平面向量中三点共线定理妙用.docx
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平面向量中三点共线定理妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用
点共线定理:
在平面中A、B、P三点共线的充要条件是:
对于该平面内任意一点
由该定理可以得到平面内三点共线定理:
1。
对平面内任意的两个向量a,b(bO),a//b的充要条件是:
存在唯一的实数,使ab
uuvIVUJV
的0,存在唯一的一对实数x,y使得:
OPxOAyOB且xy
特别地有:
当点P在线段AB上时,x0,y0
当点P在线段AB之外时,xy0
笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单!
本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1(06年江西高考题理科第7题)已知等差数列{an}的前n项和为S,若
uujuuriuu
OBa1OAa200OC,且A、B、C三点共线,(设直线不过点0),则Soo=()
A.100B.101C.200D.201
解:
由平面三点共线的向量式定理可知:
a1+a200=1,二S200200(a~a20°)100,故选Ao
2
点评:
本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的咼考题。
例2已知P是ABC的边BC上的任一点,且满足AP
xAB
yAC,x.y
的最小值是
解:
Q点P落在VABC的边BC上B,
jujuur
xAByAC
P,C三点共线
jjjQAP
且x>0,y>0
14
(—-)
xy
1
(
x
4
)(xy
Qx>0,y>0
由基本不等式可知:
4x
5丫
x
4x
y
y
4
y
4x
2:
y
4x
x
y
:
x
y
4,取等号时
y
y)1-
x
uuurAN
1UULT-NC,3
点P是BC上的一点,
uuu
若AP
UUU2UULT
mAB—AC,则实数m的11
值为
(
)
9
5
3
2
A.
B.
C.
D.
11
11
11
11
图2
uuu
解:
QB,P,N三点共线,又QAP
uuu
mAB
2UULTAC11
uuu
mAB
2uuut4AN11
uuu
mAB
空ANT
11
8
m-
11
m-,故选C
11
例4(07年江西高考题理科)如图
3,在厶ABC中,点O是BC的中点,过点O的直
y4x2212
y4xy2xQx0,y0y2xQxy1x-,y,符合
xy33
14
所以丄4的最小值为9
xy
点评:
本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起,较综合考查了学生基本功.
线分别交直线ABAC于不同的两点M
的值为.
四边形法则可知:
uuurAO
1UULff
—(AB
2
UULT
AC)
UULTUUUUUULT
uuur
QAB=mAM,AC
nAN
解:
Q因为O是BC的中点,故连接AO
uuur1uumruult
AO-(mAMnAN)
2
UULTmUUUUnUULT
AOAM—AN
22
又QM,O,N三点共线,
由平面内三点共线定理可得:
--
22
例5(广东省2010届高三六校第三次联)
N,若AB=mAM,AC=nAN,贝Um+n
如图5所示:
点G是厶OAB的重心,P、Q分
别是边OA、OB上的动点,且P、G、Q三点共线.
11
设OPxOA,OQyOB,证明:
是定值;
xy
例3(湖北省2011届高三八校第一次联考理科)如图2,在厶ABC中,
UULT
OG
21uuuuuu--(OAOB)
32
1uuu-(OA
3
uiur
OB)
ULur
QOP
uuuuuu
xOAOA
1uuu-OPx
uuur
QOQ
UULT
OG
1UUUUUU11uuu
-(OAOB)_(_0P33x
1uuirOQ)y
又QP,G,Q三点共线,
111
3x3y
证明:
Q因为G是VOAB的重心,
uuu
yOB
uiur
OB
1uuir-OQy
图5
uuur
1uuu
1ULU
OG
—OP
OQ
3x
3y
11
31
1
1为定值3
xy
x
y
例6(汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试)如图6所示,
uuu1uuumur在平行四边形ABCD中,AE^AB,AF3
uuuruuurruur
1UULT
丄AD,CE与BF相交于G
4
图6
点,记ABa,ADb,则AG
a2r
1r
c2r
3r
3r
1r
4r
2r
A.—a
b
B.a
bC.
a
b
D.
a
b
7
7
7
7
7
7
7
7
分析:
本题是以平面几何为背景,为载体,求向量的问题,所以我们很容易联想到点F、GB以及E,G,C三点在一条直线上,可用平面内三点共线定理求解。
解:
QE,G,C三点共线,
又QF,G,B三点共线,
由平面内三点共线定理可得:
存在唯一的一对实数
使得
由平面内三点共线定理可得:
存在唯一的一对实数x使得
uuLrAG
uuuxAE
uuir
(1x)AC
uuir
QAE
1UUU
AB
3
1r
-a,
3
uuurrACa
uuLr
1r
r
r
2x
r
r
AG
x-a
(1x)(a
b)
(1
)a
(1
x)b-
3
3
1空
6
x-
由①②两式可得:
3
7
1
3
1x
4
7
点评:
本题的解法中由两组三点共线
uuir
3r
1r
AG
a
-b
7
7
F、GB以及E,G,C三点在一条直线上),
M
unr
AG
uur
AB(1
uuu
)AF
ULU
QAF
1uuur-AD4
1b,,
4
uur
AG
r
a(1
Jb•…
②
)4b
利用平面内三点共线定理构造方程组求解,避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂,达到了简化解题过程的效果。
例6的变式一:
如图7所示,在三角形ABC中,AM:
AB=1:
3,AN:
AC=1:
4,BN与CM
相交于点P,且ABa,ACb,试用a、b表示AP
解:
QN,P,B三点共线,
uuuuuuuuir使得APxAByAN,x
由平面内三点共线定理可得:
存在唯一的一对实数图Tx,y
y1-
QAN:
AC=1:
4,AN^AC
4
TyrT1x
xabxa
44
1uuuuunyUULT-bAPxABAC44
又QC,P,M三点共线,
由平面内三点共线定理可得:
存在唯一的一对实数
使得
uiur
AP
uuuuAM
uuur
AC,
uiur
t
T
1T
AP
a
b
a
3
3
1
•/AM:
AB=1:
3
AM1ABla
33
T
b•…
•…②
1
3
x
x
由①②两式可得:
3
11
Qxy
1x
2
4
11
1,
_8
11
uuu3T2T
AP—a—b
1111
例6的变式二:
如图8所示:
直线I过YABCD的两条对角线AC与BD的交点0,与AD边交于点N,与AB的延长线交于
y
点M又知Ab=mAM,
uuur——
AD=nAN,贝Um^n=
解:
因为点O两条对角线AC与BD的交点,所以点O为AC的中点
umr1uuuuuuruuuuuu
AO—(ABAD)QAB=mAM,AD=nAN
2
uuur1uuiuruuumuuuunuuur
AO-(mAMnAN)AM—AN又QM,O,N三点共线,
222
由平面内三点共线的向量式定理可得:
mm21mn2
定理的推广:
推广1:
如图9所示:
已知平面内一条直线
AB,两个不同的点O与P.
点O,P位于直线AB异侧的充要条件是:
存在唯一的一对实数x,y
图9使得:
UOPxoXyOUV且xy1。
推广2:
如图10所示:
已知平面内一条直线
AB,两个不同的点0与P.
点0,P位于直线AB同侧的充要条件是:
存在唯一的一对实数
uuv
OP
uvuuv
xOAyOB且xy1。
x,y使得:
图10
uuu
例7已知点P为VABC所在平面内一点,且AP
VABC的内部,如图11,则实数t的取值范围是(
1uuuuiur
ABtAC(t
3
)
R),若点P落在
A.(0,3)
4
13
B.(2,4)C.(0J)D.
解:
Q点P落在VABC的内部A,P两点在直线BC的同一侧,
由推论2知:
1t1t2,所以选D
33
例8(06年湖南高考题文科)如图12:
OMTAB,点P由射线OM线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且
OPxOAyOB,则实数对(x,y)可以是()
A.(!
-)B.(2,2)C.(!
-)D.(!
-)
44334455
图11
A
图12
解:
由题目的条件知:
点
O与点P在直线AB的同侧,所以xy
1,所以A,D两选
项不符合。
对于选项B、C,都有xy1,
2
但当x时,
3
1如果点P在直线AB上,则由平面内三点共线的向量式定理可知:
y-
3
uuuuuu
2如果点P在直线OM上,OMAB可知:
OP||AB,由平面向理共线定理可知:
存在
uuuuuuuuuuuu
唯一的实数t,使得OPtABt(OBOA)
uuu
tOA
uuu一—一
tOB,QOPxOAyOBtx,ty
又因为点
5
y-,故B选不符合。
3
3
UJU
动,且OP
uuuuuuxOAyOB,当
1
x2时的取值范围是
解:
当x
图13
①如果点
P在直线AB上,
则由平面内三点共线的向量式定理可知:
y
②如果点
P在直线0ML1,
OMAB可知:
uuuuuu
OPPAB,由平面向理共线定理可知:
存在
uuuuuuuuuuu
唯一的实数t,使得OPtABt(OBOA)
urn
tOA
uuu
tOB,QOPxOA
yOB
tx,ty
11
t-,y-,又因为点P在两平行直线
22
的取值范围是:
(丄,亠)
22
AB
1
OM之间,所以2
所以实数y
3.
OAB,
点P在边AB上,
AB
3AP,设OA
uuu
则
OP
()
1r
2r
2r
1r
A.—a
b
B.
a
b
3
3
3
3
练习:
uuuuuuuuu
ruuura,OBb,
C.
2r
b
3
D.2a
3
c
1、平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),
uur
卩OB,其中a,卩€R且a+卩=1,则x,y所满足的关系式为(
22
A.3x+2y-11=0B.(x-1)+(y-2)=5C.2x-y=0
若点
亠uuuuuu
ax,y)满足OC=aOA+
)
D.x+2y-5=0
14
2、已知P是ABC的边BC上的任一点,且满足APxAByAC,x.yR,则——
xy
的最小值是
3、在平行四边形
ABCD中,0是对角线
AC与BD的交点,
E是BC边的中点,连接
DE交AC于点
?
F。
已知AB=a,AD=b,则OF二()
A1a+1b
36
B.1(a+b)
4
C.丄(a+b)
6
D.1a+-b
64
F分别是BC
4、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考)在平行四边形ABCDKE、
CD的中点,DE交AF于H记ABBC分别为a、b,则AH=()
2424
a.5—5bB.5a+5b
2424
C.—53+5bD.—5a-^b
5、(2008年广东卷)在平行四边形
ABCD中,
AC与BD交于点
0,
E是线段OD
的延长线与CD交于点
uuirF.若AC
uuur
a,BD
b,则
uuu
AF(
)
A11,
21,
1
1,
12,
A.—abB.
ab
C.-a
b
D.
ab
42
33
2
4
33
的中点,AE
uuu
6、在平行四边形ABCDhAE
1uuuuuuiuuir
-AB,AF-AD,CE与BF相交于点G,记AB
imr
AG
34AB
A2
1,
2
3,
3
1,
4
2,
A._a
bB
.-a
b
C
.-a
b
D.—a
b
7
7
7
7
7
7
7
7
=(
)
uuur
7、在△ABO中,已知OC
1uuiuuur-OA,OD4
1uuu
OB,,
2
且AD与BC相交于点M,设
ruuu
a,OB
b,则
UULUOM
(结果用
a与b表示)
8、如图所示:
unr
OC
uurr
xOA
A,B,C是圆
uui
yOB
O上的三个点,
CO的延长线与线段AB交于圆内一点
D,若
则有:
A.0
B.xy
A.x
变式:
如图所示:
交于圆外一点
F,
A,B,C是圆
uuir
OC
O上的三个点,
uur
xOA
cc的延长线与线段
则有:
(
A.0xy
B.x
UUUyOB
A.x
AB的延长线
xy0
1A.1
1A.
—-.a
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