江苏省中考数学试题研究第一部分考点研究第三章函数第14课时二次函数的应用试题5年真题.docx
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江苏省中考数学试题研究第一部分考点研究第三章函数第14课时二次函数的应用试题5年真题
函数
第14课时二次函数的应用
江苏近5年中考真题精选(2013~2017)
命题点1二次函数的实际应用(盐城1考,淮安1考,宿迁1考)
考向一 最大利润问题
1.(2016徐州26题8分)某宾馆拥有客房100间,经营中发现:
每天入住的客房数y(间)与房价x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系,部分对应值如下表:
x(元)
180
260
280
300
y(间)
100
60
50
40
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)已知每间入住的客房,宾馆每日需支出各种费用100元;每间空置的客房,宾馆每日需支出各种费用60元.当房价为多少元时,宾馆当日利润最大?
求出最大利润.(宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出)
2.(2013盐城25题10分)水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售,经过还价,实际价格每千克比原来少2元,发现原来买这种水果80千克的钱,现在可买88千克.
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元?
(2)王阿姨准备购进这种水果销售,若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图所示的一次函数关系.
①求y与x之间的函数关系式;
②请你帮王阿姨拿个主意,将这种水果的销售单价定为多少时,能获得最大利润?
最大利润是多少?
(利润=销售收入-进货金额)
第2题图
3.(2017扬州27题12分)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:
销售价格x(元/千克)
30
35
40
45
50
日销售量p(千克)
600
450
300
150
0
(1)请你根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式;
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a值.(日获利=日销售利润-日支出费用)
考向二 费用问题
4.(2016宿迁24题8分)某景点试开放期间,团队收费方案如下:
不超过30人时,人均收费120元;超过30人且不超过m(30<m≤100)人时,每增加1人,人均收费降低1元;超过m人时,人均收费都按照m人时的标准.设景点接待有x名游客的某团队,收取总费用为y元.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)景点工作人员发现:
当接待某团队人数超过一定数量时,会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加,求m的取值范围.
考向三 几何图形面积问题
5.(2014淮安25题10分)用长为32m的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为xm,面积为ym2.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当x为何值时,围成的养鸡场面积为60m2?
(3)能否围成面积为70m2的养鸡场?
如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由.
6.(2013连云港23题10分)小林准备进行如下操作实验:
把一根长为40cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,小林该怎么剪?
(2)小峰对小林说:
“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗?
请说明理由.
命题点2 二次函数的综合应用(盐城必考,淮安2考,宿迁必考)
7.(2016淮安27题12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-
x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(-4,0).
(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标;
(2)点D的坐标为(0,4),点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连接CD、CF,以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF,设平行四边形CDEF的面积为S.
①求S的最大值;
②在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数图象上时,请直接写出此时S的值.
第7题图
8.(2013南京26题9分)已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0).
(1)求证:
不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点;
(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D.
①当△ABC的面积等于1时,求a的值;
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.
9.(2016宿迁26题10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,将二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折,把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度,得到二次函数图象N.
(1)求N的函数表达式;
(2)设点P(m,n)是以点C(1,4)为圆心、1为半径的圆上一动点,二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B,求PA2+PB2的最大值;
(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数,则该点称为整点.求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数.
第9题图
10.(2013宿迁27题12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx-3(a,b是常数)的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C.动直线y=t(t为常数)与抛物线交于不同的两点P、Q.
(1)求a和b的值;
(2)求t的取值范围;
(3)若∠PCQ=90°,求t的值.
第10题图
答案
1.解:
(1)设y=kx+b,将(180,100),(260,60)代入得:
,
解得
,(2分)
∴y与x之间的函数表达式为
y=-
x+190(180≤x≤300);(4分)
(2)设利润为w,
w=y·x-100y-60(100-y)
=x(-
x+190)-100(-
x+190)-60[100-(-
x+190)]
=-
x2+210x-13600
=-
(x-210)2+8450,
∵180<210<300,
(6分)
∴当x=210时,w最大=8450(元),
答:
当房价为210元时,宾馆当日利润最大,最大利润为8450元.(8分)
2.解:
(1)设现在实际购进这种水果每千克a元,则原来购进这种水果每千克(a+2)元,根据题意,得
80(a+2)=88a,
解得a=20.
答:
现在实际购进这种水果每千克20元;
(2)①设y与x之间的函数关系式为
y=kx+b,
将(25,165),(35,55)代入,
得
,
解得
,
故y与x之间的函数关系式为
y=-11x+440;
②设这种水果的销售单价为x元时,所获利润为w元,
则w=(x-20)y
=(x-20)(-11x+440)
=-11x2+660x-8800
=-11(x-30)2+1100,
∵a=-11<0,
∴当x=30时,w有最大值1100.
答:
将这种水果的销售单价定为30元时,能获得最大利润,最大利润是1100元.
3.解:
(1)p与x之间满足一次函数关系p=kx+b(k≠0),
因为点(50,0),(30,600)在图象上,
所以
,
解得
,
∴p与x之间的函数表达式为
p=-30x+1500(30≤x≤50);
(2)设日销售价格为x元/千克,日销售利润为w元,依题意得
w=(-30x+1500)(x-30)
=-30x2+2400x-45000(30≤x≤50),
∵a=-30<0,
∴w有最大值,
当x=-
=40(元/千克)时,w有最大值,即最大值为
w最大=
=3000(元);
答:
销售价格为40元/千克时,日销售利润最大;
(3)∵w=p(x-30-a)=-30x2+(2400+30a)x-(1500a+45000),
对称轴为x=-
=40+
a,
①若a>10,当x=45时取最大值,(45-30-a)×150=2250-150a<2430(舍去),
②若a<10,当x=40+
a时取最大值,将x=40+
a代入,得
w=30(
a2-10a+100),
令w=2430,则30(
a2-10a+100)=2430,
解得a=2或a=38(舍去).
综上所述,a=2.
4.解:
(1)由题意得,
y=
;(4分)
(2)由
(1)知当0<x≤30或m<x≤100时,
函数值都是随着x的增大而增大,
当30<x≤m时,
y=x[120-(x-30)]
=x(150-x)
=-x2+150x
=-(x2-150x+752-752)
=-(x-75)2+752,
∴当30<m≤75时,收取的总费用随着团队中人数的增加而增加.(8分)
5.解:
(1)已知围成的矩形一边长为xm,则矩形的邻边长为(32÷2-x)m.依题意得:
y=x(32÷2-x)=-x2+16x,
∴y关于x的函数关系式是
y=-x2+16x;(3分)
(2)由
(1)知y=-x2+16x,
当y=60时,-x2+16x=60,
即(x-6)(x-10)=0,
解得x1=6,x2=10,
即当x是6m或10m时,围成的养鸡场面积为60m2;(5分)
(3)不能围成面积为70m2的养鸡场.(6分)
理由如下:
由
(1)知,y=-x2+16x,
当y=70时,-x2+16x=70,
即x2-16x+70=0,(8分)
∵b2-4ac=(-16)2-4×1×70
=-24<0,
∴该方程无解;
即不能围成面积为70m2的养鸡场.(10分)
6.解:
(1)设剪成的较短的一段为xcm,较长的一段就为(40-x)cm,由题意得:
2+(
)2=58,
解得x1=12,x2=28,
当x=12时,较长的为40-12=28cm,
当x=28时,较长的为40-28=12<28(舍去),
∴较短的一段为12cm,较长的一段为28cm;
(2)设剪成的较短的一段为mcm,较长的一段就为(40-m)cm,由题意得:
(
)2+(
)2=48,
变形为:
m2-40m+416=0,
∵b2-4ac=(-40)2-4×416
=-64<0,
∴原方程无实数根,
∴小峰的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.
7.解:
(1)∵二次函数y=-
x2+bx+c过A(0,8)、B(-4,0)两点,
∴
,
解得
,
∴二次函数的解析式为
y=-
x2+x+8,
当y=0时,解得x1=-4,x2=8,
∴C点坐标为(8,0);
(2)①如解图,连接DF、OF,设F(m,-
m2+m+8),
第7题解图
∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF,
∴S△CDF=S△ODF+S△OCF-S△OCD,
=
×4×m+
×8×(-
m2+m+8)-
×8×4
=2m-m2+4m+32-16
=-m2+6m+16
=-(m-3)2+25,
∴当m=3时,△CDF的面积有最大值,最大值为25,
∵四边形CDEF为平行四边形,
∴S四边形CDEF=2S△CDF=50,
∴S的最大值为50;
②18.
【解法提示】∵四边形CDEF为平行四边形,
∴CD∥EF,CD=EF,
∵点C向左平移8个单位,再向上平移4个单位得到点D,
∴点F向左平移8个单位,再向上平移4个单位得到点E,即E(m-8,-
m2+m+12),
∵E(m-8,-
m2+m+12)在抛物线上,
∴-
(m-8)2+(m-8)+8
=-
m2+m+12,
解得m=7,
当m=7时,S△CDF=-(7-3)2+25=9,
∴此时S四边形CDEF=2S△CDF=18.
8.
(1)证明:
y=a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am.
∵当a≠0时,[-(2am+a)]2-4a(am2+am)=a2>0.
∴方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根,
∴不论a与m为何值且a≠0时,该函数的图象与x轴总有两个公共点;(3分)
(2)解:
①y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-
)2-
,
∴点C的坐标为(
,-
).
当y=0时,a(x-m)2-a(x-m)=0,解得x1=m,x2=m+1,
∴AB=1.
当△ABC的面积等于1时,有
×1×|-
|=1,
∴
×1×(-
)=1,或
×1×
=1,
∴a=-8或a=8;(6分)
②当x=0时,y=am2+am,所以点D的坐标为(0,am2+am),
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,
×1×|-
|=
×1×|am2+am|;
即|
|=|am2+am|,
∵a≠0,
∴
=|m2+m|,
∴m2+m=±
,
即m2+m+
=0或m2+m-
=0,
∴m=-
或m=
或m=
.(9分)
9.解:
(1)由题意得N的函数表达式为y=-(x-2)2+9;(3分)
(2)∵点P的坐标为(m,n),点A为(-1,0),点B为(1,0),
∴PA2+PB2=(m+1)2+(n-0)2+(m-1)2+(n-0)2=m2+2m+1+n2+m2-2m+1+n2=2m2+2n2+2=2(m2+n2)+2=2OP2+2,
∴当PA2+PB2最大时,要满足OP最大,即满足直线OP经过点C,(5分)
又∵点P(m,n)是以点C(1,4)为圆心、1为半径的圆上一动点,
∴CP=1,
∵OC=
=
,
∴OP=
+1,
∴PA2+PB2=2OP2+2=2(
+1)2+2=38+4
;(7分)
(3)由
得两二次函数交点坐标为(-1,0),(3,8).
两曲线围成的封闭图形如解图所示,
第9题解图
纵坐标的取值范围为:
-1≤y≤9,横坐标的取值范围-1≤x≤3,
∴M与N所围成封闭图形内(包括边界)的整点有:
(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,8)共25个.(10分)
10.解:
(1)将点A(-3,0)、点B(1,0)坐标代入y=ax2+bx-3中可得:
,
解得
;
(2)由
(1)知抛物线的解析式为
y=x2+2x-3,动直线y=t,联立两个解析式可得:
x2+2x-3=t,即x2+2x-(3+t)=0.
∵动直线y=t(t为常数)与抛物线交于不同的两点,
∴b2-4ac=4+4(3+t)>0,
解得t>-4;
(3)∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴抛物线的对称轴为直线x=-1,
当x=0时,y=-3,
∴C(0,-3).
设点Q的坐标为(m,t),则点P的坐标为(-2-m,t),
如解图,设PQ与y轴交于点D,
第10题解图
则CD=t+3,DQ=m,DP=m+2,
∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°,
∠DPC+∠PCD=90°,
∴∠QCD=∠DPC,
又∵∠PDC=∠QDC=90°,
∴△QCD∽△CPD,
∴
=
,
即
=
,
整理得:
t2+6t+9=m2+2m,
∵Q=(m,t)在抛物线上,
∴t=m2+2m-3,
∴m2+2m=t+3,
∴t2+6t+9=t+3,
化简得t2+5t+6=0,
解得t=-2或t=-3,
当t=-3时,动直线y=t经过点C,故不合题意,舍去,∴t=-2.
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