四川省中考突破复习题型专项十一几何图形综合题.docx
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四川省中考突破复习题型专项十一几何图形综合题
题型专项(十一) 几何图形综合题
题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题
类型1 操作探究题
1.(2016·资阳)在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置,点E在斜边AB上,连接BD,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)如图1,若点F与点A重合,求证:
AC=BC;
(2)若∠DAF=∠DBA.
①如图2,当点F在线段CA的延长线上时,判断线段AF与线段BE的数量关系,并说明理由;
②当点F在线段CA上时,设BE=x,请用含x的代数式表示线段AF.
解:
(1)证明:
由旋转得,∠BAC=∠BAD,
∵DF⊥AC,
∴∠CAD=90°.
∴∠BAC=∠BAD=45°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=45°.
∴AC=BC.
(2)①AF=BE.理由:
由旋转得AD=AB,∴∠ABD=∠ADB.
∵∠DAF=∠ABD,∴∠DAF=∠ADB.
∴AF∥BD.∴∠BAC=∠ABD.
∵∠ABD=∠FAD,由旋转得∠BAC=∠BAD.
∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=×180°=60°.
由旋转得,AB=AD.
∴△ABD是等边三角形.
∴AD=BD.
在△AFD和△BED中,
∴△AFD≌△BED(AAS).
∴AF=BE.
②如图,由旋转得∠BAC=∠BAD.
∵∠ABD=∠F
AD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD,
由旋转得AD=AB,
∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD.
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°,
∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°.
∴∠BAD=36°.
设BD=a,作BG平分∠ABD,
∴∠BAD=∠GBD=36°.
∴AG=BG=BD=a.
∴DG=AD-AG=AD-BG=AD-BD.
∵∠BDG=∠ADB,∴△BDG∽△ADB.
∴=.
∴=.∴=.
∵∠FAD=∠EBD,∠AFD=∠BED,
∴△AFD∽△BED.
∴=.
∴AF=·BE=x.
2.(2016·南充营山县一诊)如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG,OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.
(1)求证:
DE⊥AG;
(2)正
方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.
解:
(1)证明:
延长ED交AG于点H,
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,
∴OA=OD,OA⊥OD.
在△AOG和△DOE中,
∴△AOG≌△DOE.∴∠AGO=∠DEO.
∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠GAO+∠DEO=90°.
∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.
(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,
∵OA=OD=OG=OG′,
∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O==.
∴∠AG′O=30°.
∵OA⊥OD,OA⊥AG′,∴OD∥AG′.
∴∠DOG′=∠AG′O=30°,即α=30°.
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,
同理可求∠BOG′=30°,∴α=180°-30°=150°.
综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.
②AF′的最大值为+2,此时α=315°.
提示:
如图3,当旋转到A,O,F′在一条直线上时,AF′的长最大,
图3
∵正方形ABCD的边长为1,
∴OA=OD=OC=OB=.
∵OG=2OD,∴OG′=OG=.
∴OF′=2.
∴AF′=AO+OF′=+2.
∵∠COE′=45°,∴此时α=315°.
3.(2016·福州)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;
(2)连接BN,当DM=1时,求△ABN的面积;
(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.
解:
(1)由折叠可知△ANM≌△ADM,
∴∠MAN=∠DAM.
∵AN平分∠MAB,
∴∠MAN=∠NAB.
∴∠DAM=∠MAN=∠NAB.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°.∴∠DAM=30°.
∴DM=AD·tan∠DAM=3×=.
(2)如图1,延长MN交AB延长线于点Q.
∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC.
∴∠DMA=∠MAQ.
由折叠可知△ANM≌△ADM,
∴∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1.
∴∠MAQ=∠AMQ.
∴MQ=AQ.
设NQ=x,则AQ=MQ=1+x.
在Rt△ANQ中,AQ2=AN2+NQ2,
∴(x+1)2=32+x2.解得x=4.
∴NQ=4,AQ=5.
∵AB=4,AQ=5,
∴SΔNAB=SΔNAQ=×AN·NQ=.
(3)如图2,过点A作AH⊥BF于点H,则△ABH∽△BFC,∴=.
∵AH≤AN=3,AB=4,
∴当点N,H重合(即AH=AN)时,DF最大.(AH最大,BH最小,CF最小,DF最大)
此时M,F重合,B,N,M三点共线,△ABH≌△BFC(如图3),
∴CF=BH===.
∴DF的最大值为4-.
图1
类型2 动态探究题
4.(2016·自贡)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.
(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP,OP,OA.若△OCP与△PDA的面积比为1∶4,求边CD的长;
(2)如图2,在
(1)的条件下,擦去折痕AO,线段OP,连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P,A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当动点M,N在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?
若变化,说明变化规律.若不变,求出线段EF的长度.
解:
(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°.
∴∠APD+∠DAP=90°.
∵由折叠可得∠APO=∠B=90°,
∴∠APD+∠CPO=90°.∴∠CPO=∠DAP.
又∵∠D=∠C,∴△OCP∽△PDA.
∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4,
∴===.
∴CP=AD=4.
设OP=x,则CO=8-x.
在Rt△PCO中,∠C=90°,
由勾股定理得x2=(8-x)2+42,解得x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴CD=10.
(2)过点M作MQ∥AN,交PB于点Q.
∵AP=AB,MQ∥AN,
∴∠APB=∠ABP=∠MQP.
∴MP=MQ.
∵BN=PM,∴BN=QM.
∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴EQ=PQ.
∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF.
在△MFQ和△NFB中,
∴△MFQ≌△NFB(AAS).
∴QF=BF=QB.
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB.
由
(1)中的结论可得PC=4,BC=8,∠C=90°,
∴PB==4.
∴EF=PB=2.
∴在
(1)的条件下,当点M,N在移动过程中,线段EF的长度不变,它的长度为2.
5.(2016·乐山)如图,在直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴正半轴上,点B的坐标是(5,2),点P是CB边上一动点(不与点C,B重合),连接OP,AP,过点O作射线OE交AP的延长线于点E,交CB边于点M,且∠AOP=∠COM,令CP=x,MP=y.
(1)当x为何值时,OP⊥AP?
(2)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)在点P的运动过程中,是否存在x,使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积.若存在,请求x的值;若不存在,请说明理由.
解:
(1)由题意知OA=BC=5,AB=OC=2,∠B
=∠OCM=90°,BC∥OA.
∵OP⊥AP,
∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°.
∴∠OPC=∠PAB.
∴△OPC∽△PAB.
∴=,即=.
解得x1=4,x2=1(不合题意,舍去).
∴当x=4时,OP⊥AP.
(2)∵BC∥OA,∴∠CPO=∠AOP.
∵∠AOP=∠COM,∴∠COM=∠CPO.
∵∠OCM=∠PCO,∴△OCM∽△PCO.
∴=,即=.
∴y=x-(2 (3)存在x符合题意.过点E作ED⊥OA于点D,交MP于点F,则DF=AB=2. ∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积, ∴S△EOA=S矩形OABC=2×5=·5ED. ∴ED=4,EF=2. ∵PM∥OA,∴△EMP∽△EOA. ∴=,即=. 解得y=. ∴由 (2)y=x-,得x-=. 解得x1=,x2=(不合题意舍去). ∴在点P的运动过程中,存在x=,使△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积. 6.(2015·攀枝花)如图1,矩形ABCD的两条边在坐标轴上,点D与坐标原点O重合,且AD=8,AB=6.如图2,矩形ABCD沿O B方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动,当点P到达点C时,矩形ABCD和点P同时停止运动,设点P的运动时间为t秒. (1)当t=5时,请直接写出点D,点P的坐标; (2)当点P在线段AB或线段BC上运动时,求出△PBD的面积S关于t的函数关系式,并写出相应t的取值范围; (3)点P在线段AB或线段BC上运动时,作 PE⊥x轴,垂足为点E,当△PEO与△BCD相似时,求出相应的t值. 解: (1)D(-4,3),P(-12,8). (2)当点P在边AB上时,BP=6-t. ∴S=BP·AD=(6-t)·8=-4t+24. 当点P在边BC上时,BP=t-6. ∴S=BP·AB=(t-6)·6=3t-18. ∴S= (3)∵D(-t,t),当点P在边AB上时,P(-t-8,t). 当=时,=,解得t=6. 当=时,=,解得t=20. ∵0≤t≤6, ∴t=20时,点P不在边AB上,不合题意. 当点P在边BC上时,P(-14+t,t+6). 当=时,=,解得t=6. 若=时,=,解得t=. ∵6≤t≤14, ∴t=时,点P不在边BC上,不合题意. ∴当t=6时,△PEO与△BCD相似. 类型3 类比探究题 7.(2016·眉山青神县一诊)如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F. (1)求证: PC=PE; (2)求∠CPE的度数; (3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由. 解: (1)证明: 在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°, 在△ABP和△CBP中, ∴△ABP≌△CBP(SAS).∴PA=PC. 又∵PA=PE,∴PC=PE. (2)由 (1)知,△ABP≌△CBP, ∴∠BAP=∠BCP.∴∠DAP=∠DCP. ∵PA=PE,∴∠DAP=∠E. ∴∠DCP=∠E. ∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等), ∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E, 即∠CPF=∠EDF=90°. (3)在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°, 在△ABP和△CBP中, ∴△ABP≌△CBP(SAS). ∴PA=PC,∠BAP=∠BCP. ∵PA=PE,∴PC=PE.∴∠DAP=∠DCP. ∵PA=PE,∴∠DAP=∠AEP. ∴∠DCP=∠AEP. ∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等), ∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP, 即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°. ∴△EPC是等边三角形.∴PC=CE. ∴AP=CE. 8.(2015·成都)已知AC,EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线,点E在△ABC内,∠CAE+∠CBE=90°. (1)如图1,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF. ①求证: △CAE∽△CBF; ②若BE=1,AE=2,求CE的长; (2)如图2,当四边形ABCD和EFCG均为矩形,且= =k时,若BE=1,AE=2,CE=3,求k的值; (3)如图3,当四边形ABCD和EFCG均为菱形,且∠DAB=∠GEF=45°时,设BE=m,AE=n,CE=p,试探究m,n,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果,不必写出解答过程) 解: (1)证明: ①∵四边形ABCD和EFCG均为正方形, ∴∠ACB=45°,∠ECF=45°. ∴∠ACB-∠ECB=∠ECF-∠ECB, 即∠ACE=∠BCF. 又∵==, ∴△CAE∽△CBF. ②∵△CAE∽△CBF,∴∠CAE=∠CBF,=. ∴BF=. 又∠CAE+∠CBE=90°, ∴∠CBF+∠CBE=90°,即∠EBF=90°. ∴CE2=2EF2=2(BE2+BF2)=6. 解得CE=. (2)连接BF, ∵==k,∠CFE=∠CBA, ∴△CFE∽△CBA. ∴∠ECF=∠ACB,=. ∴∠ACE=∠BCF. ∴△ACE∽△BCF. ∴∠CAE=∠ CBF. ∵∠CAE+∠CBE=90°, ∴∠CBF+∠CBE=90°, 即∠EBF=90°, ∴BC∶AB∶AC=1∶k∶, CF∶EF∶EC=1∶k∶. ∴==. ∴BF=,BF2=. ∴CE2=EF2=(BE2+BF2). ∴32=(12+).解得k=. (3)p2-n2=(2+)m2. 题型2 与圆有关的几何综合题 9.(2016·成都)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以CB为半径作⊙C,交AC于点D,交AC的延长线于点E,连接ED,BE. (1)求证: △ABD∽△AEB; (2)当=时,求tanE; (3)在 (2)的条件下,作∠BAC的平分线,与BE交于点F,若AF=2,求⊙C的半径. 解: (1)证明: ∵∠ABC=90°,∴∠ABD=90°-∠DBC. ∵DE是直径, ∴∠DBE=90°. ∴∠E=90°-∠BDE. ∵BC=CD,∴∠DBC=∠BDE. ∴∠ABD=∠E. ∵∠BAD=∠DAB,∴△ABD∽△AEB. (2)∵AB∶BC=4∶3, ∴设AB=4k,BC=3k. ∴AC==5k. ∵BC=CD=3k, ∴AD=AC-CD=2k. ∵△ABD∽△AEB, ∴==. ∴AB2=AD·AE. ∴(4k)2=2k·AE. ∴AE=8k. 在Rt△DBE中, tanE====. (3)过点F作FM⊥AE于点M. 由 (2)知,AB=4k,BC=3k,AD=2k,AC=5k, 则AE=8k,DE=6k. ∵AF平分∠BAC, ∴==. ∴==. ∵tanE=, ∴cosE=,sinE=. ∴=. ∴BE=k. ∴EF=BE=k. ∴sinE==. ∴MF=k. ∵tanE=, ∴ME=2MF=k. ∴AM=AE-ME=k. ∵AF2=AM2 +MF2, ∴4=(k)2+(k)2. ∴k=. ∴⊙C的半径为3k=. 10.(2016·内江)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F.⊙O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G,交⊙O于点H,连接BD,FH. (1)试判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)当AB=BE=1时,求⊙O的面积; (3)在 (2)的条件下,求HG·HB的值. 解: (1)直线BD与⊙O 相切.理由: 连接OB. ∵BD是Rt△ABC斜边上的中线,∴DB=DC. ∴∠DBC=∠C. ∵OB=OE, ∴∠OBE=∠OEB. 又∵∠OEB=∠CED,∴∠OBE=∠CED. ∵DF⊥AC,∴∠CDE=90°. ∴∠C+∠CED=90°. ∴∠DBC+∠OBE=90°. ∴BD与⊙O相切. (2)连接AE. 在Rt△ABE中,AB=BE=1,∴AE=. ∵DF垂直平分AC,∴CE=AE=. ∴BC=1+. ∵∠C+∠CAB=90°,∠DFA+∠CAB=90°, ∴∠ACB=∠DFA. 又∠CBA=∠FBE=90°,A B=BE, ∴△CAB≌△FEB. ∴BF=BC=1+. ∴EF2=BE2+BF2=12+(1+)2=4+2. ∴S⊙O=π·()2=π. (3)∵AB=BE,∠ABE=90°, ∴∠AEB=45°. ∵EA=EC,∴∠C=22.5°. ∴∠H=∠BEG=∠CED=90°-22.5°=67.5°. ∵BH平分∠CBF, ∴∠EBG=∠HBF=45°. ∴∠BGE=∠BFH=67.5°. ∴BG=BE=1,BH=BF=1+. ∴GH=BH-BG=. ∴HB·HG=×(1+)=2+. 11.(2015·内江)如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上. (1)试说明CE是⊙O的切线; (2)若△ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示⊙O的直径AB; (3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点 ),连接OD,当CD+OD的最小值为6时,求⊙O的直径AB的长. 解: (1)证明: 连接OC. ∵CA=CE,∠CAE=30°, ∴∠E=∠CAE=30°,∠COE=2∠A=60°. ∴∠OCE=90°. ∴CE是⊙O的切线. (2)过点C作CH⊥AB于点H,由题可得CH=h. 在Rt△OHC中,CH=OC·sin∠COH, ∴h=OC·sin60°=OC. ∴OC==h. ∴AB=2OC=h. (3)作OF平分∠AOC,交⊙O于点F,连接AF,CF,DF. 则∠AOF=∠COF=∠AOC=×(180°-60°)=60°. ∵OA=OF=OC, ∴△AOF,△COF是等边三角形. ∴AF=AO=OC=FC. ∴四边形AOCF是菱形. ∴根据对称性可得DF=DO. 过点D作DM⊥OC于点M, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°. ∴DM=DC·sin∠DCM=DC·sin30°=DC. ∴CD+OD =DM+FD. 根据两点之间线段最短可得: 当F,D,M三点共线时,DM+FD(即CD+OD)最小,此时FM=OF·sin∠FOM=OF=6, 则OF=4,AB=2OF=8. ∴当CD+OD的最小值为6时,⊙O的直径AB的长为8. 12.(2014·南充)如图,已知AB是⊙O的直径,BP是⊙O的弦,弦CD⊥AB于点F,交BP于点G,E在CD的反向延长线上,EP=EG, (1)求证: 直线EP为⊙O的切线; (2)点P在劣弧AC上运动,其他条件不变,若BG2=BF·BO.试证明BG=PG; (3)在满足 (2)的条件下,已知⊙O的半 径为3,sinB=.求弦CD的长. 解: (1)证明: 连接OP. ∵EP=EG, ∴∠EGP=∠EGP. 又∵∠EGP=∠BGF, ∴∠EPG=∠BGF. ∵OP=OB, ∴∠OPB=∠OBP. ∵CD⊥AB,∴∠BGF+∠OBP=90°. ∴∠EPG+∠OPB=90°,即∠EPO=90°. ∴直线EP为⊙O的切线. (2)证明: 连接OG,AP. ∵BG2=BF·BO,∴=. 又∵∠GBF=∠OBG,∴△BFG∽△BGO. ∴∠BGF=∠BOG,∠BGO=∠BFG=90°. ∵∠APB=∠OGB=90°,∴OG∥AP. 又∵AO=BO, ∴BG=PG. (3)连接AC,BC. ∵sinB=,∴=. ∵OB=r=3,∴OG=. 由 (2)得∠EPG+∠OPB=90°, ∠B+∠BGF=∠OGF+∠BOG=90°, 又∵∠BGF=∠BOG, ∴∠B=∠OGF. ∴sin∠OGF==.∴OF=1. ∴BF=BO-OF=3-1=2, FA=OF+OA=1+3=4. 在Rt△BCA中,CF2=BF·FA, ∴CF===2. ∴CD=2CF=4. 13.(2016·攀枝花)如图,在△AOB中,∠AOB为直角,OA=6,OB=8,半径为2的动圆圆心Q从点O出发,沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点A出发,沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0<t≤5)以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB,OA的交点分别为C,D,连接CD,QC. (1)当t为何值时,点Q与点D重合? (2)当⊙Q经过点A时,求⊙P被OB截得的弦长; (3)若⊙P与线段QC只有一个公共点,求t的取值范围. 解: (1)∵在Rt△AOB中,OA=6,OB=8, ∴AB==10. 由题意知OQ=AP=t, ∴AC=2t. ∵AC是⊙P的直径, ∴∠CDA=90°. 又∵∠AOB=90°,∴∠AOB=∠CDA. ∴CD∥OB.∴△ACD∽△ABO. ∴=,即=. ∴AD=t. 当Q与D重合时,AD+OQ=OA, ∴t+t=6.解得t=. (2)如图1,当⊙Q经过A点时,OQ=OA-QA=4. ∴t==4.∴PA=4.∴BP=AB-PA=6. 过点P作PE⊥OB于点E,设⊙P与OB交于点F,G,连接PF. ∴PE∥OA.∴△PEB∽△AOB. ∴=,即=. ∴PE=. ∴在Rt△PEF中,EF===. ∴FG=2EF=. (3)如图2,当QC与⊙P相切时,此时∠QCA=90°. ∵OQ=AP=t,∴AQ=6-t,AC=2t. ∵∠A=∠A,∠QCA=∠BOA, ∴△AQC∽△ABO. ∴=,即=. 解得t=. ∴当0<t≤时,⊙P与QC只有一个交点, 当QC⊥OA时,此时Q与D重合, 由 (1)可知t=. ∴当<t≤5时,⊙P与QC只有一个交点. 综上所述,当⊙P与QC只有一个交点,t的取值范围为0<t≤或<t≤5.
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- 四川省 中考 突破 复习 题型 专项 十一 几何图形 综合