø例25.已知a、b、c两两不等,且满足关系式:
。
(1)求m的值;
(2)求证:
。
Ø例26.证明:
如果当自变量x取任意整数值时,二次三项式
总取整数值,那么2a,a+b,和c都是整数,并且反过来也成立。
Ø例27.已知
求证:
。
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- 关 键 词:
- 整式 恒等 变形