专题椭圆的切线方程.docx
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专题椭圆的切线方程
“椭圆的切线方程”教学设计
马鞍山二中文恫兵
一、教学目标
知识与技能:
1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程;
2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。
过程与方法:
尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。
情感态度与价值观:
通过对椭圆的切线方程问题的探究,培养学生勤于思考,勇于探索的
学习精神。
二、教学重点与难点
教学重点:
应用特殊化(由特殊到一般)方法解决问题。
教学难点:
椭圆的切线方程的探究。
三、教学流程设计
(一)创设情境
复习:
怎样定义直线与圆相切?
设计意图:
温故而知新。
由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。
定义做类比,都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切,从而通过解析法中联立方程组,消元,一元二次方程中的判别式等于零来解决。
(二)探究新知基础铺垫:
特殊情况过渡到一般情况。
切线确定,切点确定。
(2)已知斜率求切线,有两条,并且关于原点对称。
利用斜截式设直线,联立方程组,消
元,得到一元二次方程,判别式△=0。
切线斜率确定,切线不确定。
(3)已知切点求切线,只有唯一一条。
利用点斜式设直线,联立方程组,消元,得到一元二次方程,判别式A=0。
由于切点是整数点,运算简洁。
切点确定,切线确定。
可总结由
(2)(3)两道小题得到求切线方程的一般步骤:
设直线,联立方程组,消元,得到一元二次方程,判别式A=0。
(4)同(3)的方法,但是切点不是整数点,运算麻烦,学生运算有障碍,所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。
问题一般化:
22
猜想:
椭圆C:
笃+占=1与直线I相切于点P(Xo,yo),则切线I的方程?
ab
(椭圆的切线方程的具体求法,详情请见微课)设计意图:
类比经过圆上一点P(X0,yo)的切线的方程为xox+yoy=r2进行猜想,培养
1所以上课时没必要花
学生合情推理的能力。
由于具体的求解过于繁琐,思想方法同问题费时间进行求解,做成微课方便学生课后时间自己解决。
探究:
在椭圆中,有关切线问题,还可以求哪些量?
所以,kopk切线=-1,
1.点与圆设点P(X0,yo),圆(x-a)2+(y-bf^r2则
222
点在圆内(Xo—a)+(yo—b) 点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2Ar2 l的方程,消去一个未知数,得一元二次方程,设一元二次方程的根的判 I与圆C相离二也<0 类比到圆中: 222 已知圆C: x+y=r与直线I相切于点P(xo,yo),且点P(x。 ,y。 )在第一象限,若直线I与 x轴、y轴分别交于点B、A. 结论 (1)过点P的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)': 0P丄AB二koPkAB=-1;(可以用极限的思想理解,当椭圆中的aTbb2 时,椭圆T圆,所以kOP'kAB=-一T-1) a 2 2r (3)过点P的切线方程为XoX+yoy=r与x轴、y轴分别交于点B、A,A(0,—),yo 2b2 a2yo B(-,0),所以kAB=—;(椭圆中kAB=尹也可理解为a趋于b时,kAB趋于-—) x。 y。 ay。 y。 (4)|AB|=|AP|+|BP|>2j|API”|BP|=2』OP|2=2r,当且仅当|AP冃BP|=r时,取“=” 由2014年浙江高考题最后一道题 22 [2014浙江卷]如图,设椭圆C: 务+每=1(a>b>0),动直线I与椭圆C只有一个公共点 ab P,且点P在第一象限. (1)已知直线I的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标; (2)若过原点0的直线li与I垂直,证明: 点P到直线li的距离的最大值为a—b. 第一象限. (1)已知直线I的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标; 由于I与C只有一个公共点,所以i=4a4k2m2-4a2(m2-b2)(b2+a2k2)=0,化简得m2=a2k2+b2(*),解得点P的坐标为(一『[囑2, 又点P在第一象限,故m=JaW+©2, a2kb2 两边同除以a2b2得椭圆的切线方程 XoX +辔=1,与圆的切线方程做类比,形式相仿。 b2 b2 XoX 所以,过切点P(xo,yo)的椭圆的切线方程2 a ⑶连接op切线I的斜率为k切线,直线OP的斜率为kop,求证kop•k切线二定值; ay。 XoXo-O b =kOP,所以kOPRab==定值 a (与圆的kop切线=-1做类比,可以用极限的思想理解,当椭圆中的a=b时, y。 椭圆加强为了圆,所以kOP'kAB 直线AB的方程设为y=kX+m,A(0,m),B(-m,0),则根据两点间的距离公式可得k 2III,2 IABI=—+m,又因为前面根据直线和椭圆相切已求出k 2m22222b |AB|2=—+m=a2k+b+a+—kk 2222b222 =a+b+(ak+p)>a+b+2ab=(a+b) k ,线段|AB|的最小值为a+b・当且仅当 a2k2 4b2 a k2 =-时,取到“=” a 卜面再继续讨论“ =”取到时的条件。 由前面已证 b2 kopk戸歹孑 kOP 2 y。 ~2 X b3 232 =ay0 2 X0、,2 3.一02 =a(1-一)b=bx0 a 322 =a-aXo=Xo a3 代入 a+b koP2 2y。 ~2 X0 2 y0= b3 2 所以可得到,|PA| 22 =X0+(yo-m) =X02+(kx0)2 =(Uk2)x0^(U-)x02,代入 a X0= a+b 得|PA|- 2a+b 问题3、已知椭圆 若直线I与X轴、 a+b =a2.”・.|PA|=a,|PB|=b 2 c: -+d C: 2.2 ab =1与直线l相切于点P(X0,y0),且点P(X0,y。 )在第一象限, y轴分别交于点B、A.若过原点0的直线li与I垂直交与点D,证明: |PD||AB|=定值. B、 b2a2 所以A(0,—),B(—,0),则|AB戶和22 Xy0 y。 X0 由于直线li过原点O且与I垂直,故直线li的方程为 X+ky=0,所以点P到直线 li的 距离|PD戶号汙 前面已证过 b2X0 ay。 b2Xo |PD|=雲典'^二 Jk2+ifb4Xo\^i Va4yo2”・.|PD|qABUIa2-bj=a2-b2 1aXoyo-bXoyo1|a-b| —/~42~,42~14.4 ^ayo+bXo/ab J——2 VXoyo =c2=定值(c为椭圆的半焦距) =1(a>b>0),动直线I与椭圆C只有一个公共点P,且 22问题4、如图,设椭圆C: 笃+爲 ab 点P在第一象限.若过原点0的直线l1与I垂直,证明: 点P到直线l1的距离的最大值为a-b. 当且仅当k2=B时等号成立. a 所以,点P到直线li的距离的最大值为a—b. 方法二、由前面证过的问题2与问题3的结论,线段|AB|的最小值为a+b, /.|PD|AB戶|a2—b21=a2-b2=定值,可得点P到直线li的距离|PD|的最大值为a—b.
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- 专题 椭圆 切线 方程
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