新人教版八年级数学第13章轴对称教案.docx

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新人教版八年级数学第13章轴对称教案

第1课时轴对称

（1）

教学

目标

1．在生活实例中认识轴对称图．

2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．

教学重点

由具体情境抽象出轴对称图形与轴对称的概念．

教学难点

理解轴对称与轴对称图形之间的区别与联系．

教学互动设计

设计意图

一、创设情境感受新知

【问题】观察、讨论、交流，尝试用自己的语言描述这些实物、图片的共同特征

小结：

对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．

我们的黑板、课桌、椅子等．我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．

这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．

二、合作交流解读探究

⑴轴对称图形

1、做一做

把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想，展开后会是一个什么样的图形？

位于折痕两侧图案有什么关系？

2、想一想

日常生活中常见的动物图片如：

蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？

3、轴对称图形定义：

如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。

就是它的对称轴。

⑵轴对称

1、做一做:

折纸印墨迹

问题1：

你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？

问题2：

两边墨迹的位置与折痕有什么关系？

2、想一想:

教材P30-----思考

3、轴对称定义

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线就是，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做。

⑶关于某条直线成轴对称的图形的性质特征

1、想一想：

教材P31---思考1结论：

2、轴对称与轴对称图形的联系与区别．

轴对称图形

轴对称

区别

联系

如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

经过学生讨论，找到特征后，引导学生归纳轴对称图形的概念．

学生观察图片，在独立思考的基础上进行交流，共同总结每对图形所具有的特征，学生可能发现：

沿某条直线对折，两个图形能够完全重合．

三、应用迁移巩固提高

【例1】下列汉字，如果用一样粗细的笔写出来，哪些是轴对称图形？

是轴对称图形的，有几条对称轴？

大 小 口 中 朋 木

【例2】在26个英文字母中，请你说出几个成轴对称图形的字母，并且指出有几条对称轴

【例3】判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.

【例4】标出下列图形中的对称点

【例5】观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形，若是，请画出对称轴。

【练习】课本Р4练习

四、总结反思拓展升华

这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．

五、课堂作业P3612

第2课时轴对称

（2）

教学

目标

1、理解线段的垂直平分线的概念；理解成轴对称的两个图形全等。

2、探索轴对称的基本性质；线段垂直平分线的性质。

教学重点

探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质。

教学难点

探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

【思考】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′和直线MN有什么关系？

学生自行分析操作过程，从操作过程中发现数量关系，点A和A′是对称点，可以设AA′与对称轴的交点为P，将△ABC沿MN对折后A与A′重合，于是有AP=PA′、∠MPA=∠MPA′＝90°，对于其他的点也有类似的情况，于是可以发现，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点并且垂直于这条线段．

鼓励学生经过独立思考，发现数量关系并进行交流，同时给出线段垂直平分线的定义，归纳性质。

二、合作交流解读探究

⑴轴对称的性质

1、垂直平分线的定义：

经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

2、轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连线段的

类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

⑵线段垂直平分线的性质

1、想一想：

如图，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是l上的点，当点P在l上移动时，分别量出点P到A、B的距离，你有什么发现？

你能证明你的结论吗？

学生观察、操作、思考可以得出线段垂直平分线的性质，然后运用所学知识证明结论的正确性：

根据条件OA=OB、∠AOP=∠BOP、OP=OP由SAS可以得出△AOP≌△BOP，于是得出AP=BP．

2、品一品：

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的与这条线段的距离。

请写出证明过程

思考：

反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？

3、再想一想：

如图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？

为什么？

4、归纳：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的

上．

如果两个图形成轴对称，其中对称轴就是任何一对对应点连线的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；对于轴对称图形也是类似．

鼓励学生大胆猜测，然后验证自己的猜测，从而让学生体会数学的学习是“猜测－验证”过程．

在图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．

三、应用迁移巩固提高

【例1】电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等。

发射塔应修建在什么位置？

在图上标出它的位置．

根据问题的条件和要求，可以发现发射塔必须修建在公路所成角的平分线上，同时还要在线段AB的垂直平分线上，只要作出角的平分线和线段AB的垂直平分线，两者的交点就是符合条件的点．

【例2】如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开,得到的图案是右图中的【】

【例3】下列说法中，正确的有【】

1、两个关于某直线对称的图形是全等形；

2、两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁；

3、两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴；

4、平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称。

A、0个B、1个C、2个D、3个

【例4】将一张正方形纸片经两次对折,并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是【】

【例5】下列命题中，假命题是（  ）

A、两个三角形关于某直线对称，那么这两个三角形全等

B、两个图形关于某直线对称，且对应线段相交，则交点必在对称轴上

C、两个图形关于某直线对称，对应点的连线不一定垂直对称轴

D、若直线L同时垂直平分AA‘、BB’，那么线段AB＝A'B'

【练习】课本Р34练习

引导学生根据角平分线性质和线段垂直平分线性质寻找符合条件的点．

四、总结反思拓展升华

这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．

五、课堂作业P36345

第3课时轴对称（3）

教学

目标

1．经历探究轴对称图形的对称轴的作法的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

2．掌握轴对称图形对称轴的作法．

3．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．

教学重点

作出轴对称图形的对称轴。

教学难点

探索轴对称图形对称轴的作法．

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

【问题1】如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

【问题2】有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？

不折叠图形，你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？

作轴对称图形的对称轴的方法是：

找到一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线线，就可以得到这两个图形的对称轴．

二、合作交流解读探究

【问题3】如图

（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

已知：

线段AB[如图

（1）．

求作：

线段AB的垂直平分线．

作法：

如图

（2）

1．分别以点A、B为圆心，以大于

AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；

2．作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

【思考】在上述作法中，为什么要以“大于

AB的长”为半径作弧？

分等于或小于以

AB长为半径作弧两种情况考虑。

【思考】根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，请与同伴进行交流．

从作法的第一步可知

AC=BC，AD=BD．

∴C、D都在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）．

∴CD就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）．

【问题4】下图中的五角星有几条对称轴？

作出这些对称轴．

作法：

1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．

2．作出线段AA′的垂直平分线L．

则L就是这个五角星的一条对称轴．

用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．

学生在教师的引导下，利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线，然后由学生进行证明．

三、应用迁移巩固提高

【例1】如下图，已知直线L和两点A、B，在直线L上求作一点P，使PA=PB．

分析：

PA=PB，则P点在线段AB的垂直平分线上，P点又在直线L上，故P点为线段AB的垂直平分线与直线L的交点．

解：

作出线段AB的垂直平分线L′，L′与直线L的交点即为P，使PA=PB．

【例2】画出下图甲中的各图的对称轴．

分析：

根据对称图形的性质可知：

这几个图形的对称轴分别有3条、2条、1条、3条．

解：

如图所示：

【例3】如下图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：

（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？

（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？

分析：

（1）到A、B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到两边距离相等”．

（2）要使厂部到A村、B村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”．

解：

（1）如图

（1），取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A、B的距离相等．

（2）如图

（2），画出点A关于河岸EF的对称点A′，连A′B交EF于P，则P到A、B的距离和最短．

方法总结：

“垂线段最短”“两点之间线段最短”是线段最值问题中两个重要方法．

【练习】课本Р35练习

方法总结：

当对称轴的条数超过1条时，各对称轴往往交于一点．

四、总结反思拓展升华

本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线．并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：

找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴．

五、课堂作业

P37678910

教学理念/反思

第4课时作轴对称图形

（1）

教学

目标

1、通过具体实例学做轴对称图形,认识轴对称变形,探索它的基本性质和定义。

2、能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形。

3、能利用轴对称进行图案设计。

教学重点

1、轴对称变形的基本特征。

2、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。

教学难点

利用轴对称进行一些图案设计。

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

【图片欣赏】展示生活中与轴对称现象有关的美丽图案。

如：

剪纸艺术、服饰文化、几何图案、花边艺术等。

【观察思考】这些图案是怎样形成的？

你想学会制作这种图案的方法吗？

从学生熟悉的图形入手,感受轴对称图形在生活中的广泛应用,体会数学就在身边,激发学生学习数学的兴趣。

二、合作交流解读探究

【动手画图1】

1、取一张长方形纸；

2、将纸对折，中间夹上复写纸；

3、在纸上沿折叠线画出半只蝴蝶；

4、把纸展开

【动手画图2】

1、再取一张长方形纸；

2、将纸对折，中间夹上复写纸；   

3、在纸上远离折叠线画出一朵花；

4、把纸展开。

学生画图，教师关注：

①学生如何画出图形的基础部分；折痕两旁的部分是什么关系？

②折痕所在直线就是它的对称轴。

③找出一对对应点并连接，观察它与折痕的关系。

④思考这些图案是怎样形成的？

归纳总结：

一个轴对称图形可以看作由它的一部分为基础，按轴对称原理作图而得到。

成轴对称的两个图形也可以由其中的任何一个图形为基础，按轴对称原理作图而得到另一个图形。

【动手画图3】

取一张白纸折叠夹上复写纸，任画一个你最喜欢的图形，打开纸看一下，然后改变折痕方向重新叠纸，在原来的图形上描图，再打开，你会发现什么结论？

当对称轴的方向和位置发生变化时，得到图形的方向和位置会变吗？

【思考】每组图案是怎样得到的？

①每组图案中相邻的两个图案是否都是对称的？

②每组图案各有几条对称轴，对称轴一定是水平或竖直的吗？

③这些图案由一个图形经一次轴对称作图就能得到吗？

【教师关注】   

①学生画出的是一个什么图形。

②是否改变了折痕并重复了几次。

归纳总结：

对称轴的方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也发生了变化。

作轴对称图形的基本特征：

由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；

新图形上的每一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

学生观察图片，动手操作、观察所画图形，先独立思考，然后进行交流．

展示学生的作品，听取学生的评价。

让学生亲自动手学画轴对称图形，去感受、理解轴对称变形的过程。

观察所画图形，寻找对称点，便于总结轴对称作图的基本方法，培养学生独立思考问题、解决问题的能力

三、应用迁移巩固提高

【例1】如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。

【思考】

①如果这个图形就是一个点，如何作出与这个点关于这条直线对称的图形呢?

②△ABC关于直线l的对称图形是什么形状？

③ △ABC的轴对称图形可以由哪几个点确定？

在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．如图，作点A关于l的对称点的方法是：

（1）过A作l的垂线垂足为O；

（2）连接AO并延长到A′，使A′O＝AO，则点A′就是点A关于直线l的对称点．

归纳：

作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚。

几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；

对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

【练习】课本Р41练习

从最简单的几何图形做起，便于学生理解、掌握。

分步设问，便于引导学生理解作图方法。

通过教师作图板书的示范,让学生体验作图的准确性和规范性。

让学生在思考、合作、交流中归纳出作一个图形的轴对称图形步骤，锻炼口头表达能力。

四、总结反思拓展升华

本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．

五、课堂作业

P4515

教学理念/反思

第5课时作轴对称图形

（2）

教学

目标

1．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．

2．培养学生运用轴对称解决实际问题的基本能力．

3．使学生掌握数学知识的衔接与各部分知识间的相互联系．

教学重点

能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形

教学难点

应用轴对称解决实际问题．

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

【问题1】以虚线为对称轴画出图的另一半：

【问题2】已知△ABC，过点A作直线l．

求作：

△A′B′C′使它与△ABC关于l对称．

二、合作交流解读探究

【问题3】如图所示：

从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？

你的理由是什么？

【问题4】如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

【问题5】如图，如果A，B在燃气管道l的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律吗？

过程：

把管道l近似地看成一条直线如图

（2），设B′是B的对称点，将问题转化为在l上找一点C使AC与CB′的和最小，由于在连结AB′的线中，线段AB′最短．因此，线结AB′与直线l的交点C的位置即为所求．

结果：

作B关于直线l的对称点B′，连结AB′，交直线l于点C，C为所求．

【思考】为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？

过程：

将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明AC+CB最小．

结果：

如上图，在直线l上取不同于点C的任意一点C′．由于B′点是B点关于L的对称点，所以BC′=B′C′，故AC′+BC′=AC′+B′C′，在△A′B′C′中AC′+BC′>AB′，而AB′=AC+CB′=AC+CB，则有AC+CB

三、应用迁移巩固提高

【例1】八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最短的距离拿到球并跑到目的地A处。

【例2】在例1中，如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球，还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍，才能最快跑到目的地A处。

【例3】如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。

四、总结反思拓展升华

五、课堂作业

《全优课堂作业》相关内容

教学理念/反思

第6课时用坐标表示轴对称

教学

目标

①能在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点，

②能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标．

③在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中，培养学生的语言表达能力，观察能力、归纳能力，养成良好的科学研究方法．

教学重点

1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．

2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．

教学难点

找对称点的坐标之间的关系，规律．

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

【问题】在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入空格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．

已知点

A（2，-3）

B（-1，2）

C（-6，-5）

D（0.5，1）

E（4，0）

关于x轴对称的点

A’（）

B’（）

C’（）

D’（）

E’（）

关于y轴对称的点

A’’（）

B’’（）

C’’（）

D’’（）

E’’（）

学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间坐标的关系，经过讨论得出规律．

二、合作交流解读探究

【总结规律】

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；

点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等．

利用刚才发现的点关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，我们可以很容易地在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴、y轴对称的图形．

教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律．

三、应用迁移巩固提高

【例1】

①点P（-5,6）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.

②点M（a,-5）与点N（-2,b）关于x轴对称，则a=_____,b=_____.

③点P（-5,6）与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.

④点M（a,-5）与点N（-2,b）关于y轴对称，则a=_____,b=_____.

⑤已知点P（2a+b，-3a）与点P’（8，b+2）.

若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____b=_______.

若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____b=_______.

【例2】如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形。

【例3】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形。

【练习】课本Р45练习2

直接应用关于x、y轴对称点的坐标特征得出结果。

学生根据关于x、y轴对称点的坐标特征，首先求出各点关于x轴、y轴的对称点，然后再连接对称点即可．

本活动主要巩固加深学生对利用坐标表示轴对称的理解，所以要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程．

四、总结反思拓展升华

1．点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．

2、（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等．

3、如果作关于直线x＝3（记为m）和直线y=-4（记为n）对称的图形，你能发现对应点的坐标之间的关系吗?

五、课堂作业

P4523467

教学理念/反思

第7课时等腰三角形

（1）

教学

目标

1、巩固等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质，并能灵活应用等腰三角形的性质解决一些实际问题。

2、通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。

教学重点

等腰三角形性质的探索及应用。

教学难点

等腰三角形性质的应用。

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

【问题1】如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？

你能画出具有这种特征的三角形吗？

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

二、合作交流解读探究

让学生总结出等腰三角形的概念：

有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图：

△ABC中