中考数学一轮复习第四章几何初步第9节相似三角形试题.docx
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中考数学一轮复习第四章几何初步第9节相似三角形试题
2019-2020年中考数学一轮复习第四章几何初步第9节相似三角形试题
课标呈现
指引方向
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.
2.通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比.
3.掌握基本事实:
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
4.了解相似三角形的判定定理:
两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明.
5.了解相似三角形的性质定理:
相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方.
6.了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
考点梳理
夯实基础
1.比例线段:
对于四条线段a,b,c,d中,如果
=
,就称a,b,c,d四条线段是成比例线段,简称比例线段.
2.比例线段的性质:
⑴基本性质:
=
⇒ad=bc(bd≠0);
=
⇒b2=ad;
⑵合比性质:
=
⇒
=
;
⑶等比性质:
若
=
=…=
(b+d+…+n≠0),那么
=
3.平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
4.相似三角形性质:
__________
⑴相似三角形的对应边__________,对应角__________.
⑵相似三角形的对应高的比,_________________与__________都等于相似比
⑶相似三角形周长的比等于_______,相似三角形面积的比等于__________.
【答案】⑴成比例,相等;⑵对应角平分线的比,对应中线的比;⑶相似比,相似比的平方
5.相似三角形的判定:
⑴平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似:
(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应夹角相等,那么这两个三角形相似:
(4)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
6.相似三角形的几种典型图形
7.位似图形的定义:
如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.
(1)位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.
(2)两个位似图形的位似中心只有一个.
(3)位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比,但面积的比等于位似比的平方.
考点一:
比例线段
【例l】下列四条线段中,不能成比例的是(C)
A.a=3,b=6,c=2,d=4
B.a=1,b=,c=,d=
C.a=4,b=6,c=5,d=10
D.a=2,b=,c=,d=
解题点拨:
本题考查了成比例线段的定义,注意成比例线段的顺序.
考点二:
平行线分线段成比例定理
【例2】(xx杭州)如图,已知直线a∥b∥c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F,若,则()
答案:
B
解题点拨:
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,注意:
一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
考点三:
相似三角形的性质和判定
【例3】(xx河北)如图,△ABC中,∠A=78°.AB=4.AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()
答案:
C
解题点拨:
本题考查了相似三角形的判定:
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似:
有两组角对应相等的两个三角形相似.
考点四:
似三角形性质的实际运用
【例4】(xx陕西)晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军:
“你有多高?
”小军一时语塞,小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是,两人在灯下沿直线NQ移动,如图,当小聪正好站在广场的A点(距Ⅳ点5块地砖长)时,其影长AD怡好为1块地砖长:
当小军正好站在广场的B点(距Ⅳ点9块地砖长)时,其影长BF恰好为2块地砖长,已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成,小聪的身高AC为1.6米,朋ⅣINQ,ACINQ,BEINQ.请你根据以上信息,求出小军身高BE的长.(结果精确到0.01米)
解题点拨:
本题考查了相似三角形的应用,解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形,根据对应边列出方程,建立适当的模型来解决问题.
解:
由题意得:
∠CAD=∠MND=90°,
∠CDA=∠MDN,
∴△CAD∽△MND,
∴
∴
∴MN=9.6,
又∵∠EBF=∠MNF=90°,∠EFB=∠MFN,
∴
∴
∴
∴EB≈1.75,
∴小军身高约为1.75米.
考点五:
位似图形
【例5】(xx十堰)如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A’B’C’,已知OB=30B’,则△A'B'C’与△ABC的面积比为()
A.1:
3B.1:
4C.1:
5D.1:
9
答案:
D
解题点拨:
先求出位似比,根据位似比等于相似比,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可.
1.(xx新疆)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,下列说法中不正确的是()
A.B.C.△ADE∽△ABCD.S△ADE:
S△ABC=1:
2
答案:
D
2.(xx盐城)如图,点F在平行四边形ABCD的边AB上,射线CF交DA的延长线于点E.在不添加辅助线的情况下,与△AEF相似的三角形有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
答案:
C
3.(xx乐山)如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC上的点,且DE∥BC,若△ADE与△ABC的周长之比为2:
3,AD=4,则DB=_________,
答案:
2
4.(xx齐齐哈尔)如图,在△ABC中,AD上BC.BE上AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.
(1)求证:
△ACD∽△BFD;
(2)当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长.
解:
(1)证明:
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠DBF=∠DAC,
∴△ACD∽△BFD
(2)∵tan∠ABD=1,∠ADB=90°。
∴
∴,
∵△ACD∽△BFD
∴
∴
A组基础训练
一、选择题
1.(xx重庆)△ABC与△DEF的相似比为1:
4,则△ABC与△DEF的周长比为()
A.1:
2B.1:
3C.1:
4D.1:
16
答案:
C
2.(xx巴中)如图,点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点,则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为()
A.1:
2B.1:
3C.1:
4D.1:
1
答案:
B
3.(xx云南)如图,D是△ABC的边BC上一点,AB=4,AD=2.LDAC=LB.如果△ABD的面积为15.那么△ACD的面积为()
A.15B.10C.D.5
答案:
D
4.(xx烟台)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点()力位似中心的位似图形,且相似比为≥。
点4,B,E在戈轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为()
A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)
答案:
A
二、填空题
5.(xx南京)如图,AB、CD相交于点0,OC=2,OD=3,AC∥BD.EF是△ODB的中位线,且EF=2,则AC的长为___________
答案:
6.(xx天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点4出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知ABIBD.CDIBD,测得AB=2米,BP=3
米,PD=12米,那么该古城墙的高度CD是______米.
答案:
8
7.(xx梅州)如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,若SL。
。
。
=3,则S△BCF=_______.
答案:
4
三、解答题
8.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2m,它的影子BC=1.6m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,PM=1.2m,MN=0.8m,求木竿PQ的长度
解:
如图,过N点作ND⊥PQ于D,
∴
又∵AB=2,BC=1.6,PM=1.2,NM=0.8,
∴
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3(米).
答:
木竿PQ的长度为2.3米
9.(xx杭州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,LAED=LB,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且
(1)求证:
△ADF∽△ACG;
(2)若,求的值.
解:
(1)证明:
∵∠AED=∠B,∠DAE=∠DAE,
∴∠ADF=∠C,
∵
∴△ADF∽△ACG
(2)∵△ADF∽△ACG,∴
又∵,∴,∴
B组提高练习
10.(xx东营)如图,在短形ABCD中,E是AD边的中点,BEIAC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:
①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=.其中正确的结论有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
答案:
B
(提示:
过D作DM∥BE交AC于N,∴四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,∵BE⊥AC于点F,∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,∴△AEF∽△CAB,故①正确;
∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴,∵,∴CF=2AF,故②正确;
∵DE∥BM,BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴BM=DE=,∴BM=CM,∴CN=NF,∵BE⊥AC,∴DF=DC,故③正确;设EF=1,则BF=2,∵△ABF∽△EAF,∴,∴
∴,∵∠CAD=∠ABF,
④错误.)
11.(xx桂林)如图,在Rt△ACB中.∠ACB=90°,AC=BC=3,CD=1,CH⊥BD于H,点O是AB中点,连接OH,则OH=____________
(提示:
在BD上截取BE=CH,连接CO,OE,∵∠ACB=90°,CH⊥BD,∴AC=BC=3,CD=,∴∵△CDH∽△BDC,∴,∴,∵△ACB是等腰直角三角形,点O是AB中点,∴AO=OB=oc,∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°,∴∠OCH+∠DCH=45°,∠ABD+∠DBC=45°,∵∠DCH=∠CBD,∴∠OCH=∠ABD,△CHO≌△BEO,∴OE=OH,∠BOE=∠HOC,∵OC⊥BO,∴∠EOH=90°,即△HOE是等腰直角三角形,∵
,∴.)
12.(xx武汉)在△ABC中,P为边AB上一点.
(1)如图l,若∠ACP=∠B,求证:
AC2=AP·AB;
(2)若M为CP的中点,AC=2,如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长.
解:
(1)证明:
∵∠ACP=∠B,∠BAC=∠CAP,∴△ACP∽△ABC,∴AC:
AB=AP:
AC,∴AC2=AP·AB;
(2)①如图,作CQ∥BM交AB延长线于Q,设BP=x,则PQ=2x,∵∠PBM=∠ACP,∠PAC=∠CAQ,∴△APC∽△ACQ,由AC2=AP·AQ得:
22=(3-x)(3+x),∴即
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