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2019全国1卷文数
一、选择题
1.设z
3
i,则
1
2i
A.2
B.
zz()
3C.2D.1
2.
已知集合U
1,2,3,4,5,6,7,A
2,3,4,5
B2,3,6,7
,则BeUA
()
A.1,6
B.1,7
C.6,7
D.1,6,7
3.
已知alog20.2,b20.2,c0.20.3,则()
A.abc
B.acb
C.cab
D.bca
4.
古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
51
2
(
5
1
),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人
2
0.618,称为黄金分割比例
体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
51.若某人满足上述两个黄金分
2
割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()
A.165cm
B.175cm
C.185cm
D.190cm
5.函数f(x)
sinx
x
在[
]的图像大致为(
)
cosx
x2
A.B.
C.D.
6.某学校了解
1000名新生的身体素,将些学生号
1,2,⋯,1000,从些新
生中用系抽方法等距抽取
100名学生行体
.若46号学生被抽到,下面
4名
学生中被抽到的是()
A.8号学生
B.200号学生
C.616号学生
D.815号学生
7.tan255
(
)
A.2
3
B.23
C.2
3
D.2
3
8.已知非零向量
a,b足|a|
2|b|,且(ab)
b,a与b的角(
)
A.π
B.π
C.2π
D.5π
6
3
3
6
9.如是求
1
的程序框,中空白框中填入
(
)
1
2
1
2
2
1
B.A2
1
C.A
1
1
A.A
A
A
2A
D.A1
2
1
2A
2
2
10.双曲C:
x2
y
2
1(a0,b0)
的一条近的斜角
130
,C的离心率
a
b
()
A.2sin40
B.2cos40
C.
1
D.
1
sin50
cos50
11.△ABC的内角A,B,C的分a,b,c,已知asinA
bsinB
4csinC,
1
,
b
(
)
cosA
c
4
A.6B.5C.4D.3
12.已知椭圆C的焦点为F1(1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若
AF2
2F2B,AB
BF1
,则
C的方程为()
A.x2
y2
1
B.x2
y2
1
C.x2
y2
1
D.x2
y2
1
2
3
2
4
3
5
4
二、填空题
13.
曲线y
3(x2
x)ex在点
(0,0)
处的切线方程为_______.
14.
记Sn为等比数列
an
的前n项和.若a11,S3
3
___________.
,则S4
4
15.
函数f(x)sin(2x
3π
3cosx的最小值为___________.
)
2
16.
已知
ACB
90
,P为平面ABC外一点,PC2,点P到
ACB两边AC,BC
的距离均为
3,那么
P到平面ABC的距离为___________.
三、解答题
17.某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
满意不满意
男顾客4010
女顾客3020
1.分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
2.能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附:
K2
(a
n(adbc)2
.
b)(cd)(a
c)(b
d)
P(K2
k)
0.0500.010
0.001
k3.8416.63510.828
18.
记Sn为等差数列
an
的前n项和,已知S9a5.
1.若a3
4
,求an
的通项公式;
2.若a1
0
,求使得
Sn
an的n的取值范围.
19.
如图,直四棱柱
ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,
AA14,AB2,BAD
60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
1.证明:
MN//平面C1DE;
2.求点C到平面C1DE的距离.
20.已知函数f(x)2sinxxcosxx,f'(x)为f(x)的导数.
1.证明:
f'(x)在区间(0,)存在唯一零点;
2.
若x0,
时,f(x)ax,求a的取值范围.
21.已知点A,B关于坐标原点O对称,AB
4,
M过点A,B且与直线x2
0相
切.
1.
若A在直线x
y
0上,求
M的半径;
2.
是否存在定点
P,使得当A运动时,MA
MP为定值?
并说明理由.
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程
]
1
t2
x
t2
在直角坐标系
xOy中,曲线C的参数方程为
1
(t为参数).以坐标原点
O为极
y
4t
t2
1
点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
l的极坐标方程为
2
cos
3
sin
110.
1.求C和l的直角坐标方程;
2.求C上的点到l距离的最小值.
23.[选修4—5:
不等式选讲]
已知a,b,c为正数,且满足
abc
1
.证明:
1.1
1
1
a2
b2
c2;
a
b
c
2.(ab)3(bc)3(ca)324.
参考答案
一、选择题
1.答案:
C
解析:
2.答案:
C
解析:
3.答案:
B
解析:
4.答案:
B
解析:
5.答案:
D
解析:
6.答案:
C
解析:
7.答案:
D
解析:
8.答案:
B
解析:
9.答案:
A
解析:
10.答案:
D
解析:
11.答案:
A
解析:
12.答案:
B
解析:
二、填空题
13.答案:
y3x
解析:
14.答案:
5
8
解析:
15.答案:
4
解析:
16.答案:
2
解析:
三、解答题
17.答案:
1.由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为
该商场服务满意的概率的估计值为0.8.
40
0.8,因此男顾客对
50
女顾客中对该商场服务满意的比率为
计值为0.6.
30
50
0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估
2.K2100(4020
3010)2
4.762.
50
50
70
30
由于
4.762
3.841
95%
的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
,故有
解析:
18.答案:
1.设an的公差为d.
由S9
a5得a14d0.
由a3
4得a1
2d4.
于是a1
8,d
2.
因此an的通项公式为an
102n.
2.由1得a1
4d,故an
n(n
9)d
(n5)d,Sn
.
2
由a1
0知d
0,故Sn
an等价于n211n
100,解得1n10.
所以n的取值范围是{n|1
n10,nN}.
解析:
19.答案:
1.连结B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME//B1C,且
ME1B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND1A1D.
22
由题设知A1B1//DC,可得B1C//A1D,故ME//ND,因此四边形MNDE为平行四边
形,MN//ED.又MN平面C1DE,所以MN//平面C1DE.
2.过C作C1E的垂线,垂足为H.
由已知可得
DEBC,DE
C1C,所以DE平面C1CE,故DECH.
从而CH
平面C1DE,故CH的长即为C到平面C1DE的距离,
由已知可得CE1,C1C4,所以C1E
4
17
17,故CH
.
17
从而点C到平面C1DE的距离为
417.
17
解析:
20.答案:
1.设g(x)f
(x),则g(x)cosxxsinx
1,g(x)xcosx.
π
g(x)
0;当x
π,π时,g(x)
0,所以g(x)在(0,
π
当x(0,)时,
)单调递
2
2
2
增,在
π
π单调递减.
2
又g(0)
π
2
,故g(x)在(0,π)存在唯一零点.
0,g
0,g(π)
2
所以f
(x)在(0,π)存在唯一零点.
2.由题设知f(π)
aπ,f(π)
0,可得a
0.
由1知,f(x)在
(0,π)只有一个零点,设为
x0,且当x
0,x0时,f(x)
0;当
xx0,π时,f(x)0,所以f(x)在0,x0单调递增,在x0,π单调递减.
又f(0)
0,
f(π)0,所以,当x[0,π]
时,f(x)0.
又当a
0,x
[0,π]时,ax0,故f(x)
ax.
因此,a的取值范围是(,0].
解析:
21.答案:
1.
因为M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线
x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y
x上,故可设M(a,a).
因为
M
与直线
x
2
0相切,所以
M
的半径为
r
|a
2|.
由已知得
|AO|=2
,又
MO
AO,故可得
2a2
4
(a
2)2,解得
a=0或a=4.
故M的半径r=2或r=6.
2.存在定点P(1,0),使得|MA|
|MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得
M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
由于MO
AO,故可得x2
y2
4(x
2)2,化简得M的轨迹方程为
y2
4x.
因为曲线C:
y2
4x是以点
P(1,0)为焦点,以直线
x
1
为准线的抛物线,所以
|MP|=x+1.
因为|MA||MP|=r
|MP|=x+2
(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.
解析:
1
t2
y
2
1
t2
2
4t2
22.答案:
1.
因为
1
1
,且
x
2
,所以C的直角
1t2
2
1t2
1t22
1
坐标方程为x2
y2
1(x
1).
4
l的直角坐标方程为
2x
3y
11
0.
2.由1可设C的参数方程为
x
cos
(
为参数,
π
π).
y
2sin.
4cos
π
|2cos
2
3sin
11|
11
C上的点到l的距离为
3
.
7
7
当
2π
4cos
π
11
取得最小值
7,故C上的点到l距离的最小值为7.
3
时,
3
解析:
23.答案:
1.因为a2
b2
2ab,b2
c2
2bc,c2
a2
2ac,又abc
1,故有
a2
b2
c2
ab
bc
ca
ab
bc
ca
1
1
1
.
abc
a
b
c
所以111
a2
b2
c2.
a
b
c
2.因为a,b,c为正数且abc
1
,故有
(ab)3
(bc)3
(ca)3
33(ab)3(bc)3(ac)3
=3(a+b)(b+c)(a+c)
3(2ab)(2bc)(2ac)
24.
所以(ab)3
(bc)3
(ca)3
24.
解析:
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