南京大学《声学基础》课后习题答案.docx
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南京大学《声学基础》课后习题答案
南京大学《声学基础》课后习题答案
习题1
f
1-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待其固有频率为质量为求它的弹性
m
系数
1K
解由公式fom得
2M
m
2
Km2fm
1-2设有一质量用长为的细绳铅直悬挂着绳子一端固定构成一单摆如图所示假设绳子
Ml
m
的质量和弹性均可忽略试问
1当这一质点被拉离平衡位置时它所受到的恢复平衡的力由何产生并应怎样表示
2当外力去掉后质点在此力作用下在平衡位置附近产生振动它的振动频率应如何表示
M
m
1g
f
答为重力加速度
0g
2l
图习题1-2
MMg
解1如右图所示对作受力分析它受重力方向竖直向下受沿绳方向的拉力这两
T
mm
力的合力就是小球摆动时的恢复力方向沿小球摆动轨迹的切线方向
F
sin
设绳子摆动后与竖直方向夹角为则
l
受力分析可得FMmgsinMmg
l
F
2外力去掉后上述拉力去掉后小球在作用下在平衡位置附近产生摆动加速度的方向与位
2
d
移的方向相反由牛顿定律可知FM
mdt2
22
ddg
则Mm2Mmg即20
dtldtl
2g1g
0即f0这就是小球产生的振动频率
l2πl
1-3有一长为的细绳以张力固定在两端设在位置处挂着一质量如图所示试问
lTxM
0m
1当质量被垂直拉离平衡位置时它所受到的恢复平衡的
力由何产生并应怎样表示
图习题1-3
2当外力去掉后质量在此恢复力作用下产生振动它
M
m
的振动频率应如何表示
3当质量置于哪一位置时振动频率最低
解首先对进行受力分析见右图
M
m
lxx
FT0T00
x
lx22x22
00
222222
xxxlxlx
00000
FTT
y2222
lxx
00
TT
lxx
00
Tl
x0lx0
Tl
MMMk
可见质量受力可等效为一个质点振动系统质量弹性系数
mmx0lx0
Tl
1恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生大小为F方向为竖直向下
x0lx0
KTl
2振动频率为
Mx0lx0Mm
l
x
3对分析可得当0时系统的振动频率最低
2
lx
1-4设有一长为的细绳它以张力固定在两端如图所示设在绳的位置处悬有一质量为
TM
0
的重物求该系统的固有频率提示当悬有时绳子向下产生静位移以保持力的平衡并假定
MM
0
离平衡位置的振动位移很小满足条件
00
图习题1-4
2TcosMg
解如右图所示受力分析可得04
cosMg
0
1ll
2
2
0d
又0TT可得振动方程为2TlMdt2
2
2
d4T4T
即M20
dtll
14Tl1Mg1g
f
2M2M2
00
1-5有一质点振动系统已知其初位移为初速度为零试求其振动位移速度和能量
0
解设振动位移cost
a0
速度表达式为vsint
0a0
v0
由于t00t0
代入上面两式计算可得
cost
00
vsint
000
12122
振动能量EMvM
mam0a
22
v
1-6有一质点振动系统已知其初位移为初速度为试求其振动位移速度和能量
00
KMx
解如右图所示为一质点振动系统弹簧的弹性系数为质量为取正方向沿轴位移
mm
为
2
d22Km
则质点自由振动方程为0其中
dt200M
m
解得cost
a00
d
vsintcost
0a000a00
dt2
1222
cosv
0a0a000
0
vv
当t00t00时
vcosv0
00a0
2arctan
0
00
1222v0
质点振动位移为vcostarctan
0000
000
质点振动速度为222v0
vvcostarctan
0000
2
00
121222
质点振动的能量为EMvMv
mam000
22
1-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率不同振幅振动的叠加
1
sintsin2t试问
2
1在什么时候位移最大
2在什么时候速度最大
1
解sintsin2t
2
d
costcos2t
dt
2
d22
sint2sin2t
dt2
d
令0得t2k或t2k
dt3
2k3
经检验后得t时位移最大
d21
令0得tk或t2karccos
dt24
2k
经检验后得t时速度最大
1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示
costcost
1122
试证明cost
a
22sinsin
其中2cosarctan1122
a121221
coscos
1122
证明costcost
1122
costcossitnsintcoscostsinsin
11112222
costcoscostsinsinsin
11221122
设AcoscosBsinsin
11221122
22B
则AcostBsintABcost其中arctan
A
又222222
ABcoscos2coscos
11221212
2222
sinsin2sinsin
11221212
22
2coscossinsin
12121212
22
2cos
121221
Bsinsin
又arctan1122
arctan
Acoscos
1122
2222
令AB2cos
a121221
则cost
a
1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示
coswtcoswtww
112221
试证明
coswt
a1
22sinwt
其中2coswtarctan2www
a121212
coswt
12
解因为位移是矢量故可以用矢量图来表示
由余弦定理知
22
2coswtwt
a121221
22
2coswt
1212
其中ww2w1
由三角形面积知
11
sinwtsin
121a
22
sinwt
得sin2
a
sinwt
得tg2
222
sinwt
a2
sinwt
2
coswt2
12
sinwt
2
coswt
12
sinwt
故2
coswt
12
即可证
1-10有一质点振动系统其固有频率f0为已知而质量Mm与弹性系数Km待求现设法在此质量
M上附加一已知质量m并测得由此而引起的弹簧伸长ξ于是系统的质量和弹性系数都可求得试
m1
证明之
证由胡克定理得mg=Kmξ1Km=mgξ1
1KmKmmg
由质点振动系统固有频率的表达式f0得Mm2222
2Mm4f04f01
纵上所述系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解
1-11有一质点振动系统其固有频率f0为已知而质量Mm与弹性系数待求现设法在此质量Mm
上附加一质量m并测得由此而引起的系统固有频率变为f0于是系统的质量和弹性系数都可求得试
证明之
1Km2
解由f0得Km2f0Mm
2M
m
1Km2
由f0得Km2f0Mmm
2Mm
m
2222
mf4mff
联立两式求得M0K00
m22m22
ffff
0000
1-12设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统试分别写出它们的动力学方程
并求出它们的等效弹性系数
图1-2-3图1-2-4
d2KKKK
解串接时动力学方程为M1m2m0等效弹性系数为K1m2m
mdt2KKKK
1m2m1m2m
2
d
并接时动力学方程为Mm2K1mK2m0等效弹性系数为KK1mK2m
dt
1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品此秤已在地球上经过校验弹簧
压缩0~100mm可称0~1kg宇航员取得一块岩石利用此秤从刻度上读得为04kg然后使它振
动一下测得其振动周期为1s试问月球表面的重力加速度是多少而该岩石的实际质量是多少
解设该岩石的实际质量为地球表面的重力加速度为g98ms2月球表面的重力加速度为
M
g
Mg1g
由虎克定律知FKx又FMg则K10g
MM
x01
2M10g1098
T21则M2225kg
K44
0
x1
又则x004m
x04
K22
MgKx则gx4004158ms
M
故月球表面的重力加速度约为158ms2而该岩石的实际质量约为25kg
1-14试求证
acostacostacost2acostn1
sinn
2n1
acost
sin2
2
证aejtaejtaejt2aejtn1
aejt1ej
1ejn1cosnjsinn
jtjt
aeae
1ej1cosjsin
2nnnn
2sinjsinnsinsinjcos
jt2jt222
aeae
2
2sinjsinsinsinjcos
2222
nnnn
sinjsinn1sinn1
e22jjt
jt2jt2222
aeaeeae
1
j
sine22sinsin
222
同时取上式的实部结论即可得证
1-15有一弹簧在它上面加一重物构成一振动系统其固有频率为
KmMmf0
1假设要求固有频率比原来降低一半试问应该添加几只相同的弹簧并怎样联接
2假设重物要加重一倍而要求固有频率不变试问应该添加几只相同的弹簧并怎样联接
f0
1K
解固有频率fom
2M
m
f0Km
1f0Km故应该另外串接三根相同的弹簧
24
Mm
M
2m2Km2Km故应该另外并接一根相同的弹簧
f0f0
1-16有一直径为的纸盆扬声器低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待现已知其总质
d
K
量为弹性系数为试求该扬声器的固有频率
M
mm
1K
解该扬声器的固有频率为f0m
2πM
m
1-17原先有一个05㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上弹簧处于静态平衡中后来又将一个02
㎏的质量附加在其上面这时弹簧比原来伸长了004m当此附加质量突然拿掉后已知这05㎏质量
的振幅在1s内减少到初始值的1e倍试计算
1这一系统的力学参数KmRmf0
2当02㎏的附加质量突然拿掉时系统所具有的能量
3在经过1s后系统具有的平均能量
解1由胡克定理知Km=mgε
所以Km=02×9800449Nm
e1e1
R
故mR1Nsm
2Mm
m
2149
w0w0f01157Hz
205
1212
2系统所具有的能量EK4900400392J
2m2
122t3
3平均能量EKe53110J
m0
2
1-18试求当力学品质因素Qm05时质点衰减振动方程的解假设初始时刻0vv0试
讨论解的结果
解系统的振动方程为
2
dd
MRK0
mdt2mdtm
R
进一步可转化为设m
2M
m
2
dd2
20
dt2dt
设
it
e
于是方程可化为
22jt
2je0
0
22
解得j
0
22
t
0
e
方程一般解可写成
2222
ttt
eAe0Be0
存在初始条件
0vv
t0t00
代入方程计算得
vv
A0B0
2222
22
00
2222
ttt
解的结果为eAe0Be0
vv
其中A0B0
2222
22
00
ff
1-19有一质点振动系统其固有频率为如果已知外力的频率为试求这时系统的弹性抗与
12
质量抗之比
K
MM
解质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为质量抗为M
已知f050Hzf300Hz
2222
K1K4f501
MM00
则MM=22222
MM4f30036
1-20有一质量为04kg的重物悬挂在质量为03kg弹性系数为150Nm的弹簧上试问
1这系统的固有频率为多少
2如果系统中引入5kgs的力阻则系统的固有频率变为多少
3当外力频率为多少时该系统质点位移振幅为最大
4相应的速度与加速度共振频率为多少
1K1150
解1考虑弹簧的质量f0m276Hz
2MM3204033
ms
2考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统但此时系统的等效质量M为MM3
mms
R5
m512211502
f5264Hz
2M20500
m2204033
M165805
3品质因素Qm0m166
R5
m
1
位移共振频率frf012239Hz
2Qm
4速度共振频率ff264Hz
r0
1
加速度共振频率fQf1292Hz
rm02
2Qm
1-21有一质点振动系统被外力所策动试证明当系统发生速度共振时系统每周期的损耗能量与
2
总的振动能量之比等于
Qm
解系统每个周期损耗的能量
12
EWTRvT
Fma
2
12
RvT
EmaR
2m
E1Mv2fMm
2ma
发生速度共振时ff0
ER22
m
EfMMQ
0m0mm
R
m
1-22试证明1质点作强迫振动时产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有
fffff
频率2假定与为在两侧其平均损耗功率比下降一半时所对应的两个频率则有
01200
f0
Qm
f2f1
证明1平均损耗功率为
1T12
为力阻为速度振幅
WWdtRvRv
RT0R2mama
质点强迫振动时的速度振幅为
FQz
am为外力振幅为固有频率为质量为
vaFa0MmQm
2222
Mzz1Q
0mm
f
力学品质因素频率比z
f
00
当1即时发生速度共振取最大值产生最大的平均损耗功率
zff0va
12
2WRv
Rma
2
121F2Q2
am
WRRv=R
2ma2m22
M
0m
11211F2Q22F2Q2
WWR则Rmva=Rmam即2va=am1
R2222
2222MM
0m0m
FQz2222
把vaam带入式1则zz1Qm2
2222
Mzz1Q
0mm
114Q2114Q2
2mm
由式2得zz1Qm解得z取z1
2Qm2Qm
114Q2114Q2
2mm
zz1Qm解得z取z2
2Qm2Qm
1f2f1f2f11
则z2z1即
Qmf0f0f0Qm
f0
Qm
f2f1
1-23有一质量为04㎏的重物悬挂在质量可以忽略弹性系数为160Nm的弹簧上设系统的力阻
为2N·sm作用在重物上的外力为FF5cos8tN
1试求这一系统的位移振幅速度与加速度振幅以及平均损耗功率
2假设系统发生速度共振试问这时外力频率等于多少如果外力振幅仍为5N那么这时系统
的位移振幅速度与加速度振幅平均损耗功率将为多少
2
dd
解1由强迫振动方程Mm2RmKmFF得
dtdt
2
dd
0421605cos8t
dt2dt
F
则位移振幅a00369m
a
2222
KmwMmwRm
速度振幅vw0296ms
aa
加速度振幅22
aw2364ms
aa
12
平均损耗功率PRv00876w
2ma
1KmRm2
2速度共振时frf03158Hz
2R2M
mm
F
则位移振幅a0126m
a
2222
KmwMmwRm
速度振幅vw2495ms
aa
加速度振幅22
aw496ms
aa
12
平均损耗功率PRv6225w
2ma
1-24试求出图1-4-1所示单振子系统在t0
v0
初始条件下强迫振动位移解的表示式并分别讨论0与0两种情形下
当0时解的结果
解对于强迫振动解的形式为
t
ecostcost
000a
F
a
其中
a0
Z2
m
初始条件0v0
代入得
coscos0
00a
cossinsin0
00000a
解得
a22222
cossin2cossincos
00
0
cos
0
arccos
0
222222
cossin2cossincos
0
22222
令Gcossin2cossincos
0
得
at
Gecostcost
200a
0
X
当0时R0arctanm
m000
R22
m
00a
2
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