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数三真题与解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个
选项是符合题目要求的
【答案】A
rtiAC-B1(1*1)为极们点选D.
v/W/(x)>0(;
【解析】
「「或
,只有C选项满足J且满足
■:
l,所以选c。
【解析】
-(1十灯一十一-一-
n6n
凶为感级輿收;£所以=1il<
⑸设」是:
.维单位列向量,二为:
阶单位矩阵,则
(C)
【答案】
即不可逆•
选项B,由"二二■1--得&了的特征值为n-1个0,1.故二—[二的特征值为n-1个1,
【解析】由■7一-可知A的特征值为2,2,1.
(B)
2国一可服从F分布
因为-"---—“,•••A可相似对角化,且由二-一“可知B特征值为2,2,1.
因为-1--B不可相似对角化,显然C可相似对角化,
•」「,且B不相似于C.
(7)设山-'为三个随机事件,且土与?
相互独立,H与?
相互独立,则AuB与-相互独立的充要条件是
(A)」与丄相互独立
(B)」与丄互不相容
(C)-二-与「相互独立
(D)亠--与「互不相容
【答案】C
【解析】
oUm)*HB”HAB))P(C)QP(AC)+P(SC)-P(ABC}=P{A)P(C)+/XB}P(C>-P(AB)P(C)0P(A\P(C\^PlB)P(C)-P(ABCJ=P(AO+PlB\P{C)-AB)P(C)
故独工.
_i»
g二x.
(8)设…「——来自总体的简单随机样本,记I二,则下列
结论中不正确的是:
(C)
-分布
(D)-/'服从「分布
【答案】B
【解析】
=£(兀-岗―於(心迹确
=>(押-1)讯二壬(扎-新~上乜-0C正礴
今冬測(坷丄),厶(左-#)〜”(0」)/(元-“尸~于⑴Q正确
n
=E-X\〜N®2),鱼亍盧~/(0故B错误.
由于找不正确的结论,故B符合题意•
(sir?
x+J*-x》)dx二
二、填空题:
9-14小题,每小题4分,共24分。
「
(9)-
【解析】
(10)差分方程
【解析】Ml-■--」II1■■'-i1
段丫:
-(工.则—c\(^i)2^=c\rr^+c\r^代入原方程得
(ii)设生产某产品的平均成本卍(Q)二*目,其中。
为产量,则边际成本为
【解析】^(12)设函数「匸]具有一阶连续偏导数,且
淤丿)=対血+班+必购』(0』)=0
【解析】
凶此
(v)=0.Wc(y)=C.i'irlr/(OlO)=0*=aivt.
<1
【解析】由I八沖7线性无关,可知矩阵-■:
■3可逆,故
r討屯,上二t「I:
一“屯二”丄再由r;:
=;得-.二二;
(14)设随机变量:
.的概率分布为一,—一1广"止一「一「,若
57=0
【解析】
由01M衬一+a+b=]冉宙EX=0fll—2x—l+a+36=
扌層一3*耳+叫諾曲—氐弓
三、解答题:
15~23小题,共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
lim———==——dt
(15)求
【解析】
Af0
-)=——dt*^x-t-u・则fi77
[^x-~fertit=-J血疋*'du-[血Q”
区域•
limy-yin1+-
(17)求I刃
*上上]11
lim2-rIn(l+T=L加(1+x)dx=-[ln(l+"J
【解析】7'
扣(i+x)/|h
—亠
(18)已知方程'’在区间」内有实根,求k的范围.
【解析】
xe(OJ)厂⑴二啤空卫岀二do
.f(l+r)lii(1+x}
故/(x)单调通i#IL「⑴二——17In2
丄2
■・幵*・,Jf-ln(1+x)小*.W*t
Innj(x)=11111(—Jt)=uni-■-;—k=
由腕总川站;l
In2
即(I-ln2-1n2^Xl-2t)<0
2ln2Jtz-(2*ln2)fc+(l1d2)<0
1y1*
(19)若」,_为幂级数^的和函数.
0
tv
(1)证明—的收敛半径不小于1
⑵证明1■--,并求—的表达式
nl(打一1)!
旳
IE4E
xS©)二工®r**1=・Sftl
£
(I-xJSX.rt-.vSt.r)二^[(/?
+-rut,-].vurv
7
由二——(叫+口日)町知(丹+1)trw+lnaM-耳二0t
由旳—0.所U(l-x)5U)J-0解犠分方州対S(x)=—・illS(0)=a0=]=>c=]=>5(x)1-x
(20)设2阶矩阵:
'"''''1有3个不同的特征值,且「■
⑴证'■;
的通解.
(ii)0二兔+$+§,求磁=0
(I)证明:
由可得",即二土,-线性相关,
又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.
且由于A必可相似对角化,则可设其对角矩阵为
(II)由
(1)心)=2,知3-也二1,即山二D的基础解系只有i个解向量.
4%矚)
2
=Z
p:
2
=0
<1]
2
由坷+迢-爸
可得
丄
,则Ar=0的基础解系为
卩1
1
,则出=p的一个特解为U丿
(21)设二次型-■■-■--■-:
'-I-■■■■■■-在正交变换一「下
【解析]_■-■'■■■,其中
由于;\—匚:
二■-二上经正交变换后,得到的标准形为'疋’-
r(j4)=2弓/|=0n
-1
-4
1
-4
,则
将-;:
代入,满足「匸◎■-L,因此-;:
符合题意,此时
|AE—A—
Li—2
-1
4
-1
A+1
一1
4
-1
a_2
二0n彳二—3f=6
A的属于特征值-3的特征向量为
由一上一|:
可得A的属于特征值
6的特征向量为
珂二T
b丿;
匚1]
0
1」
由匸二,
可得A的属于特征值
(-3
6
0
Hap二
碍二
0的特征向量为
\
,由于卞彼此正交,
r1jrI_7
煜二卞171)1爲二卞TQ1「爲二〒(12心化即可:
,则
故只需单位
(2=(AAA)=
(22)设随机变量二•■-相互独立,且--
2y,0 /W= 率密度为 「求小…'; □求2二X+? 的概率密度. 1 2 1 76 的概率分布为 P(X=0)=P(X=2) -,-的概 ⑴二(: 池轴匸彳 (11)码⑵= 二P(X+YMg,畫=O)+P(X+F兰玉£二2) =p(y =|F(r (1)当 i,则丄;丄11; (2)当匚丄二—即I匸时,儿二-; (23)(本题满分11分) 某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n次测量,该物体的质量是已知的,设n次测量结果】\': 相互独立,且均服从正态分布"! ,该工程师记录的是n次测量的绝对误差可T,2,…卫],利用知勺厂£估计0 Z, (I)求’: 的概率密度; (II)利用一阶矩求的矩估计量; (III)求】的最大似然估计量• 【解析】莎⑵二昭3)二刊逅-心勿 当■■--II; 当「「.一mi—: .: 」--: .-<「二|; 当二: 时, 2^2 人⑵=化⑵i=・gw宀=加沽方=訂2 —.g 人⑵=1妬£7 综上 0,z<0 7T 12 由此可得-的矩估计量 (III)对总体4的: : 个样本負,则相应的绝对误差的样本 令其样本值为----厂「•则对应的似然函数 [s亡彳 \(9Y-^_ h其他 两边取对数,当-: .'1时
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