精品五年级下册数学试题培优专题讲练第6讲 巧用容斥原则 人教版.docx
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精品五年级下册数学试题培优专题讲练第6讲巧用容斥原则人教版
第6讲巧用容斥原理
方法和技巧
(1)当两个计数部分有重复时,为了不重复地计数,应从它们的和中减去重复部分:
nA+nB-nAB。
(2)如果采用三种不同的分类标准,性质A的事物有nA个,性质B的事物有nB个,性质C的事物有nC个,那么物体的总个数为
(nA+nB+nC)-(nAB+nBC+nCA)+nABC
例题精讲
A级基础点睛
【例1】某班40名同学都在做语文和数学作业,其中,26人做完了语文作业,18人做完了数学作业。
现在已有5人两门作业都做完了,求这两门作业都没有做完的有多少名同学。
分析与解我们可以先求出做完了语文作业和做完了数学作业的人数和,然后减去两门都做完的5人,得到至少做完一门作业的人数,最后从40名学生中减去至少做完一门作业的同学,就求出了两门作业都没有做完的同学。
26+18-5=39(人)40-39=1(人)
答:
有1人两门作业都没有做完。
做一做136个学生在回答两个问题时,答对第一题的有23人,答对第二题的有25人,两题都答对的有14人,问:
两题都没有答对的有多少人?
【例2】在1到100的自然数中,能被5或被7整除的数共有多少个?
解因100÷5=20,故1到100之中有20个数是5的倍数;因100÷7=14余2,故1到100之中有14个数是7的倍数;又因100÷35=2余30,故1到100之间有两个数是35的倍数。
注意到一个数是35的倍数时,它既是5的倍数,又是7的倍数,由包含排除法得20+14-2=32,故在1到100之中共有32个数是5的倍数或是7的倍数。
做一做2在1到500这500个数中,既不是完全平方米,又不是立方数的数共有多少个?
【例3】线段a长120毫米,小明把它平均分成8份后,小娟再把它平均分成12份。
这时,线段a上一共有多少分点?
解把a平均分成8份时,每份长120÷8=150(毫米),a上有8-1=7(个)分点;
因15×2=30(毫米),15×4=60(毫米),15×6=90(毫米),所以,两次平均分线段a时,共有3个分点是重复的。
根据包含排除法,a上的分点数一共有
7+11-3=15(个)
做一做3线段AB长18厘米,丁丁把它平均分为9份之后,英英又把它平均分布6份。
这时,线段AB内一共有多少个分点?
【例4】延秀小学的318名学生到“儿童乐园”活动。
其中参加划船的有156人,乘电动飞机的有196人,坐碰碰车的130人;既参加划船又坐碰碰车的人74人,既参加划船又乘电动飞机的有80人,既乘电动飞机又坐碰碰车的有40人。
问:
三种活动都参加的有多少人?
分析与解图1中集合A,B,C两两合成一个集合N,集合N中元素的个数是:
集合A,B,C的元素个数之和减去集合A,B,C两两合成的公共部分的元素个数,再加上集合A,B,C的公共部分元素的个数,即
N=A+B+C―AB―BC―AC+ABC
根据题意,图2中阴影部分表示三种活动都参加的人数,三种活动都参加的人数有
318―(156+196+130―80―40―74)=318―288=30(人)
答:
三种活动都参加的人有30人。
做一做4某班50名学生手中分别拿红、黄、蓝三种旗做游戏。
已知34人手中有红旗,26人手中有黄旗,18人手中有蓝旗,15人手中有红、黄两种旗,10人手中有黄、蓝两种旗,9人手中有红、蓝两种旗。
求手中有红、黄、蓝三种旗的有多少人?
B级培优竞赛更上层楼
【例5】某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一个项目达到优秀。
这部分学生达到优秀的项目、人数如下表,求这个班的学生人数。
短跑
游泳
篮球
短跑、游泳
游泳、篮球
篮球、短跑
短跑、游泳、篮球
17
18
15
6
6
5
2
分析与解先求至少有一个项目达到优秀的学生人数。
右图中3个圆圈分别代表短跑、游泳、篮球达到优秀的学生人数。
其中
A表示三个项目都达到优秀的人数是
A=2(人)
B表示篮球、游泳达到优秀,但短跑没有达到优秀的人数是
B=6-2=4(人)
C表示篮球、短跑达到优秀,但游泳没有达到优秀的人数是
C=5-2=3(人)
D表示游泳、短跑达到优秀,但篮球没能达到优秀的人数是
D=62=4(人)
E表示只有短跑一项达到优秀的人数是
E=17(2+3+4)=8(人)
F表示只有游泳一项达到优秀的人数是
F=18((2+4+4)=8(人)
G表示只有篮球一项达到优秀的人数是
G=15-(2+4+3)=6(人)
所以,至少有一个项目达到优秀的人数是
2+4+3+4+8+8+6=35(人)
还有4个人在三个项目上都没有达到优秀,所以全班人数是
35+4=39(人)
答:
这个班共有学生39人。
做一做5某班在一次达标测试中,测得26人短跑达标,30人铅球达标。
其中短跑和铅球都达标的有12人,另外有8人这两项都没有达标。
问:
这个班一共有多少名学生?
【例6】50名学生面向老师站成一排,按从左到右的顺序报数:
1,2,…,50。
报完后,老师让所有报数是4的倍数的学生向后转,接着又让所有报数是6的倍数的学生向后转。
问:
此时还有多少名学生面向老师?
分析与解面向老师的学生有两种情况:
一是两次都没有向后转的学生,二是两次都向后转的学生,所以本题可求出向后转一次的学生数,用学生总数减去这个数就可得出结果。
因为50÷4=12.5,所以1至50这50个数中有12个数是4的倍数。
同样,50÷6=8余2,即这些数中有8个数是6的倍数。
但50÷12=4余2,即这些数中有4个既是4的倍数又是6的倍数。
所以,只向后转一次的学生有(12―4)+(8―4)=12(名),而最后仍然面向老师的学生有50―12=38(名)
答:
还有38名学生面向老师。
做一做6100名学生面向老师站成一排,按从左到右的顺序报数:
1,2,3,…,100。
老师让所有报数是3的倍数的学生向后转,接着又让所有报数是7的倍数的学生向后转。
问:
此时背对老师的学生有多少名?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
【例7】100名学生面向老师站成一排(或几排),老师先让大家从左到右按1,2,3,…依次报数,再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转。
问:
(1)此时还有多少同学面向老师?
(2)其中面向老师的第50个(自左向右)同学报的数是几?
分析与解要注意先让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转,于是报数是12的同学连续两次向后转,仍面向老师,所以面向老师的同学个数=总数100-(报数为4的倍数同学的个数+报数为6的倍数同学的个数)+2×(报数为12的倍数同学的个数)。
(1)100―[
]―[
]+2×[
]=100―25―16+2×8=75
(2)列表:
123456789101112
131415161718192021222324
252627282930313233343536
……
858687888990919293949596
979899100
由图可得,自左向右起每12个同学中有9个面向老师。
50÷9=5余5,则面向老师的第50个同学报数为5×12+7=67。
做一做7200名学生面向老师站成一排(或几排),老师先让大家从左到右按1,2,3,…依次报数,再让报数是5的倍数的同学向后转,接着又让报数是8的倍数的同学向后转。
问:
(1)此时还有多少个同学面向老师?
(2)其中面向老师的第80个(自左向右)同学的报数是几?
巧练习——温故知新(六)
A级冲刺名校基础点睛
1.某班有学生46人,其中会骑自行车的有17人,会游泳的有14人,既会骑自行车又会游泳的有5人,问:
两样都不会的有几人?
2.一个班有学生42人,参加体育代表队的有30人,参加文艺代表队的有25人,并且每个人都至少参加了一个队。
问:
这个班两队都参加的有几个人?
3.李老师出了两道题,全班40个人,第1题有30个人做对,第2题有12个人未做对,两题都做对的有20个人。
问:
(1)第2题做对但第1题未做对的有几个人?
(2)两题都未做对的有几个人?
4.如右图,在长方形ABCD中,AD为15厘米,AB为8厘米,四边形OEFG的面积是9平方厘米。
求阴影部分的总面积。
5.在1至100的自然数中,能被2整除,或能被3整除,或能被5整除的数共有多少个?
B级培优竞赛更上层楼
6.如下图所示,A,B,C分别表示面积为12,28,16的三张不同的形状纸片,它们放在一起盖住的面积为38,并且A与B,B与C,A与C公共部分的面积分别为8,7,6,求A,B,C三个图形公共部分(阴影部分)的面积。
7.暑假期间,有12个同学去冷饮站,他们需要的冷饮统计数字如下:
有6个人要可可,有5个人要咖啡,有5个人要果汁,有3个人既要可可又要咖啡,有2个人既要咖啡又要果汁,有3个人既要可可又要果汁,有1个人可可、咖啡、果汁都要。
问:
有没有人什么冷饮都没要?
如果有的话,有几个人?
8.如右图,四个圆两两相交,它们把四个圆分成13个区域。
如果在这些区域中分别填上1~13这13个数,然后把各圆中的数各自相加,最后把这四个圆的和相加得总和,那么总和最小可能是多少?
9.某校参加数学竞赛的有120名男生和80名女生,参加语文竞赛的有120名女生和80名男生。
已知该校总共有260名学生参加竞赛,其中有75名男生两科竞赛都参加了,那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人?
10.200盏变色灯,编为1至200号,每个都由一个开关控制,扳动开关一次灯变黄色,再扳动开关一次,灯变绿色,再扳动开关灯又变红色。
现把所有编号为2的倍数的灯的开关扳动一次,再把编号为3的倍数的开关扳动一次,再把编号为5的倍数的开关扳动一次,求此时共有多少盏灯为黄色?
C级(选学)决胜总决赛勇夺冠军
11.60名同学参加乒乓球的有40人,参加足球赛的有45人,参加篮球赛的有48人,已知三项都参加的有22人,问:
最多有几个人三项比赛都未参加?
12.参加大型团体操表演的同学共有240名,他们面对教练站成一排,自左至右按1,2,3,4,…依次报数,教练让每个同学记住自己报的数并做以下动作:
先让报数是3的倍数的学生向后转,接着又让报数是5的倍数的学生向后转,最后让报数是7的倍数的学生向后转,问:
此时还有多少名学生面对教练?
13.求出分母是111的最简真分数的和。
14.将
化成小数等于0.5,是个有限小数,将
化成小数等于0.0909…,简记为0.09,是纯循环小数;将
化成小数是0.1666…,简记为0.16,是混循环小数。
现在将2004个分数
,
,
,…
化成小数,问:
其中纯循环小数有多少个?
巧总结
本节我的收获是:
不足之处有:
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