关于利津水文站年径流量的论文.docx
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关于利津水文站年径流量的论文
数学建模的应用
——关于利津水文站年径流量的预测
摘要:
以黄河口利津水文站1964-1997年的实测径流资料为依据,采用数理统计学、线性回归分析和灰色数学模型相结合的方法,对利津水文站的天然年径流量进行了初步分析。
研究结果表明:
近34年来,利津水文站的天然年径流量略有增长,基本处于稳定形势;利用线性回归分析法检测出1980年、1983年和1987年三个偏离点,天然年径流分别在三个偏离点处出现阶段性变化,在实际计算中应把这三个点忽略不计,直接利用其他数据运用最小二乘法进行处理。
引起这些变化的原因有气候的因素,但人类活动的影响在其中起了决定性作用。
经过计算我们可得到平均误差为0.046,比较理想。
预测的2010年天然径流量为663.7亿立方米。
关于黄河近期的丰水期以及枯水期情况我们利用灰色数学GM(1,1)模型进行预测。
根据丰水期和枯水期的时间响应式能预测出近期内黄河水径流量不会有大的变化,丰水期及枯水期均会稳定的出现,径流量基本保持在120—400亿立方米之间,很少会超过400亿立方米,也极少会小于120亿立方米,且得到平均误差为0,042,比较接近实际情况。
关键词:
天然年径流统计;天然年径流量预测;线性回归分析法;最小二乘法;灰色数学模型;
黄河利津水文站是万里黄河上的最后一个水文站,黄河水务的封笔之作。
黄河利津水文站始建于1934年6月,1937年11月因抗站停测。
解放后,1950年1月重新设站,现归黄委会山东水文水资源局管理。
水文站的主要任务是:
控制黄河入海水、沙量,为黄河下游防洪、防凌、水资源统一调度提供水情;研究和探索水文要素变化规律,为黄河下游河道治理、水沙资源利用以及黄河三角洲开发等搜集水文资料;对外承担各类水文测验项目,地形、河道测量等。
这样以来对利津水文站天然年径流量的统计与预测就显得尤为重要。
本文就是运用线性回归分析法对其进行预测,结合1964-1997年的数据对2010的流量进行估计,在利用题目中表1、2、3、4的数据运用灰色数学模型对其丰水期和枯水期进行预测。
1问题重述
本题结合利津水文站天然年径流量数据提出了相关的四个问题。
对于问题1要求我们查找1964-1997年利津水文站天然年径流量数据;问题2则是对有一个数据丢失的情况下应怎样处理,如何补充;而问题3是在问题1的基础上预测2010年的流量;问题4则是根据附表中给出的数据预测近期黄河的丰水期枯水期情况。
至于问题1见下表a。
表a1964—1997年利津水文站的天然年径流量(亿立方米)
年号
径流量
年号
径流量
年号
径流量
年号
径流量
1964
799.8
1973
476.8
1982
529.2
1991
435.8
1965
457.9
1974
430.6
1983
696.0
1992
563.8
1966
564.9
1975
645.6
1984
616.3
1993
625.3
1967
802.6
1976
644.6
1985
568.8
1994
569.7
1968
661.2
1977
466.4
1986
465.8
1995
567.9
1969
447.8
1978
524.2
1987
433.2
1996
625.6
1970
490.4
1979
514.6
1988
518.5
1997
589.3
1971
471.1
1980
432.8
1989
645.3
1972
427.6
1981
627.9
1990
576.9
问题2对于1960年数据缺失情况,对此有很多方法,我们可以如下来做:
1结合1955到1965年的数据利用算术平均值来计算;2运用平方平均值或最小二乘法来计算;3利用网络进行咨询查找。
4多次计算然后求其平均值以减少误差。
问题3和4接下来将建立线性回归及灰色数学两个模型进行求解,在此就不多叙述了。
2模型建立与求解
我们建立两个模型分别对2010的天然径流量和近期黄河丰水期及枯水期进行预测。
2.1线性回归模型
回归分析预测是经济预测中常用的方法之一。
是将已知的统计数据作为变量抽样的观察结果,通过考察这些数据之间存在的数量关系,设想出表达这种关系的方程式,然后通过最小二乘法来估计方程中的参数,由此确定变量之间数学模式。
采用线性回归分析模型预测天然径流量变化趋势。
设Y=AX+C,其中Y表示天然年径流量;X表示年份序号(1970年为1,1971年为2,以此类推,1989年为20。
注:
由图知1980,1983,1987年的数据应舍去);A,C为待定系数(Y=C+AX)。
(说明:
关于本题中数据过多这一现象,我们根据《概率论与数理统计》一书中的大样本概率一部分知识,可得当样本超过20个时所求的结果已经与真实值无限接近,因此在这里我们仅从中选取二十个数据来进行建模)将1970—1989年的天然年径流量数据带入,进行线性拟合,求得Y=487.020+4.310X表明模型建立的较为理想。
表b1970--1989年利津水文站的天然年径流量(亿立方米)
年号
径流量
年号
径流量
年号
径流量
年号
径流量
年号
径流量
1970
490.4
1974
430.6
1978
524.2
1982
529.2
1986
465.8
1971
471.1
1975
645.6
1979
514.6
1983
696.0
1987
433.2
1972
427.6
1976
644.6
1980
432.8
1984
616.3
1988
518.5
1973
476.8
1977
466.4
1981
627.9
1985
568.8
1989
645.3
将1992—1994以及2010年的序号23—25和41代入方程,可预测出2010年(代号41)的天然径流量。
表c线性回归分析法预测的数据(亿立方米)
年号(代号)
径流量
1992(23)
586.2
1993(24)
590.5
1994(25)
594.8
2010(41)
663.7
由此我们可以预测到2010年利津水文站天然年径流量的数据。
2.2灰色数学模型
径流的灰色特性源于水文动力过程时空分布的复杂性和对其预测认识的不完全性,包括水文资料信息的不完全性。
灰色系统理论是从信息的非完备性出发研究和处理复杂系统的理论,它不是从系统内部的特殊规律出发去研究系统,而是通过系统某一层次的观测资料加以数学处理,在更高层次上了解系统内部变化趋势,相互关系等机制。
对灰色系统问题进行的预测即为灰色预测。
它是以GM(1,1)模型为基础的进行计算分析的。
2.21GM(1,1)模型的建立
设有n个观察值构成的原始序列算子
,通过一次累加生成1-AGO序列 累加算子
其中:
。
令Z为Y的均值序列
其中:
Z(k) = ( Y(k) + Y(k-1) )/2; 原始序列算子的模拟序列为X0={X0
(1),X0
(2)…X0(n)}。
X0
(1)=X
(1),引入变量a,b。
(*1)
(*2)Y=
(*3)
时间响应式:
X0(k)=(1-
)(X
(1)-
)
(k=2,3…n)
2.22GM(1,1)模型的求解
根据所给表格我们得到如下数据,假设当年径流量超过400亿立方米时为丰水期,当年径流量低于120亿立方米时为枯水期。
下面我们来进行计算分析。
把相关数据代入上面式子中并进行计算。
对此我们应先对下表中数据进行筛选处理,然后按模式代入上面公式中求出a,b的值,得到时间响应式,并按要求对黄河近期的丰水期和枯水期情况进行预测。
表d黄河利津站1973-2001年径流量统计表(亿立方米)
序号
年号
径流量
序号
年号
径流量
序号
年号
径流量
序号
年号
径流量
序号
年号
径流量
1
1973
281.52
7
1979
270.08
13
1985
388.69
19
1991
122.45
25
1997
16.56
2
1974
231.6
8
1980
188.72
14
1986
157.39
20
1992
133.79
26
1998
106.16
3
1975
478.14
9
1981
346.29
15
1987
108.51
21
1993
184.61
27
1999
68.314
4
1976
469.39
10
1982
297.06
·16
1988
193.87
22
1994
219.07
28
2000
48.46
5
1977
247.51
11
1983
490.69
17
1989
243.81
23
1995
134.7
29
2001
46.53
6
1978
259.13
12
1984
445.22
18
1990
264.3
24
1996
157.48
对丰水期结合上表可得其原始序列算子为X1=
,则通过一次累加得到的累加算子为Y1=
,Y1的均值序列Z1为Z1=
。
模拟序列为X01={X01
(1),X01
(2)…X01(n)}。
X01
(1)=X
(1),引入变量a1,b1并代入模型中公式(*1)(*2)(*3)得a1=-0.393,b1=3.562则其时间响应式为
X01(k)=(1-0.675)(3+9.063)
(k=2,3…5)
求得X01(5)=13.473取整为13,即在1985年为丰水期。
同理对枯水期有有原始序列算子X2=
,则通过一次累加得到累加算子为Y2=
,Y2的均值序列Z2为Z2=
。
模拟序列为X02={X02
(1),X02
(2)…X02(n)}。
X02
(1)=X
(1),引入变量a2,b2并代入模型中公式(*1)(*2)(*3)得a2=-1.378,b2=134.183则其时间响应式为
X02(k)=(1-0.252)(15+97.714)
(k=2,3…6)
求得X02(6)=3495则近期不会出现枯水期。
3模型检验
3.1线性回归模型检验
在模型建立与求解中,我们已经得到1992—1994以及2010年的数据,在此我们通过比较1992—1994年的真实值与预测值来验证模型的正确与否。
以下通过表格形式来直观的表达。
表e线性回归模型预测的误差分析
年号
真实值
预测值
误差率
1992
563.8
586.2
0.040
1993
625.3
590.5
0.056
1994
569.7
594.8
0.044
总上可知线性回归分析模型的平均误差为0.046,在误差允许范围内可以忽略不计,则知模型建立较为合理。
3.2灰色数学模型检验
随着科学的发展,人类所要求达到的目的越来越高,所涉及的系统越来越复杂,对数学方法的要求也越来越苛刻。
关于灰色数学GM(1,1)模型的检验较为简便,在此我们仅拿丰水期时的数据进行检验如下。
表fGM(1,1)模型预测的误差分析
序号
预测值
误差率
3
3
0.00
4
4.103
0.03
11
9.882
0.11
12
11.605
0.03
13
13.473
0.04
可得其平均误差为0.042,在误差允许范围内可以忽略不计。
关于枯水期的情形可类比处理。
注:
模型的程序见附表。
(补充说明:
在此我们仅附上第一个模型的程序,至于第二个模型数据处理较少,且都是矩阵计算,可以包括在第一个程序内,在此就不再另加附表进行计算,只给出第一个程序,特此说明。
)
4模型分析
关于模型一(线性回归模型)和模型二(灰色数学GM(1,1)模型)的进一步分析处理,我们可以通过分析计算时所得数据来说明。
在模型一中我们对2010年利津水文站的天然年径流量运用线性回归分析法进行预测,综合考虑下结果较为理想,误差保持在0.05以内,此外我们也可以用BP神经网络来对其进行预测,结果要相对好些,但这两种方法各有优劣,可以结合两种模型整体分析来预测。
而模型二我们运用灰色数学GM(1,1)模型对黄河近期丰水期和枯水期的情况预测,根据预测结果黄河近期内不会有大的径流量变化,既不会过多也不会过少,并在一定时间内能满足用水需要。
对于预测结果在对枯水期进行处理时误差可能会大一些,但整体不会造成太大的影响。
在误差允许范围内仍符合实际情况。
5模型的完善与改进
经过计算分析我们得知模型中有些地方需要进一步的完善和改造。
就模型一而言我们看到平均误差在百分之五以内,这是非常好的,但是经过进一步推敲演算我们可以得出其在局部误差会达到很大。
对此有几种可能的情况:
其一在我们上面也有叙述,由于数据过多我们并没有对所有的数据进行处理,而只是从中选取二十个数据做预测的,则在数据选择上会人为的造成误差,这可以通过再选一组数据预测然后对比以尽量减少这方面的误差;其二也有可能是模型选取欠妥,通过观察数据我们能够看出它并不完全符合线性结构,对此我们应再换一种模型进行对比,我们可以用BP神经网络和应用时间序列来预测;其三可能是数据选的少了,可以在加五个数据,用25个数据来进行预测。
至于模型二我们可以看见其中有一个数据的预测误差较为偏大,可能是丰水期枯水期界限选的不对,我们可以把丰水期改为450亿立方米,把枯水期改为100亿立方米然后在预测看下误差大小。
总之,关于其改进方法我们可以选两个模型对比来做,也可以用多组数据分别处理然后找一个最好的预测结果,也可以在现有模型的基础上进行局部修整使其更加完善。
6参考文献
1数学模型在利津水文站年径流量预测中的应用。
2《概率统计与数理统计》第二版,主编王松桂,张忠占,程伟虎,高旅端科学出版社。
3郑世武,拾兵等基于改进灰色系统理论的年净流量预测研究。
4柴燕丽,孟令建等基于神经网络的淮河流域年径流量预测模型。
附表:
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"< for(i=0;i<20;i++) cin>>a[i]; for(i=0;i<20;i++) cout< cout<<"inputY: "< for(i=0;i<20;i++) cin>>b[i]; for(i=0;i<20;i++) cout< for(i=0;i<20;i++) { c[0][0]=c[0][0]+a[i]*a[i]; c[0][1]=c[0][1]+a[i]; } c[1][0]=c[0][1];c[1][1]=20; for(i=0;i<20;i++) { d[0]=d[0]+a[i]*b[i]; d[1]=d[1]+b[i]; } B=(d[1]-c[1][0]*d[0]/c[0][0])/(c[1][1]-c[0][1]*c[1][0]/c[0][0]); A=(d[0]-c[0][1]*C)/c[0][0]; cout<<"所得的拟合曲线方程为"< cout<<"Y="< }
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- 关于 利津 水文站 径流 论文