第九讲 与三角形有关的角.docx

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第九讲与三角形有关的角

第九讲与三角形有关的角

第一部分知识清单

1.三角形内角和（理解）

2.三角形的外角（理解）

3.多边形及有关概念（理解）

4.多边形的内角和及外角和（理解）

第二部分例题分析

一、知识点

1.三角形内角和

三角形内角和定理：

三角形的内角和等于1800。

【例1】

（1）在△ABC中，∠B=∠C=2∠A.求∠A、∠B、∠C的度数.

同步练习如图，已知

，

，

，求

的度数.

（2）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

同步练习如图，已知∠B=58°，∠C=36°，AD是高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE=.试说明：

2.三角形的外角

三角形外角的概念：

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形外角的性质:

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

【例2】如图，AD、CE都是△ABC的高，∠BAC=70°，∠ACB=50°，求∠AHC的度数.（用两种方法解答）

同步练习如图，点P是△ABC内任意一点，∠BPC一定比∠A大吗？

请说明理由.

3.多边形及有关概念

多边形：

这种在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形

多边形的内角：

多边形相邻两边组成的角叫做，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E.

多边形的外角：

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角.

多边形的对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段

凸多边形和凹多边形（注意：

今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形）

在图

（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图

（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形.

正多边形：

各个角都相等，各条边都相等的多边形.

4.多边形的内角和：

n边形内角和＝

【例3】如图，其中是凸多边形的是

同步练习下列说法正确的是（）

A.正多边形的每个内角都相等B.正多边形的每天便都相等

C.正多边形的每条对角线都相等D.正多边形一定是凸多边形

5.多边形的对角线条数

一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，故n边形得对角线共有条.

【例4】填空：

（1）从四边形的一个顶点出发，可以引条对角戏，将四边形分成个三角形；

（2）从五边形的一个顶点出发，可以引条对角戏，将五边形分成个三角形；

（3）从六边形的一个顶点出发，可以引条对角戏，将六边形分成个三角形；

（4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角戏，将n边形分成个三角形；

（5）十二边形的对角线条数为.

同步练习1.从

边形内部一点分别向各顶点引线段，可以将n边形分成三角形；从n边形上一点（不与顶点重合）向各顶点引线段，可以将n边形分成三角形；从n边形的一个顶点向其余向各顶点引线段，可以将n边形分成三角形。

2.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点引发的对角线的条数是.

6.多边形内角和公式与外角和

n边形内角和公式，外角和为.

【例5】

（1）若一个多边形的内角和是它外角和的3倍，则这个多边形是.

（2）一个多边形截去一个角后，形成新的多边形的内角和为2880°，则原多边形的的边数是_________.

同步练习

1.一个正多边形的每个内角与相邻外角之比为4:

1，则这个多边形是.

2.如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（　　）

A．360°B．540°C．720°D．630°

【例6】如图，小林从P点向西走12cm后，向左转，转动的角度为α，再走12cm，如此重复，小林共走了108cm回到点P，则α为.

同步练习

1.一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是．

2.在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多有个；

3.在凸2014边形的内角中的非锐角的个数至少有个；

4.一个凸边形的内角恰好有4个钝角，则n的最大值是.

【例7】如图

（2），求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E∠F+∠G的度数.

（2）

（3）

同步练习如图（3），求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数.

7.平面的镶嵌

用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌（或用多边形覆盖平面）的问题。

因此，能单独进行平面镶嵌的只有.

【例8】如果用正三角形和正六边形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形。

同步练习

1.能够用一种正多边形铺满地面的是。

A.正五边形B.正六边形C.正七边形D.正八边形

2.如果用正三角形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有个正三角形。

第三部分习题训练

A组基础题

1.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（）

A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形

C.等边三角形D.等腰钝角三角形

2.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

3.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为（）.

A.90°B.110°C.100°D.120°

4.如图，下列说法错误的是（）

A.∠B>∠ACDB.∠B+∠ACB=180°－∠A

C.∠B+∠ACB<180°D.∠HEC>∠B

5.已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为.

6.如图，AB∥CD，EF分别截AB、CD于M、N两点，求∠B+∠E+∠D+∠F的度数.

7.若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定

8.如图，∠CAB的外角为120°,∠B为40°,则∠C的度数是.

9.如图，在△ABC中，E是AC延长线上的一点，D是BC上的一点，∠1与∠A的大小关系是.

（题8）（题9）

10.若从一个多边形的一个顶点最多可以引10条对角线，则它是（）

A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形

11.下列可能是n边形内角和的是（）

A.300°B.550°C.720°D.960°

12.某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）

A.三角形B.矩形C.正八边形D.正六边形

13.用边长相等的正多边形进行密铺，下列正多边形能和正八边形密铺的〔〕

A.正三角形B.正六边形C.正五边形D.正四边形

14.任何一个三角形的三个角中至少有〔〕

A.一个锐角B.两个锐角C.一个直角D.一个钝角

15.一个多边形的每一个外角都等于24°，则这个多边形是边形.

16.一个多边形的内角和与外角和的比是7∶2，则这个多边形是边形.

17.如图所示，∠A=50°，∠B=40°，∠C=30°，则∠BDC=.

18.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是.

19.已知一个多边形的内角和是外角和的

，则这个多边形是.

20.在△ABC中，若∠A+∠B=∠C,则此三角形为三角形.

21.将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为.

（题21）

（题22）

22.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠DAC=，∠ADB=

23.一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的3倍还多20°，求这个多边形对角线的条数.

24.在△ABC中，

.求∠A、∠B、∠C的度数.

B组提高题

1.直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是.

2.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成20°角，则这个三角形的顶角是.

3.若两个多边形的边数之比为1：

2，两个多边形的内角和之和为1440°，求这两个多边形的边数.

4.一个多边形的外角和是内角和的

，它是几边形？

5．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为多少度？

6．一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角，这种多边形是几边形能确定它的每一个外角的度数吗？

7.一个多边形的各个内角都相等，且一个内角是150°，你知道它是几边形吗？

8.一个多边形的每一个外角都等于24°，求这个多边形的边数.

9.一个零件的形状如图中阴影部分．按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是29°和21°，检验人员度

量得∠BDC＝141°，就断定这个零件不合格．你能说明理由吗？

10．若两个多边形的边数相差1，则它们的内角和、外角和分别有什么异同？

11．一个多边形，它的外角最多有几个是钝角？

说说你的理由．

12.一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？

画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化

情况．

13．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F度数.

14．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2478°求这个内角的度数.

15.求图15-13①、②中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

16.一个五边形的五个外角的读数比是1∶2∶3∶4∶5，求这个五边形的五个内角的度数比.

17.两个正多边形的边数之比为1∶2，内角和之比为3∶8，求这两个多边形的边数、内角和.

18.一个多边形出一个内角外，其余个内角的和为2030°，求这个多边形的边数.