数学分析考研试题1docx.docx

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数学分析考研试题1docx

高数考研试题3

■、填空题（本题其6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

2

lim[l+ln（l+x）]x

（1）极限s（）L=

【分析】

e2

【详解】

本题属广型未定式，

2

lim[l+ln（l+x）]xlime

x—>0=xtO

21n[l+ln（l+x）]21n（l+x）

limlim

_幺乂->0X—gXTOx

化为指数函数求极限即可.

-ln[l+ln（l+x）]

*x

【评注】

lim/（x）s<'）

对于1®型未定式

e2.

llm/（x）i<'的极限，也可直接用公式

进行计算，

2

_2

lim[l+ln（l+x）]xlim—•ln（l+x）2

x->0—Cx^x—C

【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.23【例1.30】和《文登数学全真模拟试卷》数学四P.29第…大题第

（1）小题.

因此本题也可这样求解:

（2）

-W

dx=2（1-2e「J

【分析】

对称区间上的积分应注意利用被积函数的对称性，这里有I

xe^dx=0.

dx

【详解】

=2（1-2e“）.

本题属基本题型，主要考查对称区间上的积分性质和分布积分法.

【评注】

原题见《文登数学全真模拟试卷》数学二P.37第一题第（3）小题（完全是原题，答案也一样），完全类似题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.71第一大题第

（2）小题.

a,若0

0,其他，而d表示全平面，则

/（%）=g（x）=<

（3）设a>0,

Z=JJ7（x）g（y—x）dxdy,

D=Cl~.

【分析】本题积分区域为全平面，但只有当1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

jja2dxdy

=0

I=JJ7（x）g（y—x）dxdy

【详解】D

a2^dxfdy=

【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积

a2

a2.

函数不为零的区域的公共部分上积分即可.

完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17].

'202

040

（4）设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵.已知AB=2A+B,B=L2°习,则

_0or

010

（A-E）T=100

【分析】应先化简，从AB=2A+B中确定（4-E）：

【详解】由AB=2A+B,知

AB-B=2A-2E+2E,

即有（4_E）B_2（4_E）=2E,

m,3-叭”2心,

rooii

1010

可见（A-E）化尹一2E）」100.

【评注】本题实质上是已知矩阵等式求逆的问题，应先分解出因式A-E,写成逆矩阵的定义形式，从而确定（A-E）的逆矩阵.

完全类似例题见《数学最后冲刺》P.92【例7】.

（5）设n维向量a=M---,0,a）T,a<0.E为n阶单位矩阵，矩阵

1丁

tB=E—cccc

A=E-aa,a,

其中A的逆矩阵为B,则a=-1.

【分析】这里aa『为n阶矩阵，而aTa^2a2为数，直接通过=E进行计算并注意利用乘法的结合律即可.

【详解】由题设，有

AB=（E-aaT）（E+丄aaT）

a

T1T1TT

E—aaH—cccc—cccc•cccc

=aa

E-aaT+—aaT-—a^aTa}aT

=aa

E—cccc^-\—cccxJ—2aaa*

—a

E+（—1—2aH—）qqT—E

=a,

1少—I—OZ7Z71

于是有a，即2q2+q—1=0,解得一2’-•由于AvO,故a=l.

【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.305第2大题第（5）小题.

（6）设随机变量X和Y的相关系数为0.5,EX=EY=0,EX2=EY2=2,则丘区+丫）：

6.

【分析】利用期望与相关系数的公式进行计算即可.

【详解】因为

E（X+Y）2=EX2+2E（XY）+EY2=4+2[Cov（X,Y）+EX-EY]=4+2%--4DY=4+2x0.5x2=6.

【评注】本题的核心是逆向思维，利用公式E（XY）=Cov（X,Y）+EX-EY；而这种分析方法是文登辅导班上重点介绍过的.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.毎小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

丄

（1）曲线y=

（A）仅有水平渐近线.（B）仅有铅直渐近线.

（C）既有铅直乂有水平渐近线.（D）既有铅直乂有斜渐近线.[D]

【分析】先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线,而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点.

lim

【详解】当XT±8时，极限吧V均不存在，故不存在水平渐近线；

.y.—

==1lim（xe%2-x）=0亠人，

又因为兀io,—CO,所以有斜渐近线『=乂.

丄.4

Flimxex=oo

另外，在x=0处歹="无定义，且心。

，可见x=0为铅直渐近线.

故曲线歹=兀厂既有铅直又有斜渐近线，应选（D）.

【评注】本题为常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.153【例6.30-31].

（2）设函数/⑴T"-咖⑴，其中在x=l处连续，则0

（1）=0是他）在x=l处可导的

（A）充分必要条件.（B）必要但非充分条件.

（C）充分但非必要条件.（D）既非充分也非必要条件.[A]

【分析】被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用f（x）在x=l处左右导数定义讨论即可.

【详解】因为

lim=lim0⑴=3^

（1）

x->i+x-1—>1+x-1,

lim=-lim（p{x）=-3^

（1）

xt厂x-1xt厂x-1,

可见，f（x）在x=l处可导的充分必要条件是30

（1）=-3。

（1）o0

（1）=0.故应选（A）.【评注】函数表达式中含有绝对值、取极值符号（max,min）等，均应当作分段函数处理.

一般地，函数巩*）=在点*=%处可导的充要条件是OS。

）=0.

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.28【例2.6]和《考研数学大串讲》P.19的公式.

（3）设可微函数f（x.y）在点（心儿）取得极小值，则下列结论正确的是

（A）/（x（），y）在丁=儿处的导数等于零.（B）/（心丿）在丁=儿处的导数大于零.

（C）/（x（），y）在丁=儿处的导数小于零.（D）/（x（），y）在丁=儿处的导数不存在.

[A]【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.

【详解】可微函数f（x,y）在点（％，儿）取得极小值，根据取极值的必要条件知/v（xo,yo）=o,即/（Xo，y）在y=处的导数等于零，故应选（A）.

【评注1】本题考查了偏导数的定义，/（%』）在丁=儿处的导数即人'（％，儿）；而f（X,儿）在x=X0处的导数即人（*0,儿）.

【评注2]本题也可用排除法分析，取f（X，y）=/+y2,在（0,0）处可微且取得极小值，并且有f（0,y）=y2,可排除（B）,（c）,（D）,故正确选项为（A）.

（4）设矩阵

'0or

5=010

100

已知矩阵A相似于B,则秩（A-2E）与秩（A-E）之和等于

（A）2.（B）3.（C）4.（D）5.[C]

【分析】利用相似矩阵有相同的秩计算，秩（A-2E）与秩（A-E）Z和等于秩（B-2E）与秩（B-E）之和.

【详解】因为矩阵A相似于B,于是有矩阵A-2E与矩阵B-2E相似，矩阵A-E与矩阵B-E相似，且相似矩阵有相同的秩，而

'-2

0

1_

'-I01'

0

-1

0

=3

000

秩（B-2E）=秩

1

0

-2

秩（B-E）=秩

10-1

可见有秩（A-2E）+秩（A-E）=秩（B-2E）+秩（B-E）=4,故应选（C）.

=1

【评注】若A-B，则/（A）~/（B）,且相似矩阵有相同的行列式、相同的秩和相同的特征值等性质.见《数学复习指南》P360相似矩阵及其性质.

（5）对于任意二事件A和B

（A）若舐丰©,则a,b—定独立.（B）若舐丰©,则a,B有可能独立.

（C）若AB=（/）t则a,b—定独立.（D）若AB=，则A.B—定不独立.

[B]

【分析】本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系.

【详解】4BZ0推不出p（aB）=P（A）P（B）,因此推不出A,B一定独立，排除（A）;若4B=0,则p（AB）=0,但P（A）P（B）是否为零不确定，因此（C）,（D）也不成立，故正确选项为（B）.

【评注】当P（A）丰0,p（b）工0时，若A,B相互独立，则一定有P（4B）=P（4）P（B）M0,从而有AB丰©可见，当A,B相互独立时，往往A,B并不是互斥的.

完全类似例题见《数学复习指南》P.415第二大题第（7）小题.

（6）设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则

（A）X与Y—定独立.（B）（X.Y）服从二维正态分布.

（C）X与Y未必独立.（D）X+Y服从一维正态分布.[C]

【分析】本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与维正态分布之间的关系.只有（X,Y）服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的.

【详解】只有当（X,Y）服从二维正态分布时，X与Y不相关OX与Y独立，本题仅仅已知X和Y服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X与Y淀独立，排除（A）;若X和Y都服从正态分布且相互独立，则（X.Y）服从二维正态分布，但题设并不知道X.Y是否独立，可排除（B）;同样要求X与Y相互独立时，才能推出X+Y服从一维正态分布，可排除（D）.故正确选项为（C）.

【评注】①若X与Y均服从正态分布且相互独立，则（X,Y）服从二维正态分布.

2若X与Y均服从正态分布且相互独立，则aX+bY服从•维正态分布.

3若（X.Y）服从二维正态分布，则X与Y相互独立OX与Y不相关.

完全类似结论见《数学复习指南》P.458的[注].

三、（本题满分8分）设

f（%）=—--，*e（°，屮，

sm71X7DC71（1-X）2

[0丄]

试补充定义f（0）,使得f（x）在2上连续.

【详解】

11.加一sin宓

lim/（x）一•h巴:

d+=-7i+d+msmm

1“7DC-sin7DC

—+lim——

1“兀一兀cos兀c

—+lim

=-n%to+17ix

17i2sinm

—+lim；—

=-71XT0+2兀2

1

由于f（x）在上连续，因此定义

使f（x）在2上连续.

'【评注】本题实质上是「求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.24第三题.

四、（本题满分8分）

=1,又g）”…）]

82f!

a2/

设f（U.V）具有二阶连续偏导数，且满足九25v2

z、W=.ry,v=^（.r2-y2）

【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：

g=/（"*）,2

直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用dvdu

【详解】dxdudv,

所以

【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.

完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P.67第六题和《数学复习指南》P.171【例7.20,7.22].

五、（本题满分8分）计算二重积分

I=+ysin（.r2+y2）dxdy.

D

其中积分区域d={（s）卜2+y2"}・

【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】作极坐标变换：

x=rcos&,y=rsin&,有

/=e"sin（.r2+y2）dxdy

令t,则

I=m71re~lsmtdt

A=-e~lintde~l

£costde~l

=e「"+1-A.

4显（1+厂）因此2,

I=—d+e-^=-（l+e^.

22

【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.

六、（本题满分9分）

设a>l,f（O=af-at在（―①+^）内的驻点为2）•问a为何值时，t（a）最小？

并求出最小值.

【分析】先由f（t）的导数为零确定驻点t（a）,它是关于a的函数，再把此函数对a求导，然后令此导数为零，得到可能极值点，进一步判定此极值为最小值即可.

【详解】由广（O=«，lna-a=O；得唯一驻点

/、〜InIna

t（a）=1.

Ina

/、-InIna

=1

考察函数Ina在a>l时的最小值.令

InIna1ii

畑=—=—1jnlz=0

（Ina）26/（lna）2,

得唯一驻点

a=ee.

丫0）=]_丄

当Q〉e°时•，/'（Q）>°；当a

是最小值.

【评注】本题属基本题型，只是函数表达式由驻点给出，求极值与最值的要求均是最基本的.

类似例题见《数学复习指南》P.144【例6.11-12].

七、（本题满分9分）

设y=f（x）是第一象限内连接点A（O,1）,B（1,O）的一段连续曲线，M（x,y）为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，0为坐标原点.若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM兰+丄

的面积Z和为63,求f（x）的表达式.

【分析】梯形OCMA的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM的面积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可.

【详解】根据题意，有

两边关于x求导，得

—[1+f（x）l+~xf'（x）~f（x）=—X2.

1x-1

广（X）——/（-V）=:

•

此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为

_F—必『兀2—1f—dx

/（x）=eJx[[exdx-^-C]

Jx

”2_[

Inxrf丄一lnxi.ci

e[eax+C\

=兀2+1+Cx.

—JY

当x=0时，f（0）=l.

由于x=l时，f（l）=0,故有2+C=0,从而C=-2.所以

/（.r）=x2+1-2x=（x-1）2.

【评注】本题一阶线性微分方程的求解比较简单，一般教材中都可找到标准的求解方法，完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.290第七题.

八、（本题满分8分）

设某商品从时刻0到时刻t的销售量为x（C=kt,tw［0,门，伙＞0）.欲在丁时将数量为A的该商品销售完，试求

（1）t时的商品剩余量，并确定k的值；

（2）在时间段［0,T］上的平均剩余量.

【分析】在时刻t的剩余量y（t）可用总量A减去销量x（t）得到；由于y（t）随时间连续变

丄

化，因此在时间段［0,T］上的平均剩余量，即函数平均值可用积分T

【详解】

（1）在时刻t商品的剩余量为

y（t）=A-x（t）

=A-kt,te[O,T].

因此

A

y（/）=A—戸，虫[0,门

⑵依题意，曲）在［o,口上的平均值为

A

因此在时间段［0,T］上的平均剩余量为2

【评注】函数f（x）在［a,b］±的平均值记为b-ail

本题考查了函数平均值的概念，但大纲中只对数学、二明确提出要求，而数学三、四的考试大纲中没有相应的要求，因此本题有超纲的嫌疑.

九、（本题满分13分）

设有向量组（I）：

&1=（1，0,2）『，«2=（1,1,3）r,«3=（l,-l,a+2）r和向量组（ip：

01=（1,2卫+3）『，02=（2,14+6）丁，03=（2,l,a+4）r.试问：

当a为何值时，向量组（I）与（II）等价？

当a为何值时，向量组（I）与（II）不等价？

【分析】两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示，而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可.而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断.一个向量01是否可由线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵（也°2©3|01）为阶梯形讨论，

而组向量几，02，03是否可由°1，°2，“3线性表示，则可结合起来对矩阵（凶,“2，&3|01，02，03）同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可.

【详解】作初等行变换，有

一］

0

2

-1

2

a—1

如=0+1工0,秩（«|,«2,«3）=3,故线性

方程组兀1。

1+兀2。

2+兀3。

3==123）均有唯一解.所以，肉，02，03可由向量组（I）

线性表示.

同样，行列式仏0203〕=6工0,秩（01,02,03）=3,故ess可由向量

组（II）线性表示.因此向量组（I）与（II）等价.

（2）当a=-l时，有

02

1-1

00

-111

211

-20-2

由于秩（《］,&2，“3）工秩（&1，色,&3：

01）,线性方程组*0］+吃也+=01

无解，故向量A不能由&1皿2，&3线性表示.因此，向量组（I）与（II）不等价.

【评注1】涉及到参数讨论时，一般联想到利用行列式判断，因此，本题也可这样分析：

因为行列式|a”a2，a3|=Q+l,|01，02，角|=6工0,可见

（1）当a主一1时，秩厂（&1,&2，&3）=r（0”02，03）=3,因此三维列向量组^15^25^3与01,02,03等价，即向量组（I）与（II）等价.

（2）当a=-l时，，秩心1，&2，也）=2,而行列式02心,01|=4工0,可见r（ocl,tz2,tz3）=2-r（“],"2,"3，0i）=3,因此线性方程组X0i+*2“2+=01无解，

故向量A不能由&1，&2。

3线性表示.即向量组（I）与（II）不等价.

【评注2】向量组⑴与（II）等价，相当于&1，&2，&3与01，02,03均为整个向量组a”<72。

3,01，02,03的一个极大线性无关组，问题转化为求向量组"1，&2，&3，01，02，03的极大线性无关组，这可通过初等行变换化阶梯形进行讨论.

本题完全类似分析思路的例题见《数学复习指南》P.347【例4.13】和《数学最后冲刺》P.94【例14】.

十、（本题满分13分）

'21r

「1[

A=

121

a-

b

设矩阵

lla

可逆，向量

_1J

是矩阵4*的一个特征向量，2是a对应的

特征值，其中”是矩阵A的伴随矩阵.试求a,b和2的值.

【分析】题设已知特征向量，应想到利用定义：

A*a=Aa,又与伴随矩阵4*相关的问题，应利用曲=国丘进行化简.

【详解】矩阵4*属于特征值2的特征向量为a,由于矩阵A可逆，故4*可逆.于是2^0,H*0,且

A*（z=2tz.

两边同时左乘矩阵A,得

AA*a=AAa,

Aa

即

「2

1

1

由此，得方程组

a+b+l=

由式

（1）,

（2）解得

由式

（1）.（3）解得

a=2.

由于

211

|A|=121=3a-2=4

11a

根据

（1）式知，特征向量a所对应的特征值社且.丄.

3+b3+b

所以，当b=l时，2=1；

当b=-2时，2=4.

【评注】本题若先求出4*,再按特征值、特征向量的定义进行分析，则计算过程将非常复杂.一般来说，见到4*,首先应想到利用公式曲进行化简.

本题类似的例题见《数学复习指南》P.365【例5.7】和《数学最后冲刺》P.90【例3】.

十一、（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为

F（x）是X的分布函数.求随机变量Y=F（X）的分布函数.

【分析】先求出分布函数F（x）的具体形式，从而可确定Y=F（X）,然后按定义求Y的

分布函数即可。

注意应先确定Y=F（X）的值域范围（O8时，F（x）=l.

对于XG[1,8],有

F（x）=P—\=dt=Vx-1.

J3沪

设G（y）是随机变量Y=F（X）的分布函数显然，当丁<°时，G（y）=O；当V>】时，G（y）=l.对于ye[0,1）；有

G（y）=P{Y

=P{\[X-l

于是，Y=F（X）的分布函数为

Q若y<0,

G（y）=

1,若y>l.

【评注】事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F（X）仍服从均匀分布:

当y<0时，G（y）=0;

当『'I时,G（y）=l;

当0

=P{X<厂。

）}

=F（F-1（y））=y.

【评注】本题是《数学复习指南》P.431【例2.231原题（实际上还是此题的特殊情形）.

十二、（本题满分13分）

对于任意二事件A和B,°<尸（人）<1,0

P（A5）-P（A）P（B）

Jp（a）p（b）p（A）p（耳）

称做事件A和B的相关系数.

（1）证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零；

（2）利用随机变量相关系数的基本性质，证明W-1-

【分析】⑴利用事件A和B独立的定义P（AB）=P（A）P（B）即可；

（2）随机变量X和Y_cov（X,Y）_EXY_EXEYp=P（AB）—P（A）P（B）

的相关系数为PxY~TdxTdy_4dx4dy,而需将a/p（a）p（b）p（入）P（戸）

转化为用随机变量表示，显然，若有EXY=P（AB）,