平面向量的概念及线性运算.docx
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平面向量的概念及线性运算
§5.1 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有______又有______的量;向量的大小叫做向量的______(或称______)
平面向量是自由向量
零向量
长度为______的向量;其方向是任意的
记作______
单位向量
长度等于________的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向____或____的非零向量
0与任一向量______或共线
共线向量
__________________的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度______且方向______的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量
长度______且方向____的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律:
a+b=____________.
(2)结合律:
(a+b)+c=____________.
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
________法则
a-b=a+(-b)
数乘
数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=________;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向________;当λ<0时,λa的方向与a的方向________;当λ=0时,λa=______
λ(μa)=______;(λ+μ)a=________;
λ(a+b)=_______
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得______.
[难点正本 疑点清源]
1.向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小.
2.向量平行与直线平行的区别
向量平行包括向量共线和重合的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.
1.化简
-
+
-
的结果为________.
2.在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且
=a,
=b,则
=____________.
3.下列命题:
①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量;④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________.
4.已知D为三角形ABC边BC的中点,点P满足
+
+
=0,
=λ
,则实数λ的值为________.
5.已知O是△ABC所在平面一点,D为BC边中点,且2
+
+
=0,那么( )
A.
=
B.
=2
C.
=3
D.2
=
题型一 平面向量的概念辨析
例1
给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则
=
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________.
探究提高
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.
(2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(3)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
(4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象移动混为一谈.
(5)非零向量a与
的关系是:
是a方向上的单位向量.
判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由.
(1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
(2)若|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
(3)若|a|=|b|,且a与b方向相同,则a=b;
(4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行;
(5)若向量a与向量b平行,则向量a与b的方向相同或相反;
(6)若向量
与向量
是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上;
(7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;
(8)任一向量与它的相反向量不相等.
题型二 向量的线性运算
例2
在△ABC中,D、E分别为BC、AC边
上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,
设
=a,
=b,试用a,b表示
,
.
探究提高
(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系,能熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:
①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.
在△ABC中,E、F分别为AC、AB的
中点,BE与CF相交于G点,设
=a,
=b,
试用a,b表示
.
题型三 平面向量的共线问题
例3
设两个非零向量a与b不共线,
(1)若
=a+b,
=2a+8b,
=3(a-b),求证:
A、B、D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
探究提高
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a、b不共线.
如图所示,△ABC中,在AC上取一点N,
使得AN=
AC,在AB上取一点M,使得AM=
AB,
在BN的延长线上取点P,使得NP=
BN,在CM的延长
线上取点Q,使得
=λ
时,
=
,试确定λ的值.
11.用方程思想解决平面向量
的线性运算问题
试题:
(14分)如图所示,在△ABO中,
=
,
=
,AD与BC相交于点M,设
=a,
=b.试用a和b表示向量
.
审题视角
(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.
(2)既然
能用a、b表示,那我们不妨设出
=ma+nb.
(3)利用共线定理建立方程,用方程的思想求解.
规解答
解 设
=ma+nb,
则
=
-
=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
=
-
=
-
=-a+
b.[3分]
又∵A、M、D三点共线,∴
与
共线.
∴存在实数t,使得
=t
,
即(m-1)a+nb=t
.[5分]
∴(m-1)a+nb=-ta+
tb.
∴
,消去t得,m-1=-2n,
即m+2n=1.① [7分]
又∵
=
-
=ma+nb-
a=
a+nb,
=
-
=b-
a=-
a+b.
又∵C、M、B三点共线,∴
与
共线.[10分]
∴存在实数t1,使得
=t1
,
∴
a+nb=t1
,
∴
,消去t1得,4m+n=1.②[12分]
由①②得m=
,n=
,∴
=
a+
b.[14分]
批阅笔记
(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有一定的难度.
(2)学生的易错点是,找不到问题的切入口,亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量是一个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析判断求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.
方法与技巧
1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示,是十分重要的技能,也是向量坐标形式的基础.
2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如
∥
且AB与CD不共线,则AB∥CD;若
∥
,则A、B、C三点共线.
失误与防
1.解决向量的概念问题要注意两点:
一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.
§5.1 平面向量的概念及线性运算
(时间:
60分钟)
A组 专项基础训练题组
一、选择题
1.给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
③λa=0(λ为实数),则λ必为零;
④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.设P是△ABC所在平面的一点,
+
=2
,则( )
A.
+
=0
B.
+
=0
C.
+
=0
D.
+
+
=0
3.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( )
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
二、填空题
4.设a、b是两个不共线向量,
=2a+pb,
=a+b,
=a-2b,若A、B、D三点共线,则实数p的值为________.
5.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若
=λ
+μ
,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.
6.如图,在△ABC中,
=
,P是BN上的一点,
若
=m
+
,则实数m的值为________.
三、解答题
7.如图,以向量
=a,
=b为边作▱OADB,
=
,
=
,用a、b表示
、
、
.
8.若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,则当t为何值时,a,tb,
(a+b)三向量的终点在同一条直线上?
B组 专项能力提升题组
一、选择题
1.已知P是△ABC所在平面的一点,若
=λ
+
,其中λ∈R,则点P一定在( )
A.△ABC的部
B.AC边所在直线上
C.AB边所在直线上
D.BC边所在直线上
2.已知△ABC和点M满足
+
+
=0,若存在实数m使得
+
=m
成立,则m等于( )
A.2B.3
C.4D.5
3.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足:
=
+λ
,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心B.心
C.重心D.垂心
二、填空题
4.已知向量a,b是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使a、b共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上).
①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;
②存在相异实数λ、μ,使λ·a+μ·b=0;
③x·a+y·b=0(实数x,y满足x+y=0);
④若四边形ABCD是梯形,则
与
共线.
5.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.
过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的
两点M、N,若
=m
,
=n
,则
m+n的值为______.
6.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若
=2
,
=
+λ
,则λ=________.
7.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|
+
|=|
-
|,其中O为坐标原点,则实数a的值为________.
三、解答题
8.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.
(1)求
+
+
;
(2)若PQ过△ABO
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