福建省中考数学复习练习第3章第五节 反比例函数综.docx
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福建省中考数学复习练习第3章第五节反比例函数综
第5节
反比例函数综合题
(2017福建考1道填空题,4分)
玩转福建6年中考真题(2012~2017))
类型一 反比例函数与几何图形结合的相关计算
◆反比例函数k的几何意义
1.(2014宁德10题4分)已知点P是反比例函数y=图象上的任意一点,过点P分别作x轴和y轴的垂线,两条垂线与坐标轴围成的矩形面积是4,则k的值是( )
A.2 B.±2 C.4 D.±4
2.(2016漳州15题4分)如图,点A,B是双曲线y=上的点,分别过点A,B作x轴和y轴的垂线段,若图中阴影部分的面积为2,则两个空白矩形面积的和为________.
第2题图第3题图
3.(2015宁德16题4分)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象交矩形OABC的边AB于点D,边BC于点E,且BE=2EC.若四边形ODBE的面积为6,则k=________.
考向拓展
如图,Rt△AOC的直角边OC在x轴上,∠ACO=90°,反比例函数y=经过另一条直角边AC的中点D,S△AOC=3,则k的值为( )
A.2 B.4 C.6 D.3
考向拓展题图
◆与周长、面积有关的计算(2017福建已考)
4.(2013南平10题4分)如图,Rt△ABC的顶点B在反比例函数y=的图象上,AC边在x轴上,已知∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,则图中阴影部分的面积是( )
A.12B.4
C.12-3D.12-
第4题图第5题图
5.(2016三明10题4分)如图,P,Q分别是双曲线y=在第一、三象限上的点,PA⊥x轴,QB⊥y轴,垂足分别为A,B,点C是PQ与x轴的交点.设△PAB的面积为S1,△QAB的面积为S2,△QAC的面积为S3,则有( )
A.S1=S2≠S3B.S1=S3≠S2
C.S2=S3≠S1D.S1=S2=S3
6.已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上,且点A的横坐标是2,则矩形ABCD的面积为________.
第7题图
7.(2012漳州16题4分)如图,点A(3,n)在双曲线y=上,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,线段OA的垂直平分线交OC于点B,则△ABC周长的值是__________.
考向拓展
如图,以?
ABCO的顶点O为原点,边OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,顶点A,C的坐标分别是(2,4),(3,0),过点A的反比例函数y=的图象交BC于D,连接AD,则四边形AOCD的面积是________.
考向拓展题图
类型二 反比例函数与一次函数结合
◆同一坐标系中判断函数图象
8.(2014泉州7题3分)在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m与y=(m≠0)的图象可能是( )
◆与交点个数有关的计算
9.(2012福州10题4分)如图,过点C(1,2)分别作x轴、y轴
第9题图
的平行线,交直线y=-x+6于A,B两点,若反比例函数y=(x>0)的图象与△ABC有公共点,则k的取值范围是( )
A.2≤k≤9B.2≤k≤8
C.2≤k≤5D.5≤k≤8
10.(2016龙岩10题4分)若,则在同一直角坐标系中,直线y=x-a与双曲线y=的交点个数为( )
A.0B.1C.2D.3
◆两函数比较大小
11.(2016南平23题10分)已知正比例函数y1=ax(a≠0)与反比例函数y2=(k≠0)的图象在第一象限内交于点A(2,1).
(1)求a,k的值;
(2)在直角坐标系中画出这两个函数的大致图象,并根据图象直接回答y1>y2时x的取值范围.
第11题图
◆面积问题
12.(2013厦门24题6分)已知点O是坐标系的原点,直线y=-x+m+n与双曲线y=交于两个不同的点A(m,n)(m≥2)和B(p,q),直线y=-x+m+n与y轴交于点C,求△OBC的面积S的取值范围.
13.(2014南平24题10分)如图,已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象相交于A(4,1),B(a,2)两点,一次函数的图象与y轴的交点为C.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)若点D的坐标为(1,0),求△ACD的面积.
第13题图
◆线段问题
14.(2014福州10题4分)如图,已知直线y=-x+2分别与x轴,y轴交于A,B两点,与双曲线y=交于E,F两点.若AB=2EF,则k的值是( )
第14题图
A.-1B.1
C.D.
15.(2012厦门26题12分)已知点A(1,c)和点B(3,d)是直线y=k1x+b与双曲线y=(k2>0)的交点.
(1)过点A作AM⊥x轴,垂足为M,连接BM.若AM=BM,求点B的坐标;
(2)若点P在线段AB上,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,并交双曲线y=(k2>0)于点N.当取最大值时,有PN=,求此时双曲线的解析式.
◆特殊三角形的存在性问题
16.(2012泉州23题9分)如图,在方格纸中(小正方形的边长为1),反比例函数y=与直线的交点A,B均在格点上,根据所给的直角坐标系(O是坐标原点),解答下列问题:
(1)分别写出点A,B的坐标后,把直线AB向右平移5个单位,再向上平移5个单位,画出平移后的直线A'B';
(2)若点C在函数y=的图象上,△ABC是以AB为底的等腰三角形,请写出点C的坐标.
第16题图
◆三角函数问题
17.(2016三明21题8分)如图,在平面直角坐标系中,过点A(2,0)的直线l与y轴交于点B,tan∠OAB=,直线l上的点P位于y轴左侧,且到y轴的距离为1.
(1)求直线l的表达式;
(2)若反比例函数y=的图象经过点P,求m的值.
第17题图
18.(2014泉州26题12分)如图,直线y=-x+3与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数的图象交于点P(2,1).
(1)求该反比例函数的关系式;
(2)设PC⊥y轴于点C,点A关于y轴的对称点为A'.
①求△A'BC的周长和sin∠BA'C的值;
②对大于1的常数m,求x轴上点M的坐标,使得sin∠BMC=.
第18题图
答案
1.D 【解析】∵点P在反比例函数y=的图象上,∴S矩形=|k|=4.∴k=±4.
2.8 【解析】设两个空白矩形面积为S1、S2,则根据反比例函数系数k的几何意义得S1+2=S2+2=6,则S1=S2=4,∴两个空白矩形面积的和为S1+S2=8.
3.3 【解析】如解图,连接OB,由题意知S△AOD=S△COE=k,∵BE=2EC,∴S△BOE=2S△CEO=k,∵S△AOB=S△COB,∴S△BOD=S△BOE=k,∴S四边形ODBE=2k=6,∴k=3.
第3题解图
【考向拓展】D 【解析】∵直角边AC的中点是D,S△AOC=3,∴S△CDO=S△AOC=,∵反比例函数y=经过另一条直角边AC的中点D,CD⊥x轴,∴k=2S△CDO=3,故选D.
4.D 【解析】∵∠ACB=90°,BC=4,∴B点的纵坐标为4,∵点B在反比例函数y=的图象上,∴当y=4时,x=3,即B点坐标为(3,4),∴OC=3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,∴AB=2BC=8,AC=BC=4,OA=AC-OC=4-3,如解图,设AB与y轴交于点D,∵OD∥BC,∴=,即=,解得OD=4-,∴阴影部分的面积是:
(OD+BC)·OC=×(4-+4)×3=12-.
第4题解图
5.D 【解析】由题知,PA⊥x轴,QB⊥y轴,垂足分别为点A,B,如解图所示,过点P作PD⊥y轴于点D,过点Q作QE⊥x轴于点E,延长PA交QB的延长线于点F,则有∠F=90°,DP=BF,AF=QE,∴S1=S△PAB=AP·BF=AP·DP=,S2=S△QAB=BQ·AF=BQ·EQ=,∴S1=S2,由平行线性质得:
AB∥PQ,又∵BQ∥x轴,即BQ∥AC,∴四边形ACQB为平行四边形,∴S△QAB=S△QAC,即S2=S3,∴S1=S2=S3,故选D.
第5题解图
6. 【解析】如解图,∵A点在反比例y=的函数图象上,且A点横坐标为2,∴它的纵坐标为.∴A点坐标为(2,),由A,C两点关于原点对称,∴C点坐标为(-2,-),由A,B关于y=x对称,∴B点坐标为(,2),同理可得D点坐标为(-,-2),∴AB==,AD==,∴S矩形ABCD=×=.
第6题解
7.4 【解析】∵点A(3,n)在双曲线y=上,∴n==1,∴A(3,1),∴OC=3,AC=1.∵OA的垂直平分线交OC于点B,∴AB=OB,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=3+1=4.
【考向拓展】9 【解析】∵四边形ABCO是平行四边形,且顶点A,C的坐标分别是(2,4),(3,0),∴点B的坐标为(5,4),∵点A(2,4)在反比例函数y=的图象上,∴k=2×4=8,∴反比例函数解析式为y=.设直线BC的解析式为y=mx+n,把点B(5,4),C(3,0)代入y=mx+n中,得,解得,∴直线BC的解析式为y=2x-6.联立直线BC与反比例函数解析式,解得,或(舍去),∴点D的坐标为(4,2),∵点B(5,4),C(3,0),∴点D为线段BC的中点,∴S△ABD=S?
ABCO,∴S?
ABCD=S平行四边形ABCO-S△ABD=3×4-×3×4=9.
8.A 【解析】假设m>0,则函数y=mx+m的图象过第一、二、三象限,函数y=的图象位于第一、三象限,观察各选项,A选项符合;假设m<0,则函数y=mx+m的图象过第二、三、四象限,函数y=的图象位于第二、四象限,观察各选项,没有符合题意的选项,故选A.
9.A 【解析】当双曲线经过点C时,反比例函数图象与△ABC仅有一个交点,把C(1,2)代入得k=2;当从点C向右移动时,先与边AC、BC各有一个交点,再到与边AB有一个交点,再向右运动就没有公共点了,其中与边AB有一个交点时,把y=代入y=-x+6中,得=-x+6,此时x2-6x+k=0应有两个相等的实数根,∴(-6)2-4×1×k=0,解得k=9,∴2≤k≤9.
10.C 【解析】解不等式-3a≥4-a,得a≤-2;解不等式a+1<0,得a<-1,∴不等式组的解集为a≤-2;由y=x-a与y=,得x-a=,则x2-4ax-8a-4=0.∵a≤-2,∴判别式b2-4ac=(-4a)2-4×1×(-8a-4)=16(a+1)2>0,∴一元二次方程x2-4ax-8a-4=0有两个不相等的实数根,∴直线与双曲线有两个交点,故选C.
11.解:
(1)把点A(2,1)分别代入y1=ax和y2=中,
得a=,k=2;(4分)
(2)两个函数的大致图象如解图所示:
第11题解图
(6分)
由图象知,当y1>y2时,-2<x<0或x>2.(10分)
12.解:
设直线y=-x+m+n与x轴交于点D,
∵与y轴交于点C,
∴C点坐标为(0,m+n),D点坐标为(m+n,0),则△OCD为等腰直角三角形.(1分)
∴点A与点B关于直线y=x对称,则点B的坐标为(n,m),(2分)
∴S=S△OBC=(m+n)·n=mn+n2,(3分)
∵点A(m,n)在y=上,
∴mn=1,即n=,
∴S=+()2.(4分)
∵m≥2,
∴0<≤,
∴0<()2≤,
∴<S≤.(6分)
13.解:
(1)∵点A(4,1)在反比例函数y=上,
∴1=,
∴k1=4×1=4,
∴反比例函数的解析式为y=;(2分)
把B(a,2)代入y=中,得a=2,
∴B(2,2).
把A(4,1),B(2,2)代入y=k2x+b中,
得,解得,
∴一次函数的解析式为y=-x+3;(5分)
(2)∵点C在直线AB上,
∴当x=0时,y=3,
∴C(0,3),
如解图,过点A作AE⊥x轴于点E,设AC与x轴交于点F,
第13题解图
∴F(6,0),
∴S△ACD=S△COF-S△COD-S△ADF
=OC·OF-OC·OD-DF·AE
=×3×6-×3×1-×(6-1)×1
=5.(10分)
14.D 【解析】如解图,过点F作FG⊥x轴于点G,过点E作EC⊥y轴于点C,FG与EC交于点D,∵直线y=-x+2与x轴、y轴交于A,B两点,∴A(2,0),B(0,2),即OA=OB=2,∴△AOB为等腰直角三角形,∴AB=OA=2.又∵AB=2EF,∴EF=AB=.∵FG∥BO,CE∥OA,∴∠DFE=∠OBA=45°,∠FED=∠BAO=45°,∴△DFE为等腰直角三角形,∴FD=DE=EF=×=1.设点F(t,-t+2),则点E(t+1,-t+1).∵点E、F在反比例函数y=上,∴t(-t+2)=(t+1)(-t+1),解得t=,∴点E(,),∴k=×=.
第14题解图
15.解:
(1)如解图①,过点B作BN⊥x轴于点N,
∵点A(1,c)和点B(3,d)都在双曲线y=(k2>0)上,
∴1×c=3×d,即c=3d,
∴A点坐标为(1,3d),
∴AM=3d,
∵MN=3-1=2,BN=d,
∴MB=,
又∵AM=BM,
∴(3d)2=22+d2,
∴d=(负值舍去),
∴B点坐标为(3,);(4分)
(2)如解图②,把B(3,d)代入y=中,得k2=3d,
∴反比例函数的解析式为y=,
把A(1,3d)、B(3,d)分别代入y=k1x+b,
得,
解得,
∴直线AB的解析式为y=-dx+4d,
设P(t,-dt+4d),则N(t,),
即PE=-dt+4d,NE=,
∴PN=PE-NE=-dt+4d-,
∴==-t2+t-1=-(t-2)2+,
当取最大值时,t=2,
此时PN=-dt+4d-=,
∴-2d+4d-=,
解得d=1,
∴双曲线的解析式为y=.(12分)
第15题解图
16.解:
(1)A(-1,-4)、B(-4,-1);(2分)
平移后的直线A'B'如解图所示:
第16题解图
(5分)
(2)C点的坐标为C1(-2,-2)或C2(2,2).(9分)
17.解:
(1)∵A(2,0),∴OA=2.
∵tan∠OAB==,∴OB=1,
∴B(0,1).(1分)
设直线l的表达式为y=kx+b(k≠0),
将A、B两点的坐标代入得,(2分)
解得,(3分)
∴直线l的表达式为y=-x+1;(4分)
(2)∵点P到y轴的距离为1,且点P在y轴左侧,
∴点P的横坐标为-1.(5分)
又∵点P在直线l上,
∴点P的纵坐标为-×(-1)+1=,
∴点P的坐标是(-1,).(6分)
∵反比例函数y=的图象经过点P,
∴=,
∴m=-1×=-.(8分)
18.解:
(1)设反比例函数的关系式为y=(k≠0),
∵点P(2,1)在反比例函数上,
则k=xy=2,
∴反比例函数的关系式为y=;(3分)
(2)①如解图①,由题意得:
A'(-3,0),B(0,3),C(0,1),则OB=3,OC=1,BC=2,A'O=3.
第18题解图①
∴A'B==3,A'C==,
∴△A'BC的周长为2+3+.(5分)
如解图①,过点C作CF⊥A'B于点F,则点C到A'B的距离为CF,
易得A'B·CF=BC·A'O,
∴3×CF=2×3,
解得CF=,
∴sin∠BA'C===;(8分)
②若点M在x轴的负半轴上,如解图②,
第18题解图②
设△MCB的外接圆的圆心为N,半径为r,
则点N在BC的中垂线ND上,
∴NB=NC=NM=r,∠BMC=∠BND=∠BNC,
∴sin∠BMC=sin∠BND,
∴=,即r=m.
过N作NE⊥x轴于点E,如解图②,
则NE=2,
∴当1 当m≥2时,⊙N与x轴相交(或相切), OE=ND=,ME=, ∴OM=OE±ME=±, 故点M的坐标为: (--,0), (-+,0). 若点M在x轴的正半轴上,由图形的对称性,同理可得: 点M的坐标为: (-,0), (+,0). 综上所述,当1 (--,0), (-+,0), (-,0), (+,0).(12分)
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