向量的概念及表示学案教材.docx
- 文档编号:520115
- 上传时间:2022-10-10
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:171.93KB
向量的概念及表示学案教材.docx
《向量的概念及表示学案教材.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《向量的概念及表示学案教材.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
向量的概念及表示学案教材
第二章平面向量
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
教学目标:
1.了解向量的实际背景,会用字母表示向量,理解向量的几何表示;
2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念
3.通过师生互动、交流与学习,培养学生探求新知识的学习品质.
问题导入:
问题1:
湖面上有3个景点O,A,B,如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B,从景点O到景点A有一个位移,从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同?
OB
A
问题2:
下列物理量中,那些量分别与位移和距离这两个量类似:
(1)物体在重力作用下发生位移,重力所做的功;
(2)物体所受重力(3)物体的质量为a千克;(4)1月1日的4级偏南风的风速。
问题3:
物理中,速度,力用什么表示?
1.向量的概念及表示
(1)向量的定义:
(2)向量的表示:
(3)向量的大小及表示
(4)零向量:
(5)单位向量:
思考:
平面直角坐标系内,起点在原点的单位向量,它们终点的轨迹是什么图形?
问题4:
在平行四边形ABCD中,向量与CD,AB与DC有什么关系?
2、向量的关系
(1)平行向量
(2)相等向量
(3)相反向量
问题5:
1.向量能否平移?
2.要确定一个向量必须确定什么?
要确定一个有向线段必须确定什么?
两者有何区别?
基础训练:
例1.下列命题中真命题是()
A.任何两个非零向量的单位向量都是相等的向量
B.任何两个非零向量的单位向量是相等向量或互为相反向量
C.一个非零向量的单位向量有两个,它们互为相反向量
D.任何非零向量的单位向量的模相等
例2.判断下列命题中正确的是()
(1)已知∥,那么向量,的方向相同或相反
(2)已知向量与向量CD是共线向量,那么四点A,B,C,D必在同一直线上;
(3)任何两个向量必可比较大小
例3.已知O为正六边形ABCDEF的中心,如图,所标出的向量中:
(1)试找出与FE共线的向量;
(2)确定与FE相等的向量;
(3)OA与BC向量相等么?
例4.如图,在4×5的方格纸中有一个向量AB,分别以图中的格点为起点和终点作向量,其中与AB相等的向量有多少个?
与AB长度相等的共线向量有多少个?
(AB除外)
感悟反思:
(1)向量是既有大小又有方向的量,向量有两个要素:
方向和长度,称为自由向量;有向线段具有三个要素:
起点,方向和长度;
(2)数量(标量)与向量的区别与联系:
向量不同于数量。
数量是只有大小的量,而向量是既有大小又有方向的量;数量可以比较大小,而向量不能比较大小,只有它的模可以比较大小;记号“”是没有意义的,而||>||才有意义。
§2.2平面向量的线性运算
§2.2.1向量的加法及其几何意义
教学目标:
1通过实际例子,掌握向量的加法运算,并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则则其几何意义。
2灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。
3通过本节学习,培养多角度思考问题的习惯,提高探索问题的能力。
问题导入:
问题1:
利用向量的表示,从景点O到景点A的位移为OA,从景点A到景点B的位移为AB,那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB,向量OA,AB,OB三者之间有何关系?
O
B
A
问题2:
一架飞机向北飞行200千米后,改变航向向东飞行200千米,飞机飞行的路程和位移分别是多少?
问题3:
数的加法运算有那些性质?
向量的加法也有类似的性质么?
你能验证么?
1.向量加法的性质:
验证下面的性质:
(1)a+0=0+a
(2)a+(-a)=(-a)+a=0
(3)加法满足交换率:
a+b=b+a
(4)加法满足结合率:
(a+b)+c=a+(b+c)
问题4:
通过对a+b=b+a的验证能得到什么结论?
问题5:
如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线,那么这n个向量的和是多少?
基础训练
例1.O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:
(1)OA+OC
(2)BC+FE(3)OA+FE
例2.在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地度过长江,其航向应如何确定?
变式:
若渡船以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航行,那么受水流影响,渡船的实际航向如何?
例3.下列各式正确的是()
A.若a,b同向,则有|a|+|b|=|a+b|
B.a+b与|a|+|b|表示的意义相同
C.若a,b不共线,则有|a+b|>|a|+|b|
D.|a|<|a+b|
感悟反思:
向量的加法运算有三角形法则和平行四边形法则,这两种运算是等价的。
三角形法则
要求参加运算的向量是依次“首尾相连”,平行四边形法则要求“共起点”.在实际运算中,可根据具体情况灵活选用.
§2.2.2向量减法运算及其几何意义
教学目标:
1.理解向量减法的含义,会做两个向量的差.
2.过知识发生发展过程教学使学生感受和领悟,数学发展的过程及其思想.
问题导入
问题1.向量的加法运算法则是什么?
问题1.数的减法运算是如何定义的?
向量减法概念
如图已知向量不共线,求做向量.
问题3:
若知向量是共线向量,求作向量,由例1得到如果两个向量有相同的起点,则它们的差向量的作图方法是:
.
问题4:
若,则成立,向量是否有成立?
你能证明吗?
基础训练
例1.如图,是平行四边形的对角线的交点,若,,
试证明..
例2.求证:
当两个向量不共线时:
⑴
⑵
感悟反思
1.向量减法是向量加法的逆运算.
2.向量减法的性质:
即,可把向量减法运算转化为向量加法的运算.
由于向量加减法都是用几何法(作图)来定义的,不管是三角形法则还是平行四边形法则与几何意义密不可分,因此,解决向量加法,减法问题,数形结合必不可少.
§2.2.3向量数乘运算及其几何意义
学习目标
1、掌握向量数乘运算,并理解其几何意义。
2、了解两个向量共线的含义。
3、理解和应用向量数乘的运算律。
问题导入
问题1
质点从O出发做匀速直线运动,若经过1s的位移对应的向量用a表示,那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用3a来表示。
这里,3a是何种运算的结果?
向量数乘的定义:
向量的数乘满足的运算律:
问题2如图D、E分别为三角形ABC的边AB,AC的中点,求证:
BC与DE共线,并将DE用BC线性表示。
向量共线定理:
证明:
基础训练
1已知向量a和向量b,求作向量-2.5a和向量2a-3b。
2计算:
(1)3(a-b)-2(a+2b)
(2)2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)
思考:
向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点?
3如图三角形OAB中,C为直线AB上一点,AC=CB(=-1)求证:
OC=。
思考:
两个不共线向量可以表示平面内的任一向量吗?
§2.3平面向量的基本定理及坐标表示
§2.3.1平面向量的基本定理
学习目标
1.了解平面向量的基本定理及其意义;
2.运用平面向量的基本定理解决相关问题.
问题情境
问题1ABCD的对角线AC和BD交于点M,,试用基底a,b表示。
问题2平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示?
问题3相关的旧知是什么?
(平面向量的共线定理)
1.由作图可得
2.探索:
对于向量,是否是惟一的一组?
3.平面向量基本定理:
如果是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使。
4.基底,不共线向量的夹角,垂直向量
1).两个非零向量夹角:
,叫做向量与的夹角.
注:
当时,与同向;当时,与反向;当时,与垂直,记.
基础训练
1。
已知三角形OAB中,点C和点B关于A对称,D是OB上靠近B的三等分点,设,用表示.
2设是平面内的一组基底,如果
求证:
A、B、D三点共线。
3设是两个不共线的非零向量,记,,那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线?
感悟反思
4.平面向量基本定理
5.平面向量基本定理与向量共线定理的比较。
6.三点共线的证明方法。
§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
1、理解平面向量的正交分解。
2、联系直角坐标系,研究向量正交分解的坐标运算。
问题情境
1、平面向量的正交分解
2、向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同于两个_______作为基为基底。
对于平面内的任一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y使得____________,这样,平面内的任一向量都可由__________唯一确定,我们把有序数对________叫做向量的坐标,记作=___________此式叫做向量的坐标表示,其中x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标。
3、几个特殊向量的坐标表示
4、以原点O为起点作向量,设,则向量,的坐标_____________,就是___________;反过来,终点A的坐标___________也就是__________________。
基础训练
1、在平面直角坐标系中,已知点A时坐标为(2,3),点B的坐标为(6,5),则=_______________,=__________________。
2、已知向量,的方向与x轴的正方向的夹角是30°,则的坐标为_____________。
3、下列各组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是()
A.
B.
C.
D.
4、已知向量则与的关系是()
A.不共线B.相等C.同向D.反向
感悟反思
1、平面直角坐标系中,每一人个向量都可以用一对实数唯一表示。
2、若已知向量,的模,的方向与x轴正向的转角为,由三角函数的定义可知,
§2.3.3平面向量的坐标运算
学习目标
1、会用坐标表示平面向量的加法、减与数乘运算。
2、培养细心、耐心的学习习惯,提高分析问题的能力。
问题情境
问题1平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数对(它的坐标)惟一表示,对于直角坐标平面内的每一个向量,是否都可以用一对有序实数对(它的坐标)表示惟一表示?
问题2若向量以原点为起点,则如何用坐标刻画向量?
若向量不以原点为起点呢?
1.在平面直角坐标系中,分别取与x轴、Y轴方向相同的两个单位向量作为基底,则对于平面上的一个向量a有且只有
2.
问题3的坐标吗?
由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得
7.两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)
8.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标,
9.一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。
基础训练
1已知A(-1,3),B(1,-3),C(4,1),D(3,4),求向量OA,OB,AO,CD的坐标。
思考:
四边形OCDA是平行四边形吗?
2已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C、D的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标。
3已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P2上一点,且
(l¹-1),求点P的坐标。
感悟反思
1.直角坐标平面内的每一个向量,都可以用一
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 向量 概念 表示 教材
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)