重庆大学数学实验微分方程.docx
- 文档编号:5190069
- 上传时间:2022-12-13
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:231.20KB
重庆大学数学实验微分方程.docx
《重庆大学数学实验微分方程.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《重庆大学数学实验微分方程.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
重庆大学数学实验微分方程
重庆大学
学生实验报告
实验课程名称数学实验
开课实验室DS1402
学院年级专业班
学生姓名学号
开课时间2014至2015学年第二学期
总成绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室:
实验时间:
年月日
课程
名称
数学实验
实验项目
名称
微分方程求解
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导
教师
龚劬
成绩
实验目的
[1]归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法;
[2]掌握解析、数值解法,并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析;
[3]熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令;
[4]通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程;
通过该实验的学习,使学生掌握微分方程(组)求解方法(解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等),对常微分方程的数值解法有一个初步了解,同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令,学会建立微分方程方面的数学模型。
这对于学生深入理解微分、积分的数学概念,掌握数学的分析思维方法,熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
基础实验
1.微分方程及方程组的解析求解法;
2.微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法;
3.直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解);
4.利用图形对解的特征作定性分析;
5.建立微分方程方面的数学模型,并了解建立数学模型的全过程。
实验过程
1.求微分方程的解析解,并画出它们的图形,
(1)y’=y+2x,y(0)=1,0 (2)y’’+ycos(x)=0,y(0)=1,y’(0)=0; 解: (1)M文件: k=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x') ezplot(k,[0,1]) 运行结果: k=-2*x-2+3*exp(x) (2)M文件: x=dsolve('D2y+y*cos(x)=0','y(0)=1,Dy(0)=0') ezplot('x') 运行结果: x=cos(cos(x)^(1/2)*t) 2.用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y’=y-2x/y,y(0)=1(0≤x≤1,h=0.1)的数值解,要求编写程序,并比较两种方法的计算结果,说明了什么问题? 解: 向前欧拉公式的M文件: x (1)=0;y (1)=1;h=0.1; fori=1: 10 x(i+1)=x(i)+h; y(i+1)=y(i)+h*(y(i)-2*x(i)/y(i)); double(y(i+1)); disp(y(i+1)) end 运行结果: 1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848 改进欧拉公式的M文件: x (1)=0;y (1)=1;h=0.1; fori=1: 10 x(i+1)=x(i)+h; k1=y(i)-2*x(i)/y(i); k2=y(i)+h*k1-2*x(i+1)/(y(i)+h*k1); y(i+1)=y(i)+0.5*h*(k1+k2); double(y(i+1)); disp(y(i+1)) end 运行结果: 1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848 1.09591.18411.26621.34341.41641.48601.55251.61651.67821.7379 解析求解: k=dsolve('Dy=y-2*x/y','y(0)=1','x') ezplot(k,[0,1]) 运行结果: k=(2*x+1)^(1/2)当x=1时,y=1.7320; 通过比较结果,说明改进型的欧拉方法比向前欧拉方法的结果精确。 3.Rossler微分方程组: 当固定参数b=2,c=4时,试讨论随参数a由小到大变化(如a∈(0,0.65))而方程解的变化情况,并且画出空间曲线图形,观察空间曲线是否形成混沌状? 首先建立如下M文件: functionxdot=fish(t,x) b=2;c=4;globala;xdot=[-x (2)-x(3);x (1)+a*x (2);b+x(3)*(x (1)-c)]; end 再建立M文件: x0=[0,0,0];globala; fora=0: 0.65/3: 0.65 [t,x]=ode45('fish',[0,200],x0);x1=x(: 1);x2=x(: 2);x3=x(: 3); subplot(1,2,1),plot(t,x1,'r-',t,x2,'b: ',t,x3,'m--') title('x(红色),y(蓝色),z(紫色)随t的变化情况');xlabel('t');pause (1) subplot(1,2,2),plot3(x1,x2,x3);grid; title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');pause(20) end 运行结果(下面4图分别为a=0,0.13,0.26,0.39,0.52的图形) 图4-图8 4.Apollo卫星的运动轨迹的绘制 解: M文件: 首先建立r1函数: functiony=r1(x) u=1/82.45;a=x (1);b=x (2);y=((a+u)^2+b^2)^(1/2); 再建立r2函数: functiony=r2(x) u=1/82.45;u1=1-u;a=x (1);b=x (2); y=((a-u1)^2+b^2)^(1/2); 接着建立如下M文件: functionxdot=star(t,x) u=1/82.45;u1=1-u;k=x (1);l=x (2);m=x(3);n=x(4);xx=[k,m]; xdot=[l;2*n+k-u1*(k+u)/r1(xx)^3-u*(k-u1)/r2(xx)^3;n;-2*l+m-u1*m/r1(xx)^3-u*m/r2(xx)^3]; 最后调用如下M文件: ts=[0,20];x0=[1.2,0,0,-1.04935751]; [t,x]=ode45('star',ts,x0); y1=x(: 1);y2=x(: 3); plot(y1,y2) 运行结果: 应用实验 5.盐水的混合问题 一个圆柱形的容器,内装350升的均匀混合的盐水溶液。 如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入,同时,容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。 开始时,容器内盐的含量为7千克。 求经过时间t后容器内盐的含量。 做出如下假设: 1.假设在不同浓度的水中的盐扩散速度都相同。 2.假设任何时刻容器内的盐水都是均匀的。 3.用y(t)表示容器内t时刻的盐的含量,用W(t)表示容器内t时刻的水的总量,用O表示盐水流出的速度,用I代表纯水流入的速度,时间变化 后容器内盐的含量为y(t+ )。 考虑在 内流出的盐水的为O 则其流出的盐为 . 通过以上假设可以得如下模型: 化简可得 M文件: k=dsolve('Dy=-(y*Y)/(T(t0)+(C-Y)*t)','y(0)=7','t') 运行结果: k=7/((-T(t0))^(Y/(-C+Y)))*((-C+Y)*t-T(t0))^(Y/(-C+Y)) 由题目可知W(t0)=350,O=10.5,I=14,从而y(t)=7000000/(t+100)^3 总结与体会 通过该实验的学习,我掌握了微分方程(组)的求解方法(解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等),对常微分方程的数值解法有了一个初步的了解,同时学会了使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令,学会了建立微分方程方面的数学模型。 加深了我对微分、积分等数学概念的理解,同时使我掌握了数学的分析思维方法,熟悉了处理大量的工程计算问题的方法。 设计记录表格,包括碰到的问题汇总及解决情况 题号 问题 解决情况 1 解微分方程并作图 √ 2 欧拉公式相关 √ 3 微分方程组 √ 4 卫星轨迹绘制 √ 盐水的混合问题 模型建立,数据处理 √ 教师签名 年月日 备注: 1、同一章的实验作为一个实验项目,每个实验做完后提交电子稿到服务器的“全校任选课数学实验作业提交”文件夹,文件名为“学院学号姓名实验几”,如“机械20073159张新实验一”。 2、提交的纸质稿要求双面打印,中途提交批改不需要封面,但最后一次需将该课程所有实验项目内页与封面一起装订成册提交。 3、综合实验要求3人合作完成,请在实验报告上注明合作者的姓名。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 重庆大学 数学 实验 微分方程
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)