华师大版七年级下《721二元一次方程组的解法》四课时教学设计.docx
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华师大版七年级下《721二元一次方程组的解法》四课时教学设计
7.2.1二元一次方程组的解法
(一)
湖州新世纪外国语学校:
章根荣章湘君
【教学目标】
1、初步学会用代入法解简单的二元一次方程组。
2、通过探求二元一次方程组的解法,经历把“二元”转化为“一元”的过程,从而初步体会“消元”的思想,以及化“未知”为“已知”,化复杂问题为简单问题的化归思想。
3、体验二元一次方程组与客观世界、周围生活之间的密切联系,认识它作为一种数学模型在解决实际问题中的作用。
【教学重点与难点】
探求二元一次方程组的解法。
【教学准备】
课件
【教学过程】
一、创设兴趣情境:
举世瞩目的2010年世界博览会举办国,2002年12月3日在摩纳哥蒙特卡洛揭晓,经过国际展览局第132次成员国大会投票表决,中国上海市成功地获得了2010年上海世界博览会的举办权。
喜讯传来,全国亿万群众彻夜难眠,人们聚集在南京路上,伴随着歌声,人们传递着一面周长为36米的巨幅五星红旗,也传递着对世博会的欢迎和祝福。
这幅五星红旗的长比宽多2米,你能算出这幅五星红旗的长和宽各是多少米吗?
你能设两个未知数,用二元一次方程组来解吗?
(1)让学生自己列出一元一次方程并求解:
解:
设这幅五星红旗的宽是x米,则长是(x+2)米,根据题意得:
x+(x+2)=18,x=8,x+2=10
答:
这幅五星红旗的宽是8米则长是10米。
(2)引导学生自己列出二元一次方程组并求解:
解:
设这幅五星红旗的宽是x米,长是y,则y=x+2
x+y=18
(引导学生与已列一元一次方程对比,发现用“代入法”求解二元一次方程组)。
把①代入②,得x+(x+2)=18,x=8
把x=8代入①得y=10,∴x=8
y=10答:
略
方法总结:
此题中的方程组里每个方程含有两个未知数,这样的方程以前没有解过,但最终解决的却是求一个一元一次方程,从求解的过程可以看出实际上是在把两个未知数消去一个未知数,把“二元”变成“一元”,这就是重要的消元思想。
二、续探索发现:
我国《孙子算经》卷下著名的“鸡兔同笼”问题,今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各有几何?
如果设鸡有x只,兔有y只,
(1)你能否列出二元一次方程组?
(2)这样的方程组怎样去解呢?
学生分小组讨论并交流得出方程组:
x+y=35①
2x+4y=94②
结合上例启发学生思考并讨论:
方程组有两个未知数,能不能通过对一个未知数替换或抵消的方法,消去一个未知数,化为一元一次方程呢?
如果能的话,又怎样求解呢?
将方程①变形为y=35-x③。
把③代入②,得2x+4(35-x)=94,变形为一元一次方程求出x=23,再将x=23回代到③中求出y=12,
∴x=23
y=12答:
略
(如果有学生这样探求,同样给予鼓励,但这节课着重引导学生掌握上面的代入法求解:
①×2,得:
2x+2y=70③,②-③,得:
2y=24,y=12,把y=12代入①,得:
x+12=35,x=23
∴答:
略
方法总结:
此问题中的方程组要先考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的一次式表示。
方程①中的x、y的系数都是1,因此将方程①变形,用含x的一次式表示y(用含y的一次式表示x),再代入方程②求解。
三、阅读理解,加深领会:
引导学生阅读课本p29、30,质疑并讨论。
四、实例指导,归纳方法思想:
1、
解下列二元一次方程组:
(1)
(2)
学生独立解答后分学习小组交流讨论,教师根据实际情况作规范指导。
2、讨论归结解二元一次方程组的基本方法之一:
代入消元法
通过“代入”消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程来解,这种解法叫代入消元法,简称代入法。
这种方法的核心是“消元”,将二元一次方程组转化为一元一次方程来解,它体现了化“未知”为“已知”的化归思想。
3、引导学生回顾用代入法解二元一次方程组的思路。
反思:
用代入法解二元一次方程组的关键是把其中一个方程变形,使一个未知数用含另一个未知数的一次式表示。
当方程组的两个方程中某一个方程的未知数系数是1时,优先选择此方程解出未知数,再代入另一方程,最后求出方程组的解。
四、练习反馈:
(做一做)
1、解下列方程组:
(4)
(3)
(2)
(1)
2、已知,都是方程y=kx+b的解,则k=(),b=(),此方程是();当x=4时,
y=()。
3、若(2x-y-3)2+3x+y+7=0,求x和y的值。
六、拓展创新:
1、如果方程组的解x与y相等,则k的值是()。
A、1B、2/3C、1/2D、-2/3
2、对于有理数x、y,定义新运算:
x△y=ax+by-1,其中a、b是常数。
已知1△2=9,
(-3)△3=-1,求4△(-5)的值。
五、课堂小结:
1、用代入法解二元一次方程组的思路:
消元
二元一次方程组一元一次方程
2、用代入法解二元一次方程组的关键:
把其中一个方程变形,使一个未知数用含另一个未知数的一次式表示。
附:
课堂教学软件
7.2.2二元一次方程组的解法
(二)
湖州新世纪外国语学校:
章根荣章湘君
【教学目标】
1、进一步学会用代入法解简单的二元一次方程组,熟练掌握用代入法解二元一次方程组的一般步骤,并能灵活运用。
2、通过学习代入法(包括整体代入法)解二元一次方程组,结合渗透化归思想和整体思想等数学思想的培养。
3、通过学生自己探讨和体会在方程组中选择哪一个方程变形,变形成用含哪一个未知数的一次式表示另一个未知数较合理,让学生在自己的实践中学会选择,体验成功。
【教学重点与难点】
灵活熟练地用代入法解二元一次方程组。
【教学准备】
课件
【教学过程】
一、创设问题情景:
已知甲乙两人解关于x,y的方程组甲正确解出而乙把m
抄错,结果得,求a,b,m的值。
分析:
甲正确解得,所以它既是方程①的解,又是方程②的解,把
代入②,即可求出m的值,而乙抄错m,所以只能满足方程①,
把,分别代入①就得到关于a,b的二元一次方程组
二、二元一次方程组变形
把下列方程变形成用含x的一次式表示y,再用y的一次式表示x:
(1)2x-4y=-1;
(2)3x+5y-16=0;(3)
分析:
(3)可以有两种解法:
一是直接转换;二是先去分母后转换。
三、进一步探索解二元一次方程组(用代入法):
解方程组:
(1)
(2)
1、引导学生把
(2)与
(1)比较发现差异:
(2)中每一个方程未知数的系数都不是1,需要先将其中一个方程中的一个未知数的系数变为1。
这实际上是把一个二元一次方程变形成用含有一个未知数的一次式表示另一个未知数的形式,它是用代入法解二元一次方程组的关键,也是易错的地方,要特别注意。
2、对于在方程组中选择哪一个方程进行变形,变形成用含哪一个未知数的一次式表示另一个未知数比较合理,同样引导自己探讨和体会,让学生在自己的实践中学会选择。
3、引导学生结合实例思考、讨论并归纳用代入法解二元一次方程组的一般步骤:
①选:
选择系数较简单的方程;
②求:
求出含x(或含y)的一次式表示y(或x)
③代:
代入另一个方程,得到一个一元一次方程;
④计:
计算出未知数的值;
⑤检:
检验求得的解是否是方程组的解。
注意:
第④步中,在求出一个未知数的值后,再求另一个未知数的值,要选择计算最简单的一个方程来代,即要“择简而代”。
四、探究创新:
请你观察下列方程组的解法,并体会其中的思想方法:
解方程组:
解:
由①得2(3m+2n)+3n=10③…第一步
把②代入③得2×2+3n=10…第二步
解,得n=2,把n=2代入②,得3m+2×2=2,m=-
∴
上述解方程组第一步的目的是,第二步是把做为一个整体代入③的,这种方法称为整体思想,请你用这种方法或更好的方法试解下列方程组,并与学习组的其他同学比一比,看谁能最先求出x的值?
看谁的方法最巧妙?
(1)
(2)
五、反馈练习:
1、
(1)方程5x-10y+15=0中,用x的一次式表示y,得y=;用y的一次式表示x,得x=。
(2)若x=1-t,t=3-y,则x与y的关系是x=(用y的一次式表示x)。
2、解下列方程组:
(1)
(2)(3)(4)
3、试一试:
解方程组(鼓励学生尽可能用多种方法解)
(1)
(2)(3)
=
=3
分析:
这类方程组形式上不是二元一次方程组的一般形式,要通过恰当变形。
第
(1)题先把方程组化简,再灵活使用代入法,可用常规代入法,也可用整体代入法等。
第二题中方程x:
y=3:
2是分式方程,但可通过变形化为二元一次方程x=
y,代入方程
x-y=16即可求解。
也可设x=2k,y=3k,代入x-y=16得3k-2k=16,k=16,所以x=48,y=32,即可得方程组的解为
第(3)题是2个一次式和一个常量的连等,可以把它拆开写成二元一次方程组的形
式:
4、趣味题:
绿魔与红魔:
绿魔队与红魔队球迷举行联欢活动,绿魔队员脸上涂绿油彩,红魔队员脸上涂红油彩,每个绿魔队员看见涂红色的人数是涂绿色的人数的2倍,而每个红魔队员看见涂绿色的人数是涂红色的人数的3/5,问绿魔、红魔队各有几人?
六、课堂小结:
1、用代入法解二元一次方程组的一般步骤:
一“选”二“求”三“代”四“计”五“检”。
2、整体思想在解二元一次方程组中的应用。
七、作业:
见配套作业本
附:
课堂教学软件
7.2二元一次方程组的解法(三)
加减消元法例3、4
湖州新世纪外国语学校施水英
【教学目标】
1、知识目标
正确掌握用加减消元法解二元一次方程组。
2、能力目标
通过探求用加减消元法解二元一次方程组,经历了把“二元”转化为“一元”的过程,从而初步体会“消元”的思想,以及化“未知”为“已知”,化“复杂问题”为“简单问题”的化归思想方法。
3、情感目标
通过引导学生观察方程组的结构特点,让学生自己探索发现解题的方法,使学生在积极参与的学习中感受到学习的乐趣。
【教学重点】
用加减消元法解二元一次方程组
【教学难点】
明确用加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一未知数的系数绝对值相等
【教学准备】
课件、课堂反馈卡
【教学方法】
学生自主探索性学习
【教学过程】
一、创设问题情境
问题1
用代入法解方程组:
问题2
代入消元法解方程组的思路是什么?
学生口答后,教师指出,我们学习了“代入消元法”解方程组,代入法就是代入“消元”,通过“消元”,使“二元”转化为“一元”,从而问题得以解决,那么除了代入可“消元”外,是否还有其它方法也能达到“消元”的目的呢?
本节课我们就来解决这一问题
二、探索交流
1、用加减法解某一未知数的系数的绝对值相等的二元一次方程组
首先,引导学生观察上面问题1中的方程组的特点,不难发现:
方程组的两个方程中,未知数x的系数相等,都是2。
因此可利用等式的性质,把这两个方程两边分别相减,就可以消去一个未知数,得到一元一次方程,从而实现化“二元”为“一元”的目的
然后,指导学生写出本题的解答过程
解:
①—②,得10y=30,
所以y=3
把y=3代入①,得x=2
(问:
把y=3代入②求x值,可以吗?
)
所以
(解答完本题后,应让学生口算检验)
随后,教师进一步追问消未知数x是由①—②达到目的,那么解:
②—①可以吗?
怎样做更简捷?
学生一试即知。
再次引导学生观察方程组构成特点,并提出问题:
能否通过消去未知数y,得到关于x的一元一次方程,从而使问题得解呢?
怎样消去未知数y呢?
(请学生通过观察、思考后求解,让一名学生板演,其余学生自己完成,最后教师讲评)
解:
①+②,得4x=8,
所以x=2
把x=2代入①,得y=3
所以
解答完本题后,教师指出,从上面的解答过程来看,对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减,消去其中一个未知数,得到一个一元一次方程,从而求出它的解这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法
2、师生共同讨论例1解方程组
分析:
方程组中两个方程的同一未知数x的系数相等,因此可直接由①—②或②—①消去未知数x
解:
①—②,得9y=-18,
所以y=-2
把y=-2代入②,得
3x-4×(-2)=23,
3x+8=23,
所以x=5
所以x=5,y=-2
此时,教师需强调以下两点:
(1)解题时,①—②或②—①都可以消去未知数x,不过在②—①得到的方程中,y的系数是负数,所以在上面解法中应选择①—②;
(2)把y=-2代入①或②,最后结果是一样的但我们通常的做法是将所求出的一个未知数的值代入系数简单的过程中求出另一个未知数的值
3、启发学生总结结论:
在方程组的两个方程中,若某个未知数的系数是相反数,则可直接把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;若某个未知数的系数相等,可直接把这两个方程的两边分别相减,消去这个未知数。
4、例2解方程组
学生分析、观察方程组的结构特点:
方程组中同一未知数系数的绝对值相等。
由学生共同完成解答。
三、综合反思
1、议一议:
下列方程组中
先消去哪个未知数较简单,怎样消?
2、做一做
用加减法解下列方程组:
3、试一试
已知方程组2x-y=7x+by=a
ax+y=b3x+y=8
有相同的解,求a、b的值。
四、总结评价
1、说一说
当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时,用何种方法解较好?
例如解方程组
当方程组中某一未知数系数的绝对值相等时,用何种方法解较好?
例如解方程组:
然后得出结论,对于问题1,常用代入消元法求解;对问题2,常用加减消元法求解。
2、评价
课堂反馈卡:
(1)这种学习方式你喜欢吗?
()
A、很喜欢B、喜欢C、不喜欢
(2)这节课的内容你掌握了吗?
()
A、完全掌握B、基本掌握C、没掌握
(3)你有什么收获?
(4)你还有什么疑问吗?
(5)必做题:
配套作业本
选做题:
复习题
(6)思 考:
当方程组中某一未知数系数的绝对值不相等时,又如何解呢?
【课堂设计说明】
在学习加减法解题之前,学生已学会用代入法解二元一次方程组,其核心是代入“消元”,将二元方程转化为一元方程求解。
因此,本节课是从提出问题,“除了代入可‘消元’,是否还有其它方法可达到‘消元’目的”入手的。
其目的是不轻易地告诉学生加减法解题的过程,而通过引导学生观察方程组的结构特点,让学生自己探索发现解题的方法,这样可使学生在积极参与的学习中不仅能感受到学习的兴趣,更重要的是在这种积极求索的学习中,促使其能力得到充分的发挥、提高。
附:
课堂教学软件
7.2二元一次方程组的解法(四)
加减消元法
例题5
湖州新世纪外国语学校施水英
【教学目标】
1、知识目标
熟练掌握用加减法解二元一次方程组。
2、能力目标
通过用加减消元法解复杂的二元一次方程组,进一步渗透“化归”思想,培养学生分析问题解决问题的能力。
3、情感目标
通过自主探讨,选择恰当方法解方程组,使学生在实践中学会选择,体验成功。
【教学重点】
灵活熟练地用加减消元法解二元一次方程组。
【教学难点】
怎样将方程组化成某个未知数系数绝对值相等的方程组。
【教学准备】
课件、课堂反馈卡
【教学方法】
自主、合作、发现结论。
【教学过程】
一、创设问题情境
1、上节课我们学习了什么内容?
2、怎样的二元一次方程组,可以直接用加减消元法求解?
3、解下列方程组,如何消元?
消元后得到的一元一次方程是什么?
9X-12Y=40① 15X-20Y=50①
10X+12Y=84② 15X+18Y=126②
1)、消Y,①+②得19X=114
2)、消X,②-①得38Y=76
二、探索观察交流
1、例题5:
解方程组
3X-4Y=10①
5X+6Y=42②
大家想一想:
直接相加减不能消去一个未知数怎么办呢?
分析:
必须设法使同一未知数的系数的绝对值相等。
想想看,该怎么办?
(1)若消Y,两个方程未知数Y系数的绝对值分别为4,6。
只要使它们变成12(4,6的最小公倍数),只要①×3,②×2得9X-12Y=30
10X+12Y=84
(2)若消X,只要使两个方程未知数X系数变成15(3,5的最小公倍数),
只要①×5,②×3得:
15X-20Y=50①
15X+18Y=126②
2、大家任选一种方法来解。
让学生板演,讲评
3、概括:
这道题的特点:
不能直接用加减消元法,所以我们必须先对方程组进行变形。
使其中同一个未知数的系数的绝对值相等,须找出这个未知数的系数的绝对值的最小公倍数。
4、试一试:
你在解本节例2的方程组
2X-7Y=8①
3X-8Y-10=0②
时,用了代入法。
现在你会不会用加减法来解?
试试看,并比较一下哪种方法更方便?
让学生做好后演示,教师讲评。
5、概括:
在解二元一次方程组时,要根据题目的特征,选择适当的解法。
三、练习反馈
1、解下列二元一次方程组
3X-2Y=65X+Y=7X-3Y=-202X-3Y=8
2X+3Y=174X-2Y=143X+7Y=1005Y-7X=5
2、已知方程组
的解是
求m、n的值
四、总结评价
1、教师引导学生说
今天我们学习了什么内容?
我们今天学习用加减消元法解同一未知数的系数的绝对值不相等的二元一次方程组。
如何解呢?
先选一个或两个方程进行变形,使得同一个未知数的系数的绝对值相等,再用加减法求解。
2、评价
课堂反馈卡:
(1)这种学习方式你喜欢吗?
()
A、很喜欢B、喜欢C、不喜欢
(2)这节课的内容你掌握了吗?
()
A、完全掌握B、基本掌握C、没掌握
(3)你有什么收获?
(4)你还有什么疑问吗?
(5)作业:
见配套作业本
【课堂设计说明】
加减法解二元一次方程组的基本思想与代入相同,仍是“消元”化归思想,通过代入法、加减法这些手段,使二元方程转化为一元方程,从而使“消元”化归这一转化思想得以实现。
因此在设计教学过程时,注重“化归”意识的点拨与渗透,使学生在学习中逐步体会理解这种具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法。
由于本节课是用加减法解方程组的第二节,因此,选用了一道运算较复杂的方程组作为例子求解的方程组,目的是通过该例题的讲解,提高学生解较复杂方程组题型的能力。
附:
课堂教学软件
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